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1、第四节常见离散型随机变量的分布,一、两点分布 三、泊松分布二、二项分布 四、几何分布,一、两点分布,则称X 服从参数为p的两点分布，或参数为p的0-1分布.,在一次伯努利试验中，若成功率为p ，成功的次数X的分布为,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,两点分布的期望与方差,设X服从参数为p的0-1分布，则有,若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率为p(0p1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的次数（事件A发生的次数）X的分布列为:,记为 XB(n,p)或Xb(n,p).,称X所服
2、从的分布为二项分布.,二、二项分布,二项分布X的分布列表（q=1-p),例1 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击 中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.,P(X=0) =0.01024,P(X=1) =0.0768,P(X=3) =0.3456,P(X=4) =0.2592,P(X=5) =0.07776,P(X=2) =0.2304,解:,n=5, p=0.6,例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合格品件数Y均服从分布为二项分布.,X对应的实验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,所以, XB(
3、4,0.8),类似,YB(4,0.2),若A和 是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.,二项分布的期望与方差,注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。,则,例2 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次 数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期 望E(X2)=( ),18.4,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例3,故所求概率为,三、泊松分布,例4、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且已知
4、,解：随机变量 X 的分布律为,由已知,由此得方程,得 解,所以，,例5 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=4的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？,解:,设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数=4的泊松分布.,设商店在月底应进某种商品m件,进货数,销售数,查泊松分布表得,也即,于是得 m=8（件）.,泊松分布的期望与方差,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .,近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.,在实际中，许多随机现象
5、服从或近似服从泊松分布.,二项分布与泊松分布的关系,在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中发生 的概率为pn (与试验次数n有关), 则成功次数X服从 二项分布，当,则对于任何非负整数k，有,泊松定理：,泊松定理的应用,由 Poisson 定理，可知,若随机变量Xb(n,p),设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例6 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他命
6、中的概率是p，求射击次数X 的概率分布.,解: X 可能取的值是1,2, ,P(X=1)=P(A1)=p,计算 P(X =k )，,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,所求射击次数X的概率分布为：,四、几何分布,则称X服从几何分布，记作,在独立重复伯努利试验中，若成功率（事件A发生的概率）为p，如果X为首次成功（事件A首次发生）时的试验次数，X的分布列为,例如 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 则X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.,几何分布的分布列,概率分布 P(X=k)=p(1- p)k-1, k=1,2,n,其中0p1, 记q=1- p,求和与求导交换次序,几何级数求和公式,几何分布的期望和方差,将q看成变量,DX=EX2-(EX)2,几何分布的无记忆性,对任意正整数n，m，有,若在前m次试验中都没有成功（事件A都没有发生），则继续n次试验仍未成功（事件A仍未出现）的概率只与n有关，而与以前的m次试验无关.,该定理表明：,
