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1、輔助教師分析國小學生小數學習迷思概念及教學策略支援系統目錄1、緒論51.1研究動機61.2研究目的71.2.1建構具有小數迷思概念之題庫81.2.2結構化呈現小數學習迷思概念81.2.3協助教師抉擇適性化教學策略92文獻探討102.1診斷教學102.2電腦輔助測驗122.3小數迷思概念162.4概念構圖262.5機器學習與決策樹技術272.6適性化課後輔導292.6.1課後輔導292.6.2同儕交互指導教學292.6.3家庭協助教育：302.6.4自學輔導or熟練學習or精熟學習(mastery learning)313、研究方法及研究工具323.1研究流程323.2研究對象及限制343.3建
2、構具小數迷思概念飲題庫產生器353.4依答題結果建構迷思概念圖403.5依教師經驗以決策樹支援教學策略413.6Association rule413.7資料搜集與分析414系統實作與實驗結果434.1系統功能說明434.2教師出題模組454.3小數迷思模版454.4學生答題模組544.5迷思概念結構模組544.6決策支援模組544.7實驗結果545實驗結果555.1成績群組分布555.2迷思結構分佈565.3適性化課後輔導決策支援666結論717參考文獻72表格目錄表格 1國民小學三至六年級小數迷思概念表25表格 2自動題庫產生器範例一36表格 3自動題庫產生器範例二36表格 4新湖國小數學
3、科教材版本37表格 5三年級小數迷思模版47表格 6四年級小數迷思模版50表格 7五年級小數迷思模版53表格 8六年級小數迷思模版53表格 9小數迷思診斷測驗成績55表格 10小數迷思診斷測驗成績高、中、低組人數56表格 11總數302筆資料決策樹分類前後對照表66表格 12家庭協助分類路徑68表格 13同儕交互指導分類路徑69表格 14自學輔導分類路徑69表格 15課後輔導分類路徑70圖表目錄圖 1決策樹示意圖28圖 2實驗流程圖33圖 3康軒版小數教材編排39圖 4本研究預計使用之小數迷思概念圖40圖 5系統功能說明43圖 6系統學生介面44圖 7教師出題模組45圖 8 th40329學生
4、原始迷思概念結構分佈圖57圖 9 th40329學生切割後迷思概念結構分佈圖58圖 10 th40430學生原始迷思概念結構分佈圖59圖 11 th40430學生切割後迷思概念結構分佈圖60圖 12 th40404學生原始迷思概念結構分佈圖62圖 13 th40404學生切割後迷思概念結構分佈圖63圖 14 th40204學生原始迷思概念結構分佈圖64圖 15 th40204學生切割後迷思概念結構分佈圖65圖 16適性化教學策略專家決策樹671 、緒論迷思概念(misconception)指的是指在某一特定概念中，對某事件或某現象，所持有的一些有別於目前所公認的想法52，其形成的原因可能源自於
5、學生日常生活經驗的自我學習所得，也可能來自於學生對老師機械式敎學的一知半解2。在學生學習的過程產生迷思概念時，教師若能適時做教學策略的調整，即能有效澄清學生的學習迷思並調整錯誤的概念。診斷教學法(diagnostic teaching)即是協助教師解決學生迷思概念的教學策略之一，近幾年來許多相關研究820 23指出診斷教學能有效的解決學生迷思概念，其主要的理論是假設當學生所處的學習環境時，其要求掌握的資訊量超過能力負荷時，學生將就趨向發展出合理但過於簡化的解題策略43，因而產生學習迷思。依據診斷教學法的理論基礎，教師可將含有迷思概念的佈題融入至題目(item)或答案選項(choice)中，經由
