工程数学概率论ppt课件.pptx

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1、湘潭大学 材料科学与工程学院,工,程,数,学,x,iy,湘潭大学 材料科学与工程学院,课程内容,线性代数,概率论,数学物理方法,第二部分,概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。,1,第一节,随机事件及其运算,2,第二节,频率与概率,3,第三节,古典概型,本章内容,4,第四节,条件概率,5,第五节,全概率公式与贝叶斯公式,6,第六节,事件的独立性,7,第七节,独立试验概型,确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定,自然界与社会生活中的两类现象,向上抛出的物体会掉落到地上？买了彩票会中奖？一周后的天气情况？,确定,不确定,不确定,：可以在相同条件下重复进行事先知道可能出现的结果进行

2、试验前并不知道哪个试验结果会发生,例： 抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；,定义 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验， 用字母E表示。,它具有以下特性,记录一城市一日中发生交通事故次数,S=(x,y)|T0yxT1；,记录一批产品的寿命x,记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y,定义 随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为 S=e或=e，称S中的元素e为基本事件或样本点。,例：一枚硬币抛一次,S= x|axb ,S=正面，反面；,S=0,1,2,；,例：观察6路公交车湘大南门候车人数，,一般我们

3、称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。,S0,1,2,；,记 A至少有10人候车10,11,12, S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。,如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，则称S为必然事件。而把不可能发生的结果成为不可能事件。为方便起见，记为不可能事件， 不包含任何样本点。,定义 在随机试验E中，一次试验可能发生也可能不发生的结 果称为随机事件，简称事件，用字母A、B、C等表示。,1. 事件的关系(包含与相等) “ 事件 A发生必有事件B发生”，记为AB AB AB且BA.,例： 记A=明天天晴，B=明天无雨 记A=至少有10人候车，B=至

4、少有5人候车 一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面,2. 和事件,事件A与事件B至少有一个发生，记作AB,3. 积事件,事件A与事件B同时发生，记作 A BAB,n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作,n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,4. 互不相容或互斥事件,当AB= 时，称事件A与B不相容的，或互斥的。,5. 差事件,AB称为A与B的差事件，表示事件A发生而事件B不发生。,思考：何时A-B= ? 何时A-B=A？,6. 互逆的事件(对立的事件),例：设A= 甲来听课 ，B= 乙来听课 ，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲

5、、乙至少有一人不来,交换律：ABBA，ABBA结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)对偶(De Morgan)律：,事件的运算关系,推广：,(1) 第三次未中奖,(2) 第三次才中奖,(3) 恰有一次中奖,(4) 至少有一次中奖,(5) 不止一次中奖,(6) 至多中奖二次,例 某人连续购买体育彩票，令事件A、B、C分别表示其第 一、二、三、次所买的彩票中奖，试用A，B，C及其运 算表示下列事件：,定义 若事件A1，A2，An两两互不相容，且,完备事件组,则称n个事件A1，A2，An,构成一个完备事件组。,例如 掷一颗

6、骰子，观察点数，令A表示掷出奇数点，B 表示掷出点数不超过3，C表示掷出点数大于2，D 表示掷出5点。则,定义 记 其中，nAA发生的次数(频数)；n总试验次数。称 为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记 A=听课迟到，则 注意：频率 反映了事件A发生的频繁程度。,表 1,例：抛硬币出现的正面的频率,表 2,且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p。,频率的性质,非负性,规范性,有限可加性,定义1 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义

7、2 将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件A的概率。,非负性,规范性,可列可加性,性质1 P()=0。,于是由可列可加性得,又由P()0得，P()=0,证明：设An= (n=1,2,)，则,且对于,概率的性质,性质2 (有限可加性)若有限事件A1, A2, , An是两两不相容 的，则,概率的性质,证明 令An+1=An+2=，则由可列可加性及P()=0得,性质3 对于任一事件A，有,概率的性质,即,证明 因为 ，因此有,概率的性质,证明 由A B知B=A(B-A)，且A(B-A)=，,性质4 设A，B是两个事件，若A B，则有 P(B-A)=P(B)-P(A),因此由概率的有限可加性得

