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1、1,关于 的计算的几个问题,1. 矢量积分在具体运算时必须化为标量积分，再进行积分。,计算原则：,点电荷的电场,叠加原理,2,例 已知带电直线段L l d ，求P点的,P点的,由对称性可知：,例 已知带电圆环 R l ，求O点的,3,2. 认准积分变量,在求 的积分式中，会出现二类不同的变量：,源电荷所占据空间的位置变量,源电荷激发电场中场点的位置变量,源变量 x 积分变量,场变量 x,方向一致,是x的函数，上式是在带电线延长线上任一点的,4,区分：源变量 r积分变量 场变量 x表示P点的位置,方向一致,5,3. 利用数学工具，结合物理模型，准确写出计算公式,*点电荷、线电荷、面电荷是物理学中
2、抽象出来的理想化模型， 而点、线、面是几何概念，点无大小、线无粗细、面无厚度。 在物理学中，可以把带电体看成是点、线、面电荷的集合。,带电线由点电荷组成-每个点电荷的 dq = ?,带电体由点电荷组成-每个点电荷的 dq = ?,带电面由线电荷组成-每条线的 l = ?,具体情况 具体分析,（1）一个带电线段看成是点电荷的集合,若 带电线是直线段,物理学上把dq看成是点电荷,数学上，dq不是一个点，而是一小段（dx）带电线,6,若 带电线是一带电圆弧,物理学上把dq看成是点电荷,数学上，dq不是一个点，而是一小段带电圆弧,（2）一个带电面看成是点电荷的集合,物理学上把dq看成是点电荷,数学上，
3、dq是一个扇形的一部分,7,（3）一个带电面(s )看成是带电线(l)的集合 l=?,带电平面是由带电直线组成,物理上：带电线,数学上：宽为dx的细长带电矩形条,带电曲面是由带电直线组成（如:无限长半圆柱）,物理上：带电线,数学上：宽为ds 的细长带电弧面,若 已知s ，则,8,又如 带电圆盘是带电圆环的集合，带电圆锥面、带电圆柱面、带电半球面也都可看成是带电圆环的集合，但每个圆环dq不同,带电圆盘由带电圆环组成,9,带电圆锥面,带电圆柱面,带电半球面,以上各例，物理上都称为带电线圆环，但数学上由于带电面具体形状不同，所以，dq的表示式均不同。,10,（4）一个带电体(r ),由许多带电面(s
4、)组成 s =?,取一小面元 ds ，厚度 dx,几何的面没有厚度，物理的带电面有厚度 dx,如：带电球体,4. 利用高斯定理求 时，对电荷不均匀但对称分布的电场,带电球壳的集合,带电柱体,带电柱壳的集合,11,如图取一高斯球面,12,（求闭合面内电荷时，把复杂的三重积分化成单重积分）,13,8.4 静电场的环路定理 电势能 电势,研究电场的性质,从电场对q0做功的角度： 引入 u,从q0在电场中受力的角度：引入,一.静电力作功的特点做功与路径无关,1. 点电荷产生的电场,求在q的场中，试验电荷q0从ab 电场力对q0做的功 A=?,所以：用积分法运算,在 上， 逐点变化，所以q0受的力 也逐
5、点变化，即所求功为变力做功,14,在位移元 上，电场力做的元功,q0从ab 电场力做的总功为：,结果：电场力对q0做的功与路径无关,q0的起点、终点位置有关,q0的大小有关,15,2. 任意点电荷系的电场,q0从ab 电场对q0做的功,以上每一项都与中间路径无关，所以：在任何静电场中，电场对q0做的功只与2个因素有关：,在力学中学过，力的功只和被移动物体的起点和终点位置有关，与中间路径无关，此力称为保守力。如：重力、万有引力、弹性力,静电场力是保守力，静电场是保守场。,16,3.在任意静电场中， q0绕闭合路径一周，电场力做功等于多少？,环路定理：在静电场中， 沿任一闭合路径的线积分恒为零。,
6、从物理上看：在静电场中，电荷沿任一闭合路径走一圈，电场力做功恒为零。 即，静电场力做功和路径无关； 或，静电场是保守场,沿闭合路径的线积分，称为 的环流,17,二. 电势能,任何力做功可以引起能量的变化。,外力做功可以引起某种能量的增加,内力做功可以引起某种能量的减少（或转换）,对一个保守系统： 保守内力做功引起系统自身能量减少（或转换）。 保守内力做功的大小仅与始、终点有关， 相应变化的能量也仅与始、终点位置有关。,在保守力场中，引入势能：,保守内力的功等与势能的减少， 或等于势能增量的负值：,18,在静电场中，q0从ab ，电场力做功：,电场力做功只能确定a , b二点电势能之差,若选b点
7、为参考点，并规定Wb=0 ，则q0在场中任一点a的Wa 就有了确切的数值。,问：能否用Wa来反映电场的性质？,不行！,19,Wa 属于系统所有，不能用来描述场的性质。当参考点选定后， Wa和2个因素有关：,(1)场中a点的位置,(2)引入q0的大小,为了能用场点的位置，从能量的角度反映电场本身的性质，应把第2个因素去掉，统一取单位正电荷具有的电势能：,此量仅与场点位置有关，记为 u a 称为电势,三. 电势,单位正电荷具有的电势能仅与场中点a位置有关，与q0无关，可反映电场中各点的性质。,u a 是场中位置的单值函数,20,1. 电势的定义,P点的电势等于单位正电荷在P点具有的电势能。,2.
8、参考点的选取是任意的，为方便可设：,对有限大小的带电体的电场：一般选无穷远处为参考点， 令,对无限大小的带电体的电场：任选一点为参考点,实际工作中：一般选大地为参考点，,（因为大地是个导体、等势体，微量电荷变化不会引起地球电势的变化）,21,3. 电势是标量，其正、负由积分式定,如：-q的电场中的电势一定是负吗？,不是！,若取O点为参考点,22,4. 电势和电势能的区别,u P描写电场中P点性质的物理量，是电场的单值函数,W P进入场中电荷q0在P点具有的势能， 属于q0和电场系统所有。,二者关系：,q0点电荷,u P电场中q0所在P点 处的电势（不包括 q0的电场）,5. 电势差（电压）,电场中任二点的电势之差,23,（2）u a b与电势零点的选取无关,