6、行間巡視或由學生發表的答案內容(response)來診斷學生可能具有的迷思概念。 因此在診斷教學中，教師就所瞭解學生所犯的錯誤，在教學中設計活動有機會呈現出來6，使學生能夠以自覺的方式發現認知有誤，並產生認知上的不平衡，進而以認知調整的需求來導正其迷思概念。依診斷教學理論，當學生學習過程中產生迷思概念時，若能針對學生的迷思進行修正的工作，即時有效地澄清學生的迷思概念，不同教師對於使用適性化的教學策略類型的選擇方式不一，影響教師選擇教學策略類型的因素皆來自於教師本身的教學經驗及專業素養，另外在面對不同背景及學習特性的學生時也會影響教學策略類型的抉擇結果，教師依據學生不同的迷思結構分佈狀況及不同學
7、習背景進行重點補救或適性化的輔導，以解決學生的迷思概念。因此，如何設計一個具有分析迷思概念之能力的題庫，以及針對不同教師及不同特質的學生，在人數眾多或大班級教學環境中分析各種可能的迷思分佈狀況，並提出適性化的教學策略，將是一項重大的挑戰。1.1 研究動機在平日生活環境中，數學與我們生活密不可分，而生活中牽涉到小數的部分也有許多（例如10.5公分、1.5公斤、成績統計、計算機的使用等等），小數是因應人類生活的需要所產生的，所以在日常生活中是相當普遍的，這些都是在生活中與外界溝通需要使用的數學語言與工具，所以具備正確且完整的小數概念是必要的。小數在數的發展過程中扮演了一個重要的角色，更在小學數學課
8、程中有其相當的份量11。我國九年一貫數學領域之課程綱要於2003年11月14日由教育部正式發布，並從2005年8月1 日（九十四學年度）起自一年級及七年級的學生同步逐年實施。現今九年一貫數學教材大網歷經多次改版，包含九十學年度第一學期實施的暫行綱要及目前實施的現行綱要，復加以一綱多本的前提下，各學校每年所採用的教材內容不盡相同，使得國民小學數學教學及出現教材銜接上的問題1，更導致教師在教學及補救教學時難以了解學生的迷思概念結構分佈狀況，對於班級與個別學生在不同迷思概念發生次數與比率以及班級學生發生個別迷思概念的人數等皆難以掌握，進而造成提供適合輔導的困難。對於國民小學生來說，小數概念抽象且複雜
9、，根據相關研究結果或評量報告，發現學生在小數學習方面表現並不理想11。許多學生在學習小數的知識時偏向程序性的瞭解或以記憶性的居多，而忽略概念性的理解，以致於日後學習計算時遇到學習障礙，因為只有熟記算則，不理解算則背後的原理，所以無法掌握計算的結果10，造成學習小數迷思概念產生。因此，倘若教師無法在教學過程中即時發現學生的迷思概念並適時加以輔導，將使得日後具有相依性質的章節教學時將更加困難，為了不使學生的迷思影響後來的學習成效，教師需要立即且詳細地分析學生的迷思概念。然而，教師在分析學生迷思概念之前，必須收集許多資料，在面對愈來愈多的教學資訊時，產生的information overloadin
10、g資訊過荷41現象，將使得許多研究學者所提出的教學理論難以推行，這使得以電腦科技輔助傳統教室教學漸漸成為趨勢，許多工具及系統，如machine learning42與decision tree42應普遍應用在實際的教學環境中，藉其優點，可減輕教師負擔，教師可經學生在網路系統上的輔助瞭解學生學習狀況，並調整教學策略，以達到適性化教學，其原則是以適應學生的個別差異，運用個別化的教學方式，然而無論是智力因素或非智力因素的個別差異，實施適性教學時都應該先廣泛的收集學生個人的背景資料，評估學生的知識與技能水準，調整教學，讓學生作好下一個階段學習的準備78。因此，為使小數迷思診斷教學活動能順利進行，教師將
11、面臨以下三個困難：1. 教室人數過多，教師難以經由行間觀察法掌握個別學生的學習時產生的迷思概念。2. 針對不同學生之迷思概念，教師無法掌握其迷思形成的結構，亦無法分析或統計全班同學共有的迷思分佈情況。3. 教師面對不同的迷思概念時會有不同的教學策略，教師將如何針對不同迷思狀況抉擇適性化教學策略已以改善迷思狀況。本研究將提出一套以資訊科技輔助教師進行診斷教學，並以機器學習的技術協助教師依據不同學生的迷思分佈及結構選擇適當的教學策略以協助修正其迷思概念。1.2 研究目的基於以上研究動機，本計畫將以國民小學數學科教材中之小數教學為研究題材，提供具有支援學生學習迷思概念之題庫，經由學生以電腦或紙筆測驗