8、P(B)=P(A)+P(B-A),从而有 P(B-A)=P(B)-P(A),A,概率的性质,证明 因为A-B=A-AB，且AB A,推论 对于任意两事件A、B，有 P(A-B)=P(A)-P(AB),故 P(A-B)= P(A-AB)=P(A)-P(AB),推论 若A B ，则P(B)P(A),证明 由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)0 知P(B) P(A),B,概率的性质,性质5 对于任意两事件A、B，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 上式称为概率的加法公式。,证明 因为AB=A(B-AB)，且A(B-AB)=，AB B 故 P(AB)=P(A)+P(B-AB)=

9、P(A)+P(B)-P(AB),A,概率的加法公式可推广到多个事件的情况。 设A、B、C是任意三个事件，则有 P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC),一般，对于任意n个事件A1, A2, , An，有,解 (1) 由于A与B互不相容，即AB= ，则,所以,(2),则有,(3),则有,例,A,B,定义 若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性),称这种试验为等可能概型(或古典概型)。,例1 一袋中有8个球，编号为18，其中13号为红球，4 8号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机摸一 球，记A= 摸到红

10、球 ，求P(A)。,解： S=1,2,8A=1,2,3,例2 从上例的袋中不放回的摸两球， 记A=恰是一红一黄，求P(A) 解：,（注：当Lm或L0时，记 ）,例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件， 记Ak恰有k件次品，求P(Ak)。 解：,设随机试验的样本空间为,又由于基本事件是两两不相容的，于是有,所以,由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有,定义 设古典概型的样本空间中基本事件的总数为n，事件A中 包含的基本事件的个数为nA，则事件A发生的概率为,称此为古典概率公式。,古典概型中的事件A的概率P(A)就是A包含的样本数nA与样本空间中的样本点数n的比值。,即样本空

11、间有4个样本点，而随机事件A1包含2个样本点，随机事件A2包含3个样本点，故 P(A1)=2/4=1/2 P(A2)=3/4,例1 将一枚硬币抛掷二次，设事件A1为“恰有一次出现正面”; 事件A2为“至少有一次出现正面”。求P(A1)和P(A2)。,解 正面记为H，反面记为T，则随机试验的样本空间为, =HH,HT,TH,TT,而 A1=HT,TH A2=HH,HT,TH,例2 抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出现的 点数是不小于3的偶数的概率。,解 设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基本事件总 数n=6，A包含的基本事件是“出现4点”和“出现6点” 即m=2，即,故,抽球问题 例3

12、设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个 球，求取到一红一白的概率。 解: 设A-取到一红一白,分球入盒问题 例4 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： (1) 每盒恰有一球的概率是多少？ (2) 空一盒的概率是多少？,解: 设A:每盒恰有一球，B:空一盒,分组问题例5 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组， 求： (1) 每组有一名运动员的概率； (2) 3名运动员集中在一个组的概率。 解: 设A:每组有一名运动员；B: 3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm)，要求第 i 组恰有ni个球(i=1, , m)，共有分法：,随机取数问题,例6 从1到20

13、0这200个自然数中任取一个，(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解: N(S)=200，,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,例如 有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品， 从中任取一件，记A=取到一件合格品，B=取到一件 优质品。则 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 记：P(B|A)=95% P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度 P(B|A)=0.95 是将合格品

14、记作1时B的测度 由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S 常常省略而已，P(A)也可视为条件概率分析：,若记P(B|A)=x，则应有P(A):P(AB)=1: x解得：,定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。,例如：,条件概率的性质,条件概率符合概率定义中的三个条件，即,(1) 对于任一事件B，有P(B|A)0;,(2) P(|A)=1;,(3) 可列可加性：设B1, B2, , Bn是两两互不相容的事 件，则有,性质1 P(|A)=0性质2性质3,因此，无条件概率中的一般性质也适用于条件概率。,乘法公式,由条件概率

