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1、第1章光在各向同性介质中的传播特性,介绍光波这种电磁波的基本概念、基本性质和数学的描述方法。主要的内容：,1.1.1介绍麦克斯韦电磁理论的要点。重点要了解麦克斯韦方程组的意义及如何由交变的电场和磁场产生电磁波。1.1.2光波的数学描述。平面波和球面波的波函数。1.1.3平面电磁波的性质。1.2平面电磁波在两种均匀、各项同性、透明媒质界面的传播折反射定律及菲涅耳公式。,是法拉弟电磁感应定律的数学表达形式。等式的右边表示：通过空间任一曲面A的磁通量的变化率。左边表示：沿环线C的电动势。意义：变化的磁场可以产生电场，电场不一定要由带电粒子产生。“-”号表示感应电动势具有阻碍磁场变化的趋势。,电场的高
2、斯定理：D为电位移矢量，:电荷密度.该式的意义是通过闭合曲面A的电通量 等于A所包围体积V内总自由电荷数 。分布电荷为正时，电通量流出；反之，流入。D始于正自由电荷；终止于负自由电荷。,磁场的高斯定律:表示从封闭曲面A流出和流入的磁通量相等,说明磁场没有起止点(磁力线是闭合的)。右端为“0”说明不存在与电荷类似的“磁荷”,麦克斯韦-安培定律。表示：不仅流过A的传导电流可以产生一个环行磁场，而且电位移随时间的变化（称为位移电流）也能在周边产生一个环行磁场。又称为全电流定律,3、微分形式的麦克斯韦方程组当涉及求解空间某给定点的电磁场时，要用微分形式的麦克斯韦方程组。,利用数学上的高斯定理和斯托克斯
3、定理可以由积分形式的方程组直接导出以下的微分形式的方程组。,符号：哈密尔顿算符,符号：哈密尔顿算符,表示高频交变的电场是有旋场，产生环行电场,表示当0时，电场是有源场。,表示磁场是无源场，不存在磁荷。,表示感生磁场是有旋场，由传导和位移电流产生。,表示高频交变的电场是有旋场，产生环行电场,Harmilton算符，矢量微分算符,称为的散度。表示矢量场在某点附近发散或会聚的性质。,称为的旋度。表示矢量场在某点附近的旋转性质。,、物质方程为了研究电磁场在空间的传播特性，除了应用麦克斯韦方程组，还必须加入一组与物质的电磁性质有关的物质方程,(1-9)式：描述了矢量E和D之间的大小和方向关系。可进一步表
4、示为：,真空中的介电常数。,电极化强度矢量,当p0,E不太强时，,（1-10）式：描述了H和B的关系。：磁导率，是量纲不为1的标量物质常数。对于非铁磁性物质， 十分接近真空中的磁导率，说明H和B同方向。（1-11）式：描述了电流密度J和E之间的关系。：电导率，为电组率的倒数，量纲由J（A/m2)和E（V/m）确定，为西门子角米（S/m）,提示： 一般来讲，描述媒质特性的参数：、不仅与媒质的性质相关，还与电磁场的时间频率有关，因此它们一般不为常数，有色散，只有在真空中时才认为是常数。,1.1.2电磁波的波动微分方程,讨论在无限大的、各向均匀、透明、无源媒质中的电磁波。“均匀”和 “各项同性”意味
5、着 是与位置无关的标量。 “透明”意味着 “无源”是指,麦克斯韦方程的形式变为 ：,利用（1-16）（1-17）（1-18），消去，可得：同理，从(1-16)(1-17)(1-19),消去，再利用物质方程，可得：,2. 波动微分方程,3.一维波动微分方程的解,以沿Z方向传播的一维电场分布为例，求解电场E的波动微分方程:,这是一个二阶常系数、齐次、线性偏微分方程,此方程的通解为：,其中，特解E1和E2分别是以为宗量的一元函数。,分析特解：对于，表明电场波E1是随空间坐标Z和时间t变化的。是沿z的正向传播的电场波，传播速度。,对于，表明电场波E是随空间坐标Z和时间t变化的。是沿z的负向传播的电场波
6、，传播速度。,如果在真空中传播，则传播的速度：,计算的结果与实验测量的结果基本一致，这在历史上为波动学说的建立提供了重要的实验证据。,在光学中，常常要处理光波从一种介质到另一种介质的传播问题，由于两种介质的物理性质不同（分别以1、1 和2、2 表征），在两种介质的分界面上，电磁场将不连续，但他们之间仍存在一定关系，通常把这种关系称为电磁场的边值关系。总结为：,1.4.1折、反射定律（各向同性媒质中）,两点假设：入射波射（Ei）到界面时，分成反射波（Er）和透射波（Et）界面是无限扩展的，因此入射波是简谐平面波，则反射和透射波也是简谐平面波。,入射、反射和折射波,波函数：,：是常矢量，其幅角表示
7、r=0处的初始位相。,：为界面内的位置矢量,折、反射定律：（只讨论电场波）,界面两侧的总电场为：,应用电场的边界条件,上式对任何时刻t都成立，则 上式对界面上的位置矢量r都成立则,即：入射波，反射波，折射波频率相同。,r可在界面内任意取向,即：反射波和折射波均在入射面内。,写成标量形式,证毕：折、反射定律。,1.4.3菲涅耳公式,折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。菲涅耳公式描述了反射波、折射波和入射波振幅、位相间的定量关系。,物理模型的规定,只推导电矢量E在界面上的传播规律（菲涅耳公式）将 分为非铁磁性媒质：的正方向的规定：分量为正，为负；分量：在界面的投影向右为正，
8、左为负的正方向的规定：先确定 的正方向，然后由 组成的右手系确定磁场方向定义反射系数r和透射系数t来描述折、反、入射波之间振幅和位相间的关系。,Definitions: Planes of Incidence and the Interface and the polarizations,Perpendicular (“S”) polarization sticks out of or into the plane of incidence.,Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page),Plane of