12、後之結果，分析迷思概念之結構，並協助教師進行適性化的補救教學。本研究提出以下三個研究目的，以解決上述三種教師在進行適性化輔導國小學生小數迷思概念時所面對的問題。1.2.1 建構具有小數迷思概念之題庫現今教師分析學生迷思概念的方式，大部分是利用學期末的時段以紙筆測驗卷的結果進行分析，可以使用古典測驗理論(Test Theory)51或現代測驗理論(Item Response Test-IRT)的測驗卷79，無論使用哪一種，皆將焦點專注在評鑑學生的學習成效，或是學生依試題難度及鑑別度所得到的不同反應，仍然無法即時反應每一位學生之迷思概念。除了紙筆式的測驗方式之外，目前對於迷思概念的分析皆採用目前常
13、見的行間觀察或將解題過程錄影後再詳細分析或訪談的方法，這些方式雖然有效，但是也將大量增加教師的教學負擔。本研究將建構出具有結構化迷思概念題目及誘答題的線上評量卷，將國小學生及數學課中的小數迷思概念，依不同結構分散在題目選項當中，並提供視窗化界面協助教師佈題並獲得試後分析結構時之需求。1.2.2 結構化呈現小數學習迷思概念以往測驗結束後，教師只看得到學生整體與個別的總成績、平均分數、排名，對於學生詳細具體的錯誤迷思狀況並無法掌握，而錯誤迷思種類可能不只一種而是同時存在，甚至有其相依性質，迷思發生的比率也難掌握，以致於測驗後的教學策略不容易適性化，針對關鍵問題來加以輔助學習。本研究將採用概念圖16
14、的理論及技術以改善以往測驗難以掌握學生學期狀況與錯誤迷思，將學生依前一節所述迷思概念題庫作答之答案收集後，對於班級所有學生及個別學生都提供教師一個圖型化的迷思架構圖，在架構圖上對於小數相關迷思概念可看到迷思概念之分類、相依性質與相互階層關係，提供教師更進一步了解其迷思概念可能的形成原因或關鍵因素，以作為優先選擇或按排輔導迷思進度與順序的參考。1.2.3 協助教師抉擇適性化教學策略許多數學補救教學只採取單一的教學策略，即是反覆練習作業單，這是目前我國數學科補救教學的課程與教學的重要問題之一，事實上各種錯誤類型分析和解題策略才應是數學科補救教學的主要方向和重點35。教師在了解學生的迷思概念架構或形
15、成原因後，面對不同的學生的迷思概念，教師會依其專業知識及經驗決定使用不同教學策略，而為了協助教師能在最快的時間內做出正確的決擇本研究將利用機器學習中的決策樹64技術，記錄並學習種子教師的決策過程，形成專家決策樹，將全班學生及個别學生的迷思概念資料配合教師抉擇的教學策略類型，產生決策關連規則，將把全部學生分為四類：（1）同儕交互指導（2）測驗練習（3）家庭協助（4）教室課後輔導，然而，最後將學生分類的目的是期望教師能再同一時間將不同類別的學生同時進行輔導，達成不同類型學生相同時間分別做不同的教學，針對不同教學者分成四類，（1）同儕交互指導即是同學指導（2）測驗練習即是自我學習（3）家庭協助即是家
16、長兄長指導（4）教室課後輔導即是任課教師指導。以供日後其它教師在進行同一教學內容時，面對學生類似的迷思結構及背景狀況時，可迅速獲得適當的教學建議及參考。 2 文獻探討本研究的相關文獻部分，將依建構理論、診斷教學、電腦適性化測驗理論、小數迷思與認知衝突、概念構圖、機器學習與決策樹等方面來進行論述：2.1 診斷教學診斷是利用資料來決定所該做的事項，以改進情境、行動或成就。診斷的目的不是給予等第，而是根據實況給予建議事項。診斷適當內容程度和檢閱學生學習型態，教師必須對於學習環境敏感；環境對學習有幫助，也有所阻礙，致使學習成功，也能導致失敗。因此診斷教學需考慮或改善環境20。依據陳海泓提出診斷教學有三
17、種形式20：（1）正式診斷教學：是將診斷項目與規定標準加以比較。設計良好的測驗是正式診斷教學最普遍使用的工具。其優點是給予每個學生所需的資料，其缺點是浪費時間；並且，其資料的蒐集和教師使用之間，也因必須批改和紀錄資料，通常會延擱時間，簡單的正式診斷教學可以瞭解一般學習的困難處、成就的最高點、和開始所需的新學習。（2）非正式診斷教學：是診斷教學的核心，廣泛的需要每個學生或每一情境的資料。它的資料可透過團體的回饋或敏銳的觀察而獲得。教師利用敏銳的觀察通常能獲得一些有用的資料，決定該以哪一程度教學、何時繼續、何時回溯及再教學。觀察可著重於過程討論；亦可著重於成果數學試卷。其優點是資料容易獲得，不需要
