复变函数第四章课件.ppt

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1、第四章 级数,第一节 复数项级数,第二节 幂级数,第三节 泰勒级数,第四节 洛朗级数,第四章 级数第一节,第一节 复数项级数,一、复数列的极限,二、级数的概念,三、典型例题,四、小结与思考,第一节 复数项级数一、复数列的极限二、级数的概念三、典型例题,一、复数列的极限,1.定义,记作,一、复数列的极限1.定义记作,2.复数列收敛的条件,那末对于任意给定的,就能找到一个正数N,证,2.复数列收敛的条件那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证,从而有,所以,同理,反之, 如果,从而有所以同理反之, 如果,从而有,证毕,从而有定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的,课堂练习:,下列数

2、列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,课堂练习:下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,二、级数的概念,1.定义,表达式,称为复数项无穷级数.,其最前面 n 项的和,称为级数的部分和.,部分和,二、级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面 n,收敛与发散,说明:,与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,收敛与发散说明: 与实数项级数相同,复变函数第四章课件,2.复数项级数收敛的条件,证,因为,定理二,2.复数项级数收敛的条件证因为定理二,说明,复数项级数的审敛问题,实数项级数的审敛问题,(定理二),说明 复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二),解

3、,所以原级数发散.,课堂练习,解所以原级数发散. 课堂练习,必要条件,重要结论:,必要条件重要结论:,不满足必要条件,所以原级数发散.,级数发散;,应进一步判断.,不满足必要条件,所以原级数发散.启示: 判别级数的敛散性时,3. 绝对收敛与条件收敛,注意,应用正项级数的审敛法则判定.,定理三,3. 绝对收敛与条件收敛注意 应用正项级数的审敛法则判定.定,证,由于,而,根据实数项级数的比较准则, 知,证由于而根据实数项级数的比较准则, 知,由定理二可得,证毕,由定理二可得证毕,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,说明,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,定义,非绝对收敛的收敛级数称为条件

4、收敛级数.说明如果,所以,综上:,所以综上:,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.,而,解,三、典型例题,例1,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.而解 三、典型例,解,所以数列发散.,解 所以数列发散.,例2,解,级数满足必要条件,但,例2 解 级数满足必要条件, 但,例3,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,例3故原级数收敛, 且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判,故原级数收敛.,所以原级数非绝对收敛.,例4,解,故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解,四、小结与思考,通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及

5、复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.,四、小结与思考 通过本课的学习, 应了解复数列的,思考题,思考题,第二节 幂级数,一、幂级数的概念,二、幂级数的敛散性,三、幂级数的运算和性质,四、典型例题,五、小结与思考,第二节 幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级,一、幂级数的概念,1.复变函数项级数,定义,其中各项在区域 D内有定义.表达式,称为复变函数项级数, 记作,一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域 D内有,称为这级数的部分和.,级数最前面n项的和,和函数,称为这级数的部分和. 级数最前面n项的和和函数,称为

6、该级数在区域D上的和函数.,如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定,称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛, 那末,2. 幂级数,是函数项级数的特殊情形,即,或,这种级数称为幂级数.,2. 幂级数当或是函数项级数的特殊情形,即或这种级数称为幂级,二、幂级数的敛散性,1.收敛定理,(阿贝尔Abel定理),二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数,证,由收敛的必要条件, 有,因而存在正数M,使对所有的n,证由收敛的必要条件, 有因而存在正数M, 使对所有的n,而,由正项级数的比较判别法知:,收敛.,另一部分的证明请课后完成.,证毕,而由正项级数的比较判别法知:收

7、敛.另一部分的证明请课后完成.,2. 收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:,(1) 对所有的正实数都收敛.,由阿贝尔定理知:,级数在复平面内处处绝对收敛.,2. 收敛圆与收敛半径对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三,例如, 级数,对任意固定的z,从某个n开始,总有,于是有,故该级数对任意的z均收敛.,例如, 级数对任意固定的z, 从某个n开始, 总有于,(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,例如,级数,通项不趋于零,如图:,故级数发散.,(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.此时, 级数在复,.,.,收敛圆,收敛

