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1、1,四. 电势的计算,1. 点电荷q场中任一点（ ）处的电势,因积分与路径无关，所以选从P点沿径向方向到处，即：,在点电荷q电场中， 是电场中空间位置（ ）的单值函数,球对称分布,2,把带电体分成无限多个电荷元d q，每个电荷元d q 在P点的电势,2. 点电荷系电场中任一点的电势，是各点电荷单独存在时在该点电势的代数和,3. 任意带电体的电场中， u的分布,则从叠加原理：,3,方法（二） 按定义式计算,已知电场中 的分布,例1 一均匀带电圆环，求中心轴线上任一点的电势,五. 电势计算例题,1. 利用电势叠加原理求电势,建立如图坐标系，环上任一小段d q在P点的电势：,解:,叠加原理：,u沿x
2、的分布规律,4,例2 一均匀带电圆盘R，s，求中心轴线上任一点的电势,建立如图坐标系，取一带电圆环r，d r,解:,5,当 x R 时,利用：在 时,等同于电荷集中在盘心处的一个点电荷的电场,当 x =0 时,6,例1 均匀带电球面 R，q，求电势分布,已知 的分布：,解:,r =R处，E值突变、不连续,因为是有限大带电体，,从u的定义：,r R处,r R处,r = R处,7,均匀带电球面是个等势体，球内、球面处的u均为 ，球外u的分布和点电荷电场一样：,例2 二均匀带电同心球面 R1， R2 ，带电 Q ，求u的分布,已知 的分布：,解:,8,因为是有限大带电体，,r R1,R1 r R2,
3、r R2,二球面间电势差：,9,六. 电势计算练习（续）（自看书上:例8-14,18,19,2125）,例1 利用叠加原理，求以下问题：,（1）二均匀带电同心球面R1, R2 , 带电 Q , 求u 。,r R1,R1 r R2,r R2,10,（2）均匀带电球面R, Q , 中心有一点电荷q, 求,11,例2 二个无限大带电面 s，求u （负板接地）,12,例3 求无限长均匀带电圆柱面（R l）电场中u的分布,若选 为参考点，则,以上结果不合理。当电荷延伸到 处，不能取 处为电势零点,任取为P0参考点，则在r R处一点P,一般可写为：,后一项是常数项，若取r0 =1 ，则C=0,当选r0 =
4、1m处为势能零点,r 0r 1 处 u 0,13,例4 二同轴无限长均匀带电圆柱面（ R1 R2 l）,求u的分布,r R1,R1 r R2,r R2,= 0,二圆柱面间的 D u,14,8.6 电势与电场强度的关系,一. 电势的图示法：等势面,1. 如何画等势面,电场中电势相等的点连成的面称为等势面。,二相邻等势面间的电势差相等,点电荷,二带电平板,15,2. 性质：,（1） q0 沿等势面移动，电场力不做功,（2）,16,（3）电场强度的方向总是指向电势降落的方向,设 的方向如图，+q从,电场力做正功 = 电势能减少,17,二. 电势与电场强度的关系,电势和电场强度是从不同角度描写同一事物
5、的二个物理量，它们之间必然有密切的关系。,前面介绍：已知电场的分布，求u,-积分关系,若：已知u的分布，求电场？,-微分关系,在电场中任取两个相邻的等势面，u和u+du，设du 0,在等势面u上任取一点P ，过P点作等势面的正法线,规定：正法线 的方向指向电势升高的方向， 指向电势降落的方向。,下面讨论P点的 和u的关系,18,P点的u如何变化？（在P点附近很小的范围内）,1. u沿正法线方向如何变化？,从功能关系入手，将单位正电荷沿 方向从PP/,电场力的功 = 电势能减少,上式说明电场中任一点P处 的大小等于过P点等势面正法线方向上电势的变化率 。 的方向指向u下降的方向。,19,2. u
6、沿任一方向 如何变化？,将单位正电荷从P点沿 方向到Q点,电场力的功 = 电势能减少,上式说明，P点的 在 方向上的分量 等于P点的电势在 方向的变化率的负值。 的方向指向u下降的方向。,取不同的方向，电势的变化率不同。问：在哪个方向上电势的变化率最大。在正法线方向上,20,在直角坐标系中，已知 u (x,y,z) ，求,在一个标量场 中，可以定义一个矢量 ，用该矢量表示场中各点标量变化的规律。,在此标量场中引入一个矢量，叫做这个标量的梯度矢量，即电势梯度矢量。它反映了在电场中电势逐点变化的规律，记为：,电势梯度矢量,方向：电势变化率最大的方向为该矢量的方向（即：该点所在等势面的正法线方向）,
7、大小：电势变化率的最大值为电势梯度的大小（即：沿正法线方向的变化率）,称为电势u的梯度，表示函数u在点P (x,y,z)附近如何变化的一个矢量,21,和 的关系：,即电势沿 方向的方向导数（偏微商），其大小即 在 方向的分量 ，负号表示 的方向是指向 减小的方向。,的方向沿 方向，即电势降低的方向。,22,例2：均匀带电圆环轴线上一点的,的方向沿x方向，即电势降低的方向。,则：,23,和 都是描写电场分布的空间位置的单值函数。但 和 之间没有简单的正比对应关系。 不能仅从场中一点的 推出该点的 ，反之也不行。,是 从场中某点P到参考点的积分结果。的大小与从P到参考点的整个路径上的 都有关：,是 在一个小范围内的微分结果。 是在P点附近小范围内电势梯度的负值，即： 与P点附近 的局部变化率有关：,24,均匀带电球面是一个等势体， 的变化率恒为零，所以：面内,二板内 均匀，但从正板到负板，电势逐点减小，电势的变化率均匀,前面的计算：,负号表示 的方向指向 减小的方向，逆x 轴方向,