18、固定的測驗，且在教學時能立即使用；缺點是精確度較正式診斷差，但仍適用於大部分的學生。（3）推論診斷教學：以教師的經驗和一群人或個人為基礎，也可能以教師的經驗和以前的一群人、個人或看來與目前類似的情境為基礎。教師以過去的班級學生獲取某一觀念所費的時間，做為推論現在班級了解此觀念的大概時間。其優點是能節省正式或非正式診斷教學活動所需花費的時間和精力；缺點是效度是視現在與過去的相似性而定。此效度的範圍能從低到高，是教師專業的機靈而定。本研究涵蓋了正式診斷教學中設計測驗、非正式診斷教學中收集班級導師觀察每位學生之各項資料、及推論診斷教學中，運用專家決策樹，模擬老師決策教學策略，可做日後教學之參考。數學
19、教學過程中的評量以不打擊學生的學習信心為原則，進行診斷下列事項5：（1） 學生瞭解的程度：許多學生在學習知識或概念時瞭解都不完備。教師對於學生瞭解的程度來評量，而不只是告訴學生結果他的對、錯或者他會、不會，可以增加學生學習信心。（2） 學生的解題策略：評量學生某題做對或做錯的做法雖也能獲得一些學生瞭解程度的資訊，但如果能進一步評量出學生解題時的想法與解題策略，就更能清晰地呈現出學生的學習情況。（3） 學生常犯的錯誤：教師在教每一年的學生，在相同單元常會發生出現過的錯誤類型，診斷評量的主要目標之一，就是要找出這些錯誤類型，進而改正觀念。（4） 學生犯錯的原因：瞭解學生出錯的原因後，診斷評量大致完
20、成，對於教師設計教案、決定教學策略，皆對學生有效改進錯誤，因此學生出錯的原因是相當寶貴的資料。【簡化.二段式診斷測驗，困難先整段刪掉】2.2 電腦輔助測驗測驗理論(test theory)（或全稱叫心理測驗理論）20 是一種解釋測驗資料間實證關係(empirical relationships)的有系統的理論學說，它的發展，迄今已邁入不同的新紀元，測驗理論學者通常把它劃分成二大學派：一為古典測驗理論(classical test theory)主要是以真實分數模式(true score model) 為骨幹51；另一為當代測驗理論(modern test theory) 主要是以試題反應理論(
21、item response theory, IRT)為架構52。這兩派理論目前並行流通於測驗學界。兩派測驗理論之比較：古典測驗理論的內涵，主要是以真實分數模式（亦即，觀察分數等於真實分數與誤差分數之和，數學公式為）為理論架構，依據弱勢假設(weak assumption)而來，其理論模式的發展已為時甚久，且發展得相當規模，所採用的計算公式簡單明瞭、淺顯易懂，適用於大多數的教育與心理測驗資料，以及社會科學資料的分析，為目前測驗學界使用與流通最廣的理論依據。然而，除上述各項優點外，古典測驗理論卻有下列諸項先天的缺失70：1. 古典測驗理論所採用的指標，諸如：難度(difficulty)、鑑別度(d
22、iscrimination)、和信度(reliability)等，都是一種樣本依賴(sample dependent)的指標；也就是說，這些指標的獲得會因接受測驗的受試者樣本的不同而不同，因此，同一份試卷很難獲得一致的難度、鑑別度、或信度。2. 古典測驗理論以一個相同的測量標準誤(standard error of measurement)，作為每位受試者的測量誤差指標，這種作法並沒有考慮受試者能力的個別差異，對高、低能力兩極端組的受試者而言，這種指標極為不合理且不準確，致使理論假設的適當性受到懷疑。3. 古典測驗理論對於非複本(nonparallel)但功能相同的測驗所測得的分數間，無法提供