9、incidence (here the xy plane) is the plane that contains the incident and reflected k-vectors.,ni,nt,qi,qr,qt,Ei,Er,Et,Interface,Parallel (“P”) polarization lies parallel to the plane of incidence.,Incident medium,Transmitting medium,菲涅耳公式的推导,入射波电场只有s分量的情形：,电场的边界条件：,磁场的边界条件：,i只含有s分量时的正向的规定,按图中的方向规定写
10、成标量表达式：,利用物质方程在非磁性各向同性介质中H和E的数值关系：,入射波电场只有p分量的情形：,i只含有p分量时的正向的规定,注意：p分量正向的规定利用 E 和 H 的边界条件,Hios - Hros = Htos,Eiopcos(i) + Eropcos( r) = Etopcos( t),菲涅耳公式,利用折射定律，这四个关系式可以改写成不显含折射率的形式：,反射率 R 和透射率 T,研究反射波和折射波从入射波获取能量的大小,反射率 R:,透射率 T:,波的横截面与投射面积间的关系,且 R + T = 1,1.4.4全反射的性质和应用,全反射时s和p分量反射波的位相差,意义：反射波中s分
11、量和p分量之间的位相差将引起入射波偏振态的变化，通过检验反射波的偏振态，可以验证全反射中，反射波s分量和p分量之间的位相差的存在。,全反射时第二媒质中的电磁波,全反射时透射波的透射系数,将透射系数的公式扩展到复数领域，有：,r,t和入射角的关系曲线,有波存在,透射波的波函数（取入射面为xz面）,入射、反射和折射波,倐逝波（The Evanescent Wave）的性质,倐逝波一般不再是横波，存在着与传播方向x平行的分量。,全反射的应用,利用高反射率,全反射棱镜,光纤,Core: Thin glass center of the fiber that carries the lightCladd
12、ing: Surrounds the core and reflects the light back into the core Buffer coating: Plastic protective coating,Design of optical fibers,ncore ncladding,光纤传输,利用倐逝波,利用反射波的s、p分量具有不同的位相跃变,改变入射波的偏振态；或通过测量反射波的偏振态来计算媒质的折射率。,简谐波的复指数表示方和矢量表示,简谐波的复指数表示,复数空间：假设在2D空间的点P(x,y),P = x + i y = A cos() + i A sin(),其中：i
13、 = (-1)1/2,令：exp(i ) = cos() + i sin(),复指数形式：,则：P = A exp(i ),：振幅； ：位相,复指数的运算：,优点：运算方便,一维简谐波的波函数也可表示为复指数函数取实部的形式：,一般省去取实部的符号“Re”,一维简谐波的波函数直接表示为：,优点2：将波函数中与空间坐标有关的因子和与时间相关的因子分离开，对我们常常讨论的同频率波的叠加和分解时，可用复振幅来代表波函数，而不必在考虑时间项了。,矢量表示和相幅矢量,可用于同频率标量波的叠加,简谐波的波函数完全由振幅和相位两个因素确定。而复平面上起源于原点的矢量恰好也有两个自由度：即矢量的长度和与某一轴
14、的夹角（幅角），恰好可以编码波的振幅和相位。,仅表示复振幅,1.2.3 三维简谐波平面波,三维波动微分方程,三维波的概念:电磁波在三维空间中传播,对于三维波,确定空间考察点的位置需要用三维空间位置矢量 r,用 代替z, 则波函数可写成E( ,t )或E( x ,y, z ;t ), 按照一维标量波动微分方程的推导方式，可从麦克斯韦方程组推导出三维矢量波动微分方程为：,三维平面波,波面的概念,某一 t0 时刻具有相同位相值的点的位置轨迹（或集合）称为光波的波面或等相面。,按以上的定义，光波波面形状的方程应为：,通过以上的波的位相函数可知，波面的形状可以为：平面（波）、球面（波）、锥面（波），复杂
15、（波）等。,平面波：等相面为平面、且等相面上各点的扰动大小时刻相等的光波,（）式表示的一维简谐平面波是平面波：,三维波的位相,时，,等相面的方程为：,（）表示的三维波也是平面波,三维简谐平面波,时间和空间参量,时间参量的定义和性质与一维简谐平面波的完全相同；,空间参量：有特殊性,空间周期：,三维简谐平面波的空间参量,：表示位相差为的两个等相面之间在k方向上的距离。是沿k方向的空间周期，或称为三维简谐波的固有空间周期；考察方向不同，空间周期也不同。,考察方向为沿角方向（ob方向）：,考察沿坐标轴方向的空间周期：,空间频率：,仍定义为空间周期的倒数。与空间周期一样也是考察方向的函数。,固有频率：,沿角方向（ob方向）：,沿坐标轴方向：,又称为三维简谐波固有空间频率f的坐标分量，且有：,已知 和空间频率的坐标分量，三维简谐波的频率表达式为：,三维简谐波在2D平面上的表达式：,波矢k：,与一维波的波数k即有区别又有联系。,三维：k是矢量，用方向余弦表示波的传播方向；一维：标量，用正负号表示波的传播方向。,都代表波的传播方向；,