8、半径,.收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.,答案:,在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.,注意,问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,答案: 幂级数的收敛范围是何区域?问题1:,例如, 级数:,收敛圆周上无收敛点;,在收敛圆周上处处收敛.,例如, 级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.,3. 收敛半径的求法,方法1: 比值法(定理二):,那末收敛半径,证,由于,收敛.,3. 收敛半径的求法方法1: 比值法(定理二):那末收敛半径,据阿贝尔定理,根据上节定理三,据阿贝尔定理,根据上节定理三,所以收敛半径为,证毕,即假设不

9、成立 .,所以收敛半径为证毕即假设不成立 .,如果:,即,(极限不存在),即,如果:即注意:存在且不为零 .定理中极限(极限不存在),即,答案,答案课堂练习 试求幂级数的收敛半径.,方法2: 根值法(定理三),那末收敛半径,说明:,(与比值法相同),如果,方法2: 根值法(定理三)那末收敛半径说明:(与比值法相同),三、幂级数的运算和性质,1.幂级数的四则运算,三、幂级数的运算和性质1.幂级数的四则运算,2. 幂级数的代换(复合)运算,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.,2. 幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那,3. 复变幂级数在收敛圆内的性质,定理四设幂级数的

10、收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂,简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析;,幂级数可逐项求导, 逐项积分.,(常用于求和函数),即,(3)在收敛圆内可以逐项积分, 简言之: 在收敛圆内, 幂级,四、典型例题,例1 求幂级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,四、典型例题例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分,级数,收敛,级数,发散.,且有,在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:,或,因为,例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.

11、,级数,所以收敛半径即原级数在圆内收敛, 在圆外发散, 收敛的级数,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有原级数成为交错级数,故收敛半径,解,故收敛半径例3求幂级数,解,所以,解所以例4求 的收敛,解,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,例5把函数表成形如的幂级数, 其中是不相等的复常数 .解把函,级数收敛,且其和为,级数收敛,且其和为,解,利用逐项积分,得:,所以,例6 求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以,解,例7 求级数的收敛半径与和函数.解

12、,例8 计算,解,例8 计算解,五、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.,五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和,阿贝尔资料,Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, Norway,Niels Abel,阿贝尔资料Born: 5 Aug 1802 in Frind,第三节 泰勒级数,二、泰勒定理,三、将函数展开成泰勒级数,一、问题的引入,四、典型例题,五、小结与思考,第三节 泰勒级数二、泰勒定理

13、三、将函数展开成泰勒级数一、,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,一、问题的引入问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,由柯西积分公式 , 有其中 K 取正方向.则,复变函数第四章课件,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,由高阶导数公式, 上式又可写成其中可知在K内,令,则在K上连续,令则在K上连续,即存在一个正常数M,即存在一个正常数M,从而在K内,泰勒级数,在内成立,从而在K内 圆周的半径可以任意增大,只要内成,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展

14、开式在内,二、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为 内,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?),4. 函数在区域D内解析的充要条件是它在D内每一点均可展为泰勒级数；,说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;,5. 泰勒展开式是唯一的。,那末,即,因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,5. 泰勒展开式是唯一的。那末即因此, 任何解析函数展开成幂,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,三、将

15、函数展开成泰勒级数常用方法: 直接法和间接法.1.直接,例如，,故有,例如，故有,仿照上例 ,仿照上例 ,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展,例如，,例如，,附: 常见函数的泰勒展开式,附: 常见函数的泰勒展开式,复变函数第四章课件,例1,解,四、典型例题,例1解四、典型例题,上式两边逐项求导,上式两边逐项求导,例2,分

16、析,如图,例2分析如图,即,将展开式两端沿 C 逐项积分, 得,解,即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得解,例3,例3,例4,解,例4 解,例5,解,例5解,练习 1. 2.,练习 1.,五、小结与思考,通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.,五、小结与思考 通过本课的学习, 应理解泰勒展,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, E