23、有意義的比較，有意義的比較僅侷限於相同測驗的前後測分數或複本測驗分數之間。4. 古典測驗理論對信度的假設，是建立在複本(parallel forms)測量的概念假設上，但是這種假設往往不存在於實際測驗情境裡。道理很簡單，因為不可能要求每位受試者接受同一份測驗無數次，而仍然假設每次測量間都彼此獨立不相關，況且，每一種測驗並不一定同時都有製作複本，因此複本測量的理論假設是行不通的，從方法學邏輯觀點而言，它的假設也是不合理的、矛盾的。古典測驗理論忽視受試者的試題反應組型(item response pattern)，認為原始得分相同的受試者，其能力必定一樣；其實不然，即使原始得分相同的受試者，其反應
24、組型亦不見得會完全一致，其能力估計值應該會有所不同，因此便有當代測驗理論中，依據受測者的反應來評估能力的適性測驗理論(adaptive test)發展，然而受測者的反應資訊及題庫資訊數量龐大，在實際的測試中必需使用電腦計算加以輔助，也就是電腦化適性測驗(Computer Assisted Test-CAT) 3 。對於評量與教學目標的連結來說，教育評量應該是對學生各方面學習情形完整的收集過程，收集的資料是可以供診斷與監控學生的學習情形以及提供學習成就參考，非常具有實際教學功能33。教學進行期間用來測知學生進步情形的測驗稱為形成性測驗。它特別強調：使用測量的結果來診斷和改進教學（而非評定學生的等
25、第）、題目的排定以類別和難度為主要依據。它的目的在於鑑別學生學習是否成功，以求教與學之調適。當學生的學習困難一直持續，無法以形成性測驗所提供的改正方法來解決時，就需要更深入研究學生學習困難之處，此時診斷測驗即為有用的工具，診斷測驗是用來深入探求形成性測驗無法解決的學習困難原因19。所謂客觀的試題代表可被客觀的計分，即使不同的評分者各自評分，所評定的結果也相同。它包含三種試題，即是非題、選擇題、配合題。而知識層次的學習通常用客觀測驗來測量，原因是它有三個優點19：.1. 客觀測驗更適合於所預期的學習結果之測量2. 更能充分代表學生真正行為表現3. 評分迅速且客觀然而試題的品質也必須考慮，如果其他
26、條件相等，選擇題的品質最佳，因為選擇題可以測量到各種不同層次的學習結果（簡單到複雜）。選擇題最大的優點是其適用範圍最為廣泛，除了可以有效測量知識層次外，也可用來測量理解、應用、分析、綜合、評鑑等複雜成就的學習結果19。選擇題的組成元素有兩大部分，題幹（stem）與選項（alternatives）。題幹就是問題本身；選項則是包括一個正確或最佳答案，和數個誘答選項（distractors）。就選擇題的形式而言，可分為四類33：【1】完全的問句（complete question）所謂完整的問句，指的是題幹本身就已經完整，無須選項來補充說明。例如：太一吃了2.3個餅乾，用分數表示的話，要怎麼表示？
27、【2】不完全的敘述句（incomplete statement）在不完全的敘述句裡，必須加上選項，才成為完整的句子。例如：大雄花了1.4小時吃晚餐，可見得他吃晚餐（A）相當於用了14分鐘（B）相當於用了1小時4分鐘（C）相當於用了1小時0.4分鐘（D）相當於用了1小時24分鐘。然而必須建議除非可以使語句更精簡而仍能保持題意的清晰，否則不宜採用不完全的敘述句。尤其對於國小的學生而言，較不容易理解不完全的敘述句的意義。【3】題幹置於指導語中（stem embedded in direction）有的時候由於多個選擇題的題幹完全一樣，所以乾脆把題幹放上作答說明裡。例如：以下題目中，請挑選文法錯誤的所
28、在。Mary and John went to school on yesterday. A B C D【4】選項置於題幹中（alternatives embedded in stem）有時由於選項的敘述非常簡短，因此將選項直接至於題幹中。例如：0.8是（A.8個 B.80個 C.0.1個 D.0.01個）0.01。有些老師偏愛這種可以節省版面的形式，然而嚴格來說，這種編排方式並不值得鼓勵，因為學生的思考會被打斷，尤其對年紀較小的學生而言，會增加很大的困擾。在各式各樣的考題中，選擇題的優點整理後有以下幾點：1. 選擇題可適用於各種不同層次學習結果的測量19。2. 選擇題可避免題意不清的缺點19