15、定义可得下面定理,乘法定理 若P(A)0，则有 P(AB)=P(B|A)P(A) 上式称为乘法公式 。,乘法公式可以推广到任意有限个事件的情况。设A1,A2,An为试验E中的n个事件，且P(A1A2An-1)0，则有 P(A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),例1 某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30% 的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出 厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。,解： 设 A=生产的产品要报废 B=生产的产品要调试 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,利用乘法公式,另解：,例2

16、 某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,解： 设 Ai= 这人第i次通过考核 ，i=1,2,3 A= 这人通过考核 ，,亦可：,例3 从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，(2) 不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。,与不相容,(1) 若为放回抽样：,(2) 若为不放回抽样：,解：设 Ai=第i次取到红牌，i=1,2 B=取2张恰是一红一黑,利用乘法公式,定义 设S为试验E的样本空间

17、，B1,B2,Bn为E的一组事件。若： 则称B1,B2,Bn为S的一个划分，或称为一组完备事件组。,即：B1,B2,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。,定理 设试验E的样本空间为S，A为E的事件。 B1,B2,Bn为S的一个划分，P(Bi)0，i=1,2,n；则称：,为全概率公式。,证明：,在全概率公式中我们知道，引起事件A发生的原因有B1, B2,Bn等多种。 在实际问题中，常遇到已知事件A已经发生，要求出事件A发生是由某种原因Bk引起的概率P(Bk|A)。,例 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个。其中，第 一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第 二个盒子中

18、有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球 8个，白球2个。 试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球，则称试验成功。 求试验成功的概率。,计算过程如下图的概率树:,红P(R|A)=0.5,白P(W|A)=0.5,红P(R|B)=0.8,白P(W|B)=0.2,第一次,第二次,第二次,P(A)=0.7,P(B)=0.3,A,B,解: 令A=从第一个盒子中取得标有字母A的球， R=第二次取出的球是红球，,则易知：,于是，试验成功的概率为,定理 设试验E的样本空间为S，A

19、为E的事件，P(A)0。 B1,B2,Bn为S的一个划分，P(Bi)0，i=1,2,n；则称：,上式称为贝叶斯(逆概率)公式。,证明 由条件概率的定义及全概率公式有,全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n易知：,S,P1,P2,Pn,.,B2,q2,q1,qn,解 设B1=发出信号“.”，B2=发出信号“-”，A1=收到信号 “.”,A2=收到信号“-”.由于B1B2=,B1B2= ,A2=A2B1 A2B2,于是,例1 无线电通讯中，发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”。由于干扰，发出信号“.”时，收报台以概率0.98收到信

20、号“.” ，发出信号“-”时，收报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报台收到信号“-”的条件下，发报台发出信号“.”的概率。,例2 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性： 若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有： 已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？,若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。,解：考察P(C|A)的值,例 有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次，每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,2,放回抽样时，,即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同

21、样，A2的发生对A1的发生概率不影响,不放回抽样时，,定义 设A，B为两随机事件，若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)P(B) 即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立。,注意：,例1 甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中率为0.8，乙击 中率为0.7，求目标被击中的概率。,解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中, 甲、乙同时射击，其结果互不影响， A，B相互独立,例2 有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常 运行的概率为p，求系统正常运行的概率。,注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同。,1. 重复独立试验,在相同的条件下，将试验E重复进行，且每次试

22、验是独立进行的，即每次试验各种结果出现的概率不受其他各次试验结果的影响，则称这一系列试验所组成的试验为重复独立试验。,2. n重伯努利试验,若一试验的结果只有两个A和, 在相同的条件下, 将试验独立地重复进行n次, 则称这n次试验所组成的试验为n重复伯努利试验或伯努利概型。,例1 将一枚均匀的骰子连续抛掷3次，考察六点出现的 次数及相应的概率。,解： 设六点出现的次数为X, 设第i次抛掷中出现点6的事件为,定理 如果每次试验中事件A发生的概率为，,则在n次贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率为,其中,证明 按独立事件的乘法公式，n次试验中事件A在某k次(例 如前k次)发生而其余n-k次不发生,

