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1、第一讲 数学解题思维策略高考数学代数推理题一、数学解题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动在高考试卷中，有一类问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法接轨，这就是代数推理题这类问题立意新颖，抽象程度高，是数学问题的典型代表具体说来，其思维过程一般分为三步：首先要领会题意（审题）弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，则把它翻译成数学语言；其次要明确方向在审题的基础上，运用所学知识和数学思想方法，明确解题目标与方向；最后要规范表述采用适当
2、的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确地表述在这里，第一步是关键，这就是我们通常说的审题二、如何审题？1、理清题意审题，就是明确题目的已知和未知，是解题的第一步，这一步不要怕慢从近年高考命题的特点来看，试卷容量有减少的趋向，目的也就是要突出对考生的能力检查，增加思考量，倡导多给考生一点思考和探索的时间其实，题目本身就是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意2、条件启发解题手段，结论诱导解题方向解题实践表明，条件往往预示可知并启发解题手段，结论则预告需知并诱导解题方向可以按照条件列出所有的解题手段表解，根据结论写出可能的解题方
3、向，并寻找出它们之间的联系，这样做的另一个好处是，可以将题目进行分解，避免失分3、挖掘隐蔽条件对于条件，一定要用足用够解题过程中的关键之处，往往是题目未明显写出的，即隐蔽给予的一方面，解题时如果遇到“盲点”，可以回过头来分析是否用足用够条件；另一方面，也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这也说明，审题一定不要怕慢例1（2005年成都一诊22题）对于函数f(x)，若存在，使成立，则称为函数f(x)的不动点已知若对，f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；在的条件下，若y=f(x)的图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值条件分
4、析条件呈包含关系，子条件在结论二中列出前提条件解题手段：信息迁移（数学含义）三个“二次”结合（数形结合）；子条件解题手段：隐蔽条件；对称性（数形结合）垂直、中点（点差法）结论分析两个结论结论一解题方向：不等关系；结论二解题方向：利用单调性求最值练习：1、设，已知时，f(x)的最小值是求；求在的条件下，f(x)0的解集A；设集合，且，求实数t的取值范围答案：； ；2、定义在R上的函数f(x)满足：如果对于任意，都有，则称函数f(x)是R上的凹函数已知二次函数求证：当时，函数f(x)是凹函数；如果，试求实数a的取值范围答案：略；实数a的取值范围为三、若干具体的解题策略为了使解题的目标和方向更明确，
5、思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些具体的解题策略一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的基于这样的认识，常用的解题策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化和间接化等策略1、熟悉化策略熟悉化策略，就是将陌生的题目变为曾经解过的比较熟悉的题目，进而利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题可以在分清题目条件和结论的基础上，通过变换题目的条件、结论及其联系上下功夫联想回忆基本知识和题型通过联想回忆，找出现有问题和熟悉问题之间的相似之处和相同的知识点，充分利用相似问题中的方
6、式、方法和结论，从而解决现有问题全方位、多角度分析题意全方位分析题意，即把题目的所有条件都要分析透，并找到各条件间以及条件和结论间的联系，从中找出熟悉的解题手段；多角度分析题意，就是要善于从不同的侧面、不同的角度去认识，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，找到自己熟悉的解题方向恰当构造辅助元素通过构造辅助元素，如构造数列、构造图形或几何量、构造等价性命题等，改变题目的形式，变陌生题为熟悉题例2（2003年成都一诊20题）已知数列an的前n项和为Sn，p为非零常数，满足条件：a1=1；Sn=4an+Sn 1 pan 1()；求证：数列an是等比数列；求数列an的通项公式；若bn=nan
7、，求数列bn的前n项和条件分析条件呈包含关系，子条件分项列出子条件、联想回忆：an=Sn Sn 1()；子条件联想回忆：等比数列前n项和的极限值存在，则公比q的绝对值小于1结论分析三个结论结论一根据定义证明；结论二求出公比；结论三联想回忆：数列bn的通项是等差、等比数列的通项积，可用错位相减法求前n项和解题评析证明： Sn=4an+Sn 1 pan 1()， an=Sn Sn 1=4an pan 1，（点评：应用an=Sn Sn 1()） 3an=pan 1 且a1=1， ， ，故数列an是首项a1=1，公比的等比数列（点评：应说明）解： ， ，（点评：应用无穷递缩等比数列前n项和的极限） p
8、=1， 数列an的通项为解：， ，得 （点评：使用错位相减法求数列前n项和） 练习：1、数列an的前n项和记作为Sn，已知写出an的通项公式，并证明；对于给出的正整数k，当nk时，且，求k值答案：；k=2, 3, 42、一计算装置有一数据入口A和一个运算结果的出口B将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到数列结果表明：从A口输入n=1时，从B口得到；当时，从A口输入n，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第n+1个奇数从A口分别输入2和3时，从B口分别得到什么数？猜测并证明当入口A输入自然数列时，从B口得到的数列的通项公式；为满足计算需要，工程师对装置进
9、行了改造，使B口出来的数据依次进入C口进行调整，结果为一列数据若，则非零常数p、q满足什么关系式，才能使C口所得数列为等差数列？答案：和；3、一个正三棱锥，其侧棱长为1，且三条侧棱两两垂直，求该三棱锥的外接球的表面积答案：2、简单化策略简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法将其转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题简单化是熟悉化的补充和发挥一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的
10、有：寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等寻求中间环节，挖掘隐含条件就多数结构复杂的题目的生成背景而论，大多是由一些简单题目经适当组合并抽去中间环节而构成的因此，应尽可能从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，以实现复杂问题简单化分类考察讨论某些题目，其解题的复杂性在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化简化已知条件，恰当分解结论如果解题的复杂性来自于条件或结论的抽象概括，可以考虑将条件进行简单化处理，或尝试把结论分解为几个简单的
11、部分，以便各个击破，解出原题例3已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，设，求数列的前多少项和最大，最大值为多少？试判断是否存在自然数M，使当nM时，恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；令，试判断数列的增减性条件分析三个条件第一个条件解题手段：等比数列；第二个条件解题手段：两个数列间的关系等比数列的对数；第三个条件解题手段：第二个数列具体化结论分析三个结论，皆属探索性命题结论一最值探索；结论二有界性探索；结论三单调性探索解题关键数列是定义在正整数集上的函数解题评析（I）设等比数列的公比为，则 ， 数列为等差数列，设公差为d（点评：挖掘隐含条件数列为等差数列） ， ， 设数