29、。3. 選擇題具有診斷的效果10。4. 由於標準答案事先就已設定，因此不用擔心不同的評分者會給不同的分數33。編寫選擇題誘答選項的注意事項33：1. 誘答選項必須有似真性。2. 每個誘答選項最好都能反映出學生的迷思或學習困難。3. 每個誘答選項的文法都必須一致。4. 避免誘答選項間有著重複、同義、相似、包含、或從屬的關係。本研究將採用電腦化適性測驗理論相似的模式，依以上五項要件，提供教師可診斷小數迷思概念的題庫。2.3 小數迷思概念迷思概念（misconceptions）廣為以科學診斷測驗的科學教育學者所用63 68，國內也有學者將迷思概念的研究應用在國民小學的數學教學的研究中78，研究發現迷
30、思概念形成的一般原因有6種26：1. 由正式或非正式教學情境而來。2. 由日常生活經驗或通常用語而來。3. 從知識的缺乏而來。4. 由信念、被允許的意見或同儕的文化而來。5. 學童錯誤理解教師所傳遞的知識。6. 學童過度推論既有知識。國民小學有關於小數教材分佈在三六年級，學生小數迷思大都集中在四、五年級，六年級偏向小數乘除問題3。研究發現學童在獲得的小數知識似乎都偏向程序性的了解或以記憶性的居多，學生常犯的錯誤如下11：l 在概念題部分又有：1. 學童有乘會變大，除會變小的迷思概念。2. 學童在小數除法上，會以大的數小的數來解題。3. 學童直接將分子與分母當作整數與小數部分或小數與整數部分。4
31、. 學童會以小數為數的多寡來判斷小數的大小。l 在計算題部分有：1. 學童以整數加法的經驗類推，而易將數字向右對齊計算。2. 學童在求餘數問題中常以四捨五入法求商。3. 學童在求有餘數的除法中，會忽略餘數的小數點，或是將餘數的小數點對齊移位後的被除數小數點。學生不易掌握小數符號背後的數學意義；連帶的對小數比大小和小數加減產生錯誤或迷思概念。小數與分數都與分的概念有關。對分數符號而言，一個單位被等分成多少等份是由分母顯示，而佔多少等份是由分子顯示。但對小數符號而言，一個單位被等分成多少等份是由小數點後的部分顯示。並且，由於小數與整數都是採十進位制，在符號結構上十分相似，學生在不瞭解小數意義的情況
32、下，便容易將它視為整數來處理13。學生若能掌握小數符號意義，在面臨圖像表徵或是與分數的雙向連結問題時，便能透過等分割觀念解題。在圖像表徵方面，四年級的學生傾向將a.b由表面的形式直接轉換成圖像，如將小數點左右兩邊的數（a.b）視為兩個獨立的整數（a、b）；五、六年級則在單位量的表示（分幾份取幾份）仍是不清楚。也就是學生對於小數點左右兩邊的數之意義掌握不夠，不易理解整數部分與非整數部分有何關連，而有迷思概念15。以新課程常用的教學法，經三階段（分數引入小數、小數概念、小數加減）的教學，發現學生產生迷思概念或錯誤做法，可在質疑辯証時，藉師或生提出認知衝突或反思問題，促使學生們反省思考其建構的數學知
33、識，有益澄清迷思概念或錯誤做法18。研究發現五、六年級學童在小數比大小方面其錯誤類型都包含了Resnick等人（1989）所定義的整數法則及分數法則，獨缺零法則。建議利用教具比利用符號來代表概念更為具體2。小數大小比較必須已相當豐富的整數概念為其先前知識，並需要有基本的小數與分數符號系統的知識為基礎。不過，進行小數大小比較作業不一定需要小數大小概念，以特定的解題策略即可正確完成。同時。研究資料指出，小數大小比較之不同法則的發展順序，依序為不管小數點（P）、整數法則（W）、零法則（Z）、分數法則（F）、正確者（E）。論文以整數位值系統與小數位值系統的表徵歷程，說明兩種數字系統學習過程的差異，並討
34、論數概念的意義向度與符號向度之區分34。針對小數教學的理念提出一些教學活動，例如連結小數符號與圖形表徵時，教師也應特別強調小數點分隔整數與非整數部份的功用以及小數點兩邊數量大小與大小單位間的關係。在小數加減的教學方面，教師可讓學生操作具體物解題，強調小數點的功能，並搭配定位板幫助學生理解直式算則的原理14。Hibert將小數知識具體分成三種58：1. 計數系統知識：有關小數符號的知識。2. 運算規則知識：根據規則操弄小數符號以進行運算的知識。3. 數量表示知識：將小數表示數量的知識。針對這三部分的細部內容，再參考相關研究及文獻，探討學生可能產生的小數迷思概念整理如下表：79小數知識迷思代號迷思