23、这个事件的概率等于,例2 设有8门大炮独立地同时向一目标各射击一次，若有 不少于2发炮弹命中目标时，目标就被击毁，如果每 门炮命中目标的概率为0.6，求目标被击毁的概率。,解 8门大炮独立地同时向一目标各射击一次，相当于8 重贝努里试验。所求概率为,例3 某人有一串m把外形相同的钥匙，其中只有一把能 打开家门。有一天该人醉后回家，下意识地每次从m 把钥匙中随便拿一把去开门。问该人在第k次才把门 打开的概率是多少?,解 设A=被取的钥匙能打开门 B=第k次才把门打开,由于,所以,例4 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击。设三人射中 飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，一人射中飞机被击落的 概

24、率为0.2，两人射中飞机被击落的概率为0.6，三人射 中，则飞机被击落。求飞机被击落的概率。,解 设,且B1,B2,B3两两互不相容，故有由全概率公式得,1,第一节,随机变量的定义,2,第二节,离散随机变量的概率分布,3,第三节,连续随机变量的概率分布,本章内容,4,第四节,随机变量函数的分布,为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。,随机试验的结果,实数,随机变量,此外人们还发现建立数和人或其他事物的对应关系会带来许多便利，比如：每一个学生可以用一个学号与之对应；城市的每一间房屋可以用一个门牌号

25、与之对应；工厂生产的同一种型号产品(例如计算机)，可以用一个代码与之对应。 同样，建立数和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的一些数学方法对随机现象作进一步的研究。,* 常见的两类试验结果：,* 中心问题：将试验结果数量化,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,定义 设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一 个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e) 与之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、 等表示。,随机变量的特点:,1. X的全部可能取值是互斥且完备的,2. X的部分可能取值描述随机事件,例如 引入适当的随机变量描述下列事件： 将3个球随机地放

26、入三个格子中， 事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。 进行5次试验，事件D=试验成功一次， F=试验至少成功一次，G=至多成功3次,随机变量的分类：随机变量,定义 取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律),样本空间S X=x1，X=x2，X=xn， 由于样本点两两不相容,# 概率分布,例1 某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独 立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概 率为p，0p1，以X表示首次停车时所通过的交通灯 数，求X的概率分布律。,解： 设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。,于是,例2 从生产

27、线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为 p，0p1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时 已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。,解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2, 则A1,A2,相互独立。,亦称X为服从参数p的几何分布。,三个主要的离散型随机变量 0-1(p) 分布二项分布,样本空间中只有两个样本点,即每次试验结果互不影响,在相同条件下重复进行,(p+q=1),n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。,几种重要的离散分布,1. 两点分布(0-1分布),如果随机变量X只取两个值，就称X服从

28、两点分布，一般两点分布取值为a和b，分布律为:,如果a=0，b=1, 则称X服从0-1分布，记作,则X服从0-1分布,其分布律为,解 令,例2 商店里有10张同类CD片,其中6张为一级品,3张为二级品， 1张为不合格品。顾客购买时任取其中一张，求取得合 格品的概率。,例3 在100件产品中，有95件正品，5件次品。现从中随机 地取一件，假如取到每件产品的机会都相等。,若定义随机变量X为,则有 P(X=0)=0.05，P(X=1)=0.95,若定义随机变量Y为,则有 P(Y=0)=0.95, P(Y=1)=0.05,从中看到X，Y都服从(0-1)分布,2. 超几何分布,例4 在N件产品中,有M件