17、ngland,Brook Taylor,泰勒资料Born: 18 Aug 1685 in Edmon,第四节 洛朗级数,二、洛朗级数的概念,三、函数的洛朗展开式,一、问题的引入,四、洛朗级数的应用,五、小结与思考,第四节 洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、,一、问题的引入,问题:,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,同时收敛,收敛,一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时,收敛半径,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,R,收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公,结论:,常见的特殊圆环域:,结论:.常

18、见的特殊圆环域:.,定理:,双边幂级数在收敛圆环域内有与幂级数在收敛圆内类似的性质.,定理:双边幂级数在收敛圆环域内有与幂级数在收敛圆内类似的性质,例如，,都不解析,而,2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?,例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而2. 问题:在圆,所以,也可以展开成级数：,所以即内可以展开成级数.也可以展开成级数：,二、洛朗级数的概念,定理,C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,为洛朗系数.,二、洛朗级数的概念定理C为圆环域内绕 的任一正向简单闭,证,对于第一个积分:,证对于第一个积分:Rr.z.,对于第二个积分:,对于第二个积分:,其中,其中,下面证

19、明,下面证明,则,则,如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单,证毕,如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单闭曲线 .,说明:,在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.,1),正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.,定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.,说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laure,2) 某一圆环域内的解析函数洛朗展开式是唯一的， 不同圆环域内展开式不唯一.,3) 某一圆环域内解析的函数都可在圆环域的中心处展为洛朗级数.,4) 函数在圆环域内可展为洛朗级数充要条件是它在圆环域内解析.,5) 泰勒级数是洛朗级数的特殊情

20、况.,2) 某一圆环域内的解析函数洛朗展开式是唯一的， 不同圆环,三、函数的洛朗展开式,常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法,1. 直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,缺点: 计算往往很麻烦.,三、函数的洛朗展开式常用方法 : 1. 直接法 2.,例1,解,由定理知:,其中,例1解由定理知:其中,故由柯西古萨基本定理知:,由高阶导数公式知:,故由柯西古萨基本定理知:由高阶导数公式知:,另解,本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,另解本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .

21、,优点 : 简捷 , 快速 .,2. 间接展开法,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可用代数运算、代换、求,例2,内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数.,解,例2 内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成,oxy1,由,且仍有,12oxy由且仍有,此时,2oxy由此时,仍有,仍有,说明:,注意:奇点但却不是函数的奇点 .本例中圆环域的中心是各负幂项,解,例3,解 例3,例4,解,例4解,例5 写出 的以i为中心的解析圆环域，并将其在这些圆环域内展为洛朗级数.,例6 求 在以i为中心的圆(环)域内的洛朗展开式.,例5 写出 的以i为中心的解析圆环域,四、洛

22、朗级数的应用-利用洛朗系数求闭路积分,若f(z)在包含C的圆环域内解析，则求积分转化成求,四、洛朗级数的应用-利用洛朗系数求闭路积分若f(z),复变函数第四章课件,五、小结与思考,在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.,五、小结与思考 在这节课中, 我们学习了洛朗,洛朗级数与泰勒级数有何关系?,思考题,洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题,洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是一个普通幂级数;,思考题答案,是一般与特殊的关系.,洛朗级数的收敛区域是圆环域,放映结束，按Esc退出.,洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是思考题

23、答案是一般与,本章小结,1.求复数列的极限： (1) 求实部数列和虚部数列极限； (2) 利用模的极限为0得数列极限为0；2.判断复数项级数的敛散性： (1) 若级数明显分为实部级数和虚部级数，都收敛时原级数收敛，都绝对收敛时原级数绝对收敛； (2) 若级数不易分为实部和虚部，则首先考虑绝,本章小结1.求复数列的极限：,对值级数，若绝对值级数收敛原级数绝对收敛，若绝对值级数发散则从级数本身出发写出实部级数和虚部级数，看原级数是否条件收敛.3.求幂级数的收敛半径与和函数4. 将函数展为泰勒级数（用间接方法） 记住常用的函数幂级数展开式及展开范围；注意逐项求导和逐项积分的性质5.将函数展开为洛朗级数（用间接方法）（1）给定圆环域展开（2）自己先找圆环域然后展开,对值级数，若绝对值级数收敛原级数绝对收敛，,复变函数第四章课件,2021,2021,