35、概念說明相關研究或文獻類別內容計數系統知識A寫法A1將0.8、0.9的下一位寫成0.10將0.08、0.09的下一位寫成0.010略111256A2省略小數點後數字中的零容易受小數點後面的零可以省略的影響，誤以為小數點後數字中的零也可以省略。如：一百零六點零五記成106.5。1112 56讀法A3將小數點後面的數讀成整數如：15.23讀成十五點二十三。27 1112 56A4將小數點左邊的整數部份，只讀出數字，不讀出位名如：15.23讀成一五點二三。23 位值A50.1和0.10不一樣多略25 A60.8和8一樣大略46A7受到整數位值的影響、如：認為12.34共有一個1000、二個100、三
36、個10、四個1或一個1、二個0.1、三個0.01、四個0.001。12位名A8受到整數位名影響左右位名對稱個位如：認為12.34裡1代表：十位2代表：個位3代表：十位4代表：百位252028271248A9受到整數位名影響左右位名對稱小數點，獨創個分位如：認為12.34裡1代表：十位2代表：個位3代表：個分位4代表：十分位252028271248A10受到整數位名影響位名以最右一位數為個位。如：認為12.34裡1代表：千位2代表：百位3代表：十位 4代表：個位252028271248化聚A11直接移動小數點來決定化聚結果如：0.9是9個0.01、36個0.1是0.362826121123運算規
37、則知識B小數與分數的互換B10.a和1/a相等如：0.259626061B2a.b和b/a或a/b相等如：2.3=231247536062B3題目有兩位小數則分母寫10，題目有三位小數則分母寫100如：0.36=36/10 或 0.365=365/10026 24289B4a/100 和 0.a 相等（或 ab/1000 和 0.ab 相等）如：認為0.3有兩位所以分母寫100，0.71有三位所以分母寫1000。62B14不管分母的數字，直接把分子拿來當小數部分26 比大小B5小數是比0還小的數如：0.7011B6小數是比1還小的數如：2.70.640.834242059626667B8比大小
38、時，整數法則（小數點後位數越多值越大）如：0.2340.310.45761242059626667B9忽略小數點如：12.7 3 或 30.5 319加減B11加減錯誤以未對齊小數點居多如：24B12不夠減時，大數減小數如：2.1-1.7=2-1再加上0.7-0.118稠密性B13小數稠密性不了解如：認為0.2和0.3之間沒有小數或只有10個小數等等答案。259 數量表示知識C圖像表徵C1將被十等份的單位視為1將十等分割後的小單位視為0.1，未察覺被分割的單位是否為1。如：認為箭頭指向0.81223C2忽略單位小數0.1內容物的個數，而將0.a視為a小個。忽略單位小數0.01內容物的個數，而將
39、0.0a視為a小個。如：一包糖果有20顆，0.3包就是3顆糖果22C3將a.b由表面形式直接轉換成圖像，如將小數點左右兩邊的數視為兩個獨立的整數a、b如：代表1，則 2.1畫圖表示為12C4在數線上讀小數或標小數時，或弄錯兩小格之間的單位如：記為3.225954單複名數轉換C5將小數點做為大單位與小單位的區隔 如： 5.9公斤是5公斤9公克，2公尺7公分是2.7公尺19261228D1其他表格 1國民小學三至六年級小數迷思概念表2.4 概念構圖概念構圖（concept mapping）最早是由Novak於1971年在Cornell大學研究兒童科學概念改變歷程時所提出的32。概念構圖法因為符合知