29、次品。现从中随机地取出n件(不 放回抽样)，假如取到每件产品的机会都相等。求取 出的n件产品中次品数X的分布律。其中(0 M N, 0 n N)。,解 依题意, X的可能取值为0,1,2,n, 由于从N件中任取n 件，共有 种取法，而n件中有X=m件,次品的取法共有,因此,称此分布为超几何分布，记做 H(n,M,N),3. 二项分布,定义 若随机变量X的可能取值为0,1,2,n且其分 布律为,则称X服从参数为n，p的二项分布，记做XB(n,p)。,例1 从次品率为20%的一大批产品中任取5件产品，求次 品数X的分布率，并求P(X3)之值。,解 由于产品数量大,抽取件数少，可视为有放回抽样。因此

30、每 取一件产品可看作是一次试验, 这是一个贝努利概型。次品 数X服从二项分布B(5,0.2),例2 一办公室内有8台计算机，在任一时刻每台计算机被使 用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立，问在同一 时刻： (1)恰有3台计算机被使用的概率是多少? (2) 至多有2台计算机被使用的概率是多少? (3)至少有2台计算机被使用的概率是多少?,解 设X为在同一时刻8台计算机中被使用的台数，则 XB(8,0.6)，于是,当k从0增加时，概率P(X=k)经历了一个从小到大,又从大变小的过程，事件“X=5”发生的概率最大，我们称之为最可能事件，“5次”为最可能次数。,一般地，若XB(n,p)，则当(n

31、+1)p是整数时，X有两个最可能次数(n+1)p及(n+1)p -1；当(n+1)p不是整数时，最可能次数为(n+1)p (即(n+1)p的整数部分)。,0-1分布和二项分布的关系,由于贝努里试验是n次相互独立的重复试验，每次试验只有两个可能结果，即事件A发生或者不发生，如果令,即二项分布随机变量可以分解成n个0-1分布随机变量之和，而且这n个随机变量的取值互不影响。 反之，n个取值互不影响的0-1分布随机变量之和服从二项分布。,超几何分布和二项分布的关系,定理1 如果随机变量X服从超几何分布H(n,M,N)，则当 N时，X近似地服从二项分布B(n,p)，即,注意：定理1表明，当一批产品总数N

32、很大，而抽取的样品 数n远小于总数N时，则不放回抽样(超几何分布)与 有放回抽样(二项分布)将无很大的差别。,证明,4. 泊松分布,定义 如果随机变量X所有可能取值为0,1,2,3, 而取各个值的概率为,其中0为常数，则称X服从参数为的泊松分布，记做XP()。,易知,泊松分布在实际中具有十分广泛的应用：电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数车站某时段候车人数及购物中心来往顾客的人数在一个时间间隔内某种放射性物质发出的经过计数器的粒子数等都服从泊松分布泊松分布也是概率论中的一种重要分布。,例1 统计资料表明某路口每天经过某特种车辆的次数服从 参数为6的泊松分布,求该路口一天内至少经过两次特

33、 种车的概率。,解 设该路口每天经过特种车的次数为X，由题设XP(6)。 因此，所求概率为,即该路口一天内至少经过两次特种车的概率为0.9826。,解： (1),例2 某种商品日销量XP(5), 求以下事件的概率 (1) 日销3件的概率； (2) 日销量不超过10件的概率； (3) 在已售出1件的条件下，求当日至少售出3件的概率。,(2),(3),二项分布的泊松逼近,其中,二项分布的计算比较复杂。如果XB(n,p)，当n10， p0.3时，可利用泊松定理作近似计算。,泊松定理,证明,例1 设某人每次射击的命中率为0.98。独立射击300次， 试求至少有5次未击中的概率。,解 将每次射击看成一次

34、试验。设未击中的次数为X，则 XB(300,0.02)。其分布率为,至少有5次未击中的概率,由微积分学知识可知，连续型随机变量的分布函数是一个连续函数。,定义 设随机变量X,如果存在非负可积函数f(x)，使对任意,则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数或密度。,设X为连续型随机变量，则对任意的实数ab,即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a，t=b及t 轴所围面积。,因此，X取任意单点值a的概率,从而,密度函数的性质,连续型随机变量的密度函数有如下性质：,4. 在f(x)的连续点上，有,解,f(x)的图形如右图,当x0时,从而得,解 由密度函数性质,(