12、列前k项和最大，则， 前11项和及前12项和为最大，其和为132（II）若，即，当a1时，n12，不等式不成立；当0a12，不等式成立（点评：分类考察讨论） 存在，当nM时，恒成立（III） ， n13时，数列为递减数列练习：1、若函数的最大值为1，求a的值答案：2、已知设P：函数在R上单调递减；Q：不等式的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，试求c的取值范围答案：3、设函数，对一切，都有，求证：对一切，都有3、直观化策略直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象、不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所涉及的各对象之间的联系，从而找到原题的解题
13、思路图表直观有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了因难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底. 对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，将有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索图形直观对某些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，计算量偏大这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，以拓宽解题思路，找到简捷、合理的解题途径图象直观不少涉及数量关系的题目，都与函数的图象密切相关如果灵活运用函数图象的直观性，常常可以以简驭繁，获得简便、巧妙的解法例4某摩托车生产企业，上半年生产摩托车的投入成本1万
14、元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润写出本年度预计的年利润y与投入成本增加比例x的关系式；为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？试题分析列表如下：成本（万元/辆）出厂价（万元/辆）销售量（辆）去年11.21000今年1+x1.2(1+0.75x)1000(1+0.6x)解题评析依题意和上表数据有 ，整理得 （点评：布列关系式时，不仅要紧扣题意，还要注意自变量x的取值
15、范围，特别是应用题的定义域必须同时满足解析式有意义和实际问题有意义，只有准确写出定义域方可避免解答过程的失误或答案的失误）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 将y的关系式代入，解不等式组得答：为保证本年度的利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0x0)，且，求f(x)并证明a1答案：2、已知函数定义域为R，对于任意实数都满足，当时，判断f(x)的奇偶性和单调性；当时，对所有的均成立，求实数m的取值范围答案：略；3、在中，若，则为直角三角形，且C为直角现在请你研究：若，则为何种形状的三角形？答案：锐角三角形5、一般化策略一般化策略，就是当我们面临的是一道计算比较复杂或内在联系
16、不甚明显的特殊问题时，应设法把特殊问题一般化，从而找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，以顺利解出原题例8（2002理）已知函数，那么 _练习：1、已知函数，且构成一个数列，满足求数列的通项公式，并求之值；证明答案：，；略2、已知椭圆和点，若线段AB与椭圆没有公共点，求实数a的取值范围答案：6、简接化策略间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，就需要改变思维视角，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题. 所谓正难则反，说的也就是这个意思例9函数的定义域为R，且求证：a0，b0， （点评：分类讨论） ，即b0
17、，b0 ， a=1又， ，（点评：待定系数法） 当时，（点评：一般化策略） 练习：1、若二次函数在区间上至少存在一点m，使，求实数p的取值范围答案：2、某正态总体的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间之间的概率（参考数据：，）答案：0.46423、盒子里装有若干个球，每个球都记有从1开始的一个号码，设号码为n的球重（克）假设盒子的容量最多可装35个球，而且符合条件的球无一例外的都被装入盒中，这些球以等可能性（不受重量、号码的影响）从盒子里取出如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率答案：；四、寻根查祖，提高数学解题能力可以
18、通过以下探索途径来提高解题能力：1、研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解2、清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的3、深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要在图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现4、尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目5、仔细考虑题意是否有其他不同理解题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条
19、件？6、认真研究题目提出的目标通过目标找出哪些定理、法则、公式同题目或其他元素有联系7、如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解题思路的展开以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点在制定计划寻求解法阶段，可以利用下面这套探索方法：1、设法将题目与你会解的某一类题联系起来或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法2、记住：题的目标是寻求解答的主要方向在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题3、解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较用这种办法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整4、尝试能否局部
20、地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代5、分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大对条件的理解6、尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解7、研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响8、改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望” 9、万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或参考书中找一个同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示例1（
21、2005年成都一诊19题）已知函数f(x)的图像与函数的图像关于点对称求f(x)的解析式；若，且在上为增函数，求实数a的取值范围条件分析条件呈包含关系，子条件在结论二中列出前提条件解题手段：对称性（数形结合）中点坐标；子条件解题手段：三次函数；单调性导数（二次函数）手段一：分离系数（大于最大的，小于最小的）；手段二：三个“二次”结合（数形结合）结论分析两个结论结论一解题方向：求轨迹方程的一般方法；结论二解题方向：不等关系解题评析设为图像上任一点，则点P关于点A的对称点为，由已知条件知点Q在h(x)的图像上 ，即 （点评：函数与方程的关系） ， 在R上为增函数， 在R上恒成立只需恒成立，即只需即可 a的取值范围是-17-