40、識表徵理論43、知識建構論50、以及有意義學習說（meaning learning）62，因此是目前科學教育界及心理教育界應用頗為廣泛的一種教學和學習策略。概念構圖法是由學習者（或教學者）將概念以一個個概念節點（concept node）及概念與概念之間的關係連結用圖示的方式表現出來。進行概念構圖時，常以一個或若干個核心概念為主題，由學習者將其他與核心概念相關的知識概念加以組織，才能將零散的概念與關係，組合成一個合理的、有意義的知識結構。16一張概念圖是由許多命題（proposition）所組成，命題是由兩個概念中間加上一個連結語而合成，且概念與概念間具有上下的階層關係（hierarchica
41、l relationship），在上層的概念具有一般性與概括性，而較特定及具體的概念則排在下層17。本研究將概念構圖法簡化為樹狀，以教師的專業知識為基礎將小數迷思概念以概念樹的方式加以結構化，配合具有迷思概念誘答題的題庫系統，以分析學生的迷思概念分佈及結構。下圖為本研究擬定之小數迷思概念樹，將上一節所提出的國民小學三至六年級教材中的迷思概念分佈其中，使教師能依據此樹狀結構在題庫中進行適當的佈題，並依學生的試題反應分析其分佈情況。2.5 機器學習與決策樹技術使用資料尋礦(data mining)及電腦輔助統計分析方法，可使數據分析的時間縮短，或是經由部分的訓練數據，就可以建立預測模型，並取得令人
42、滿意的預測結果。決策樹（Decision Tree）63便是一種有效的決策支援法，經由免費共享的電腦預測工具C4.5/C5.06365，得到一個以規則為基礎(rule-based)預測學生近側發展區間模組。決策樹的預策方式已為許多研究機構及業界所採用，並逐漸成熟穩定，目前許多商業決策支援系統（decision support system）利用決策樹的技術來預測股票市場、評估金融風等等。例如：Clementine而Feigenbaum則是利用decision rules去協助信用卡核發，此系統藉由顧客以往的信用歷程去預測是否要核發信用卡給此顧客。一個典型的決策樹下圖所示，這個決策樹主要功能為判
43、斷一個顧客在是否會購買電腦，而其中的矩形表示著決策樹的節點，橢圓形表示決策樹的葉子。要去判斷一個人是否會去購買電腦，必須將這個人的一些屬性利用此決策樹來做屬性測試，從決策樹的根（root）開始測試，最後會到達決策樹的葉子，而葉子及代表著其最後的預測結果。例如某個人的屬性如下：（ age=20 , student=no , credit_rating=fair）其過程隨著決策樹的測試，最後結果到左下角的葉子，而其判斷的結果為：no（即代表不會購買電腦）。決策樹亦很容易地轉換成分類規則（classification rules），如下圖所示。If age= “=30” AND student= “
44、no”If age= “40” AND credit_rating= “excellent”If age= “40” AND credit_rating= “fair”THEN buys_computer= ”no”THEN buys_computer= ”yes”THEN buys_computer= ”yes”THEN buys_computer= ”no”THEN buys_computer= ”yes”圖 1決策樹示意圖本研究利用決策樹作為協助教師抉擇適性化課後輔導教學策略的工具，主畏是考慮其表現方式與其它功能相似的預測工具比較起來，其有高可讀性與結構化的特性，便於教師了解抉擇的結果以並支援其它模組在程式設計時之所需。決策樹之預測的結果以是一個類似流程圖的樹狀結構（tree structure），其中每一個樹的節點（internal node）代表著針對每一個學生的迷思概念作條件測試而每一個分支（branch）代表著其條件成立與否樹的葉子（leaf nodes）則代表教師應採用的課後輔導教學策略，可協助教師對於具有不同迷思概念的分佈及結構學生，採取不同的適性化課後輔導教學策略。2.6 適性化課後輔導2.6.1 課後輔導對於教師指導：課後輔導也有人稱之為課後教育。它是一個專屬於孩童的，很豐富也很有趣的領域，同時也是一個很難定義領域29。在提供在學學生課後