35、1),(2),解 由密度函数性质,任一元件使用寿命超过150小时的概率为,(1),(2),几个重要的连续量 均匀分布 定义 X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b),例 在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并 求 的值； 若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数 大于0的概率。,解：X在区间(-1,2)上均匀分布,设10个数中有Y个数大于0，,则：,X具有如下的无记忆性：,指数分布定义 设X的概率密度为 其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。 记为,定义 设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为的正态分布(Gauss分布)，记为

36、可以验算：,正态分布,称为位置参数(决定对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性),X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,(2) 已知b求a使 ，反过来查标准正态分布表可得a的 值。如 ，查表得 a=1.96。,(3) 当a0 时，利用标准正态分布密度函数 图形的对称 性可得,例1 一批钢材(线材)长度(1) 若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率； (2) 若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间 (97,

37、103)内，问至多取何值？,例2 设某地区男子身高(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大175cm 的概率； (2) 若从中随机找5个男子测身高，问至少有一人身高大于 175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？,在许多实际问题中, 常需要考虑随机变量函数的分布。 如在一些试验中，所关心的随机变量往往不能直接测量得到，而是某个能直接测量的随机变量的函数。 在本节中，我们将讨论如何由已知的随机变量X 的分布去求它的函数Y=f(X)分布。,例2 已知X具有如表所示的概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。,解：Y的所有可能取值为0,1,即，找出(Y=0)的等价事件(X

38、=0)； (Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1),例1 若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若 则面积 服从什么分布？,1. 离散型随机变量函数的分布,设X为离散型随机变量，其分布律为： 随机变量 ，从而Y的所有可能取值为： 因此Y也是离散型随机变量。注意到 时， 也有可能出现的情况，故Y 的分布律为,例 1 设随机变量X的分布律如下表，试求Y=(X-1)2的分布律。,解： Y所有可能取的值为0、1、4。由,即得Y的分布律为,例 2 设X服从参数为的泊松分布,试求Y=f(X)的分布，其中,解: 易知Y的可能取值为-1,0,1，且有,2. 连续型随机变量函

39、数的分布,设X为连续型随机变量，已知其分布函数Fx(x)和密度函数fx(x) ，随机变量Y=g (x) ，求Y的分布函数FY(y)和密度函数fY(y) 。,求随机变量Y=2X+8的概率密度。,例1 设随机变量X具有概率密度,解： 先求Y=2X+8的分布函数FY(y)。,于是得Y=2X+8的概率密度为,解: 先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数,例2 设随机变量 ，试求出 的密度函数。,从而,定理 设连续型随机变量X具有概率密度fx(x)，又设函数 y=g(x)处处可导，且g(x)0(或g(x)0)，则Y=g(X)的 概率密度为,例3 设随机变量X具有概率密度,求Y=ln X 的概率密度.,解

40、：,1,第一节,二维随机向量的概率分布,2,第二节,二维随机向量的分布函数,3,第三节,边缘分布,本章内容,4,第四节,条件分布,5,第五节,相互独立的随机向量,6,第六节,二维随机向量函数的分布,问题的提出例1 研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2 研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。,定义 设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机

41、变量(X,Y)的分布函数。,定义 设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。,分布函数 的性质,离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：,定义 若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。,分布律的性质,例1 设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。,解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i

42、=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。,即(X,Y)的联合概率分布为：,二维连续型随机变量,例3 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：,例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解：,二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中，X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。,事实上，,对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为,X,Y的边缘分布律为：,注意：,对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为,事实上，,同理：,X,Y的边缘概率密度为：,由条件概率公式可得：,当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。,同样，对于固定的xi，若，

43、则称：,定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj，若 ，则称：,例1 盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球， 以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求 (1) X，Y的联合分布律； (2) X=1时Y的条件分布律； (3) Y=0时X的条件分布律。,解：X, Y的联合分布律为,故在X=1的条件下，Y的分布律为：,同理PY=0=1/3，故在Y=0的条件下，X的分布律为：,定义 条件分布函数,定义 条件概率密度,也就是，由,事实上，,条件概率密度的直观意义：,例1 设二维随机变量(X,Y)在区域 内均匀分布，求条件概率密度,二维均匀分布的条件 分布仍为均匀

44、分布,解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为：,Y的边缘概率密度为：,于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：,例1 二维随机变量 (X,Y)具有概率密度f(x,y)，X和Y是否相互独立？,解 计算得，X和Y的边缘概率密度分别为：,一般n维随机变量的一些概念和结果,边缘分布,相互独立,定理1定理2,为了解决类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布。,得,离散型随机变量函数的分布,定理1,定理2,这个公式称为离散型卷积公式。,其中，若 X,Y 独立，,连续型随机变量函数的分布,1. Z=X+Y 的分布,由此可得概率密度函数为,由于X 与Y 对称,当 X, Y 独立时,例1 设两个独立

45、的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分 布，求 Z=X+Y 的概率密度。,说明,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,例如：设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具 有正态分布。,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限，先找出使被积函数不为0的区域,（如下图所示）,也即,于是,同理可得,故有,当 X, Y 独立时,由此可得分布密度为,例1,得所求密度函数,得,3. 极值分布,则有,故有,是否可以推广？,极值分布的推广,若 X与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量，X的分布密度为p(x)，则M与N的分布密度为,上述结论可以推

46、广到n维情形，即若设随机变量相互独立同 分布，令 则它们的分布函数分别为,它们的概率密度函数分别为：,例1 设X,Y独立同分布，PX=i=1/3,i=1,2,3，求M=Max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布律。 解： 从而M的分布律为,类似可得N的分布率为,从而M的分布律为,解一: PY=n= Pmax(X1,X2)=n,=PX1=n, X2n+PX2 =n, X1 n,记1-p=q,例2 设随机变量X1,X2相互独立，并且有相同的几何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布。,n=1,2,解二: PY=n=PYn

47、-PYn-1,=Pmax(X1,X2) n-Pmax(X1,X2) n-1,=PX1 n, X2n-PX1 n-1, X2 n-1,n=1,2,1,第一节,数学期望,2,第二节,方差,3,第三节,二维随机向量的协方差与相关系数,本章内容,4,第四节,矩与协方差矩阵,问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例如 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。

48、,定义,离散型,例如 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学 期望。,连续型,定义,数学期望简称期望，又称均值。,例1,设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？,解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，,设Y表示一周内所获利润，则,例2,几个重要分布函数的期望,0-1分布的数学期望,EX=p,二项分布B(n, p),证明：,例4,泊松分布,均匀分布U(a, b),指数分布,正态分布N(, 2),例如：设随机变量X的分布律

49、为,解:,随机变量Y=X2的数学期望？,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,定理1 若 XPX=xk=pk, k=1,2, 则Y=g(X)的期望E(g(X)为：,绝对收敛,离散型,定理2,连续型,例1 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),解:,解： Y=ax+b关于x严格单调，反函数为,Y的概率密度为,例2 设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y=aX+b的数学期望(其中a0),推广到两个或两个以上的随机变量,推论 若 (X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 则Z= g(X，Y)的 期望：,绝对收敛,离散型,推论,连续型,例1,例2

50、长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客 不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求 乘客的平均候车时间。,解: 设乘客于某时X分到达车站，候车时间为Y，则,=10分25秒,例3 设随机变量(X,Y)的概率密度为：,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况!,证明：,（注意：下面仅对连续型随机变量给予证明）,例1 一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10个 车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停 车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立),解：引入随机变量：,将X分解成数个随