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1、(i) 基本函數及其圖形介紹,函數: 所謂函數是兩個集合元素間的一種對應關係,但此種對應關係具有方向性,意即集合A中的甲元素對應到集合B中的乙元素和集合B中的乙元素對應到集合A中的甲元素意義是完全不同的。一般的表示方法為 ,其中A,B為集合,而f 表示函數的對應關係 ,(i) 基本函數及其圖形介紹 函數: 所謂函數是兩個集合,即若 ,則 。我們稱A為函數f 的定義域(Domain), 而B則稱之為函數f 的值域(Range), 其中值域中每一個元素皆能被定義域中的某一元素對應到, 亦即 。以下我們只討論有關數字的函數。習慣上若不特別表示,則任一函數的定義域為實數集合 或此函數在 中為有意義定義
2、(well defined)的子集合,此定義域稱為自然定義域(Natural Domain)。,即若 ,則 。我,例如 的定義域 為 , 而值域為 。所有直角座標上滿足y=f(x)的點所成的集合稱之為函數f 的圖形,其中變數x屬於f 的定義域。一個函數f 定義為y=f(x)=mx+b 則稱此為線性函數 (Linear Function)。,例如 的定義域 為,斜率和直線方程式 (Slopes and Equations of Lines),線性函數所對應的直線方程式 , 其圖形如下圖所示,斜率和直線方程式 (Slopes and Equations,直線的斜率(Slope of Line)圖1
3、中直線的斜率定義為,直線的斜率(Slope of Line),例1: 求通過以下給定兩點的直線斜率。(a) (-7,6)和(4,5)解:直線斜率為 (b) (5,-3)和(-2,-3)解:直線斜率為(c) (2,-4)和(2,3)解: 直線斜率為為無定義,此為當直線平行y軸時的情況。,例1: 求通過以下給定兩點的直線斜率。,若a,b,c為常數,且a,b不全為0,x和y為變數,則方程式ax+by=c稱為直線方程式,其圖形為一條直線。當b0時 ,對應一線性函數。當b=0時, 雖然不對應任何線性函數, 但其圖形則為垂直於x軸的直線。,若a,b,c為常數,且a,b不全為0,x和y為變數,則方程式,例2
4、: 求斜率為 通過(0,-3)的直線方程式。解:,例2: 求斜率為 通過(0,-3)的直線方程式。,斜截式(The Slope-Intercept Form),若已知直線的斜率為m,y軸的截距為b,即通過點(0,b),則根據斜率的定義得此直線的方程式 y-b=m(x-0) 經過移項後得一稱之為斜截式的直線方程式 y=mx+b,斜截式(The Slope-Intercept Form),下圖為斜截式的圖形,下圖為斜截式的圖形,例3: 利用斜截式求y-截距為 ,而斜率為 的直線方程式。解:,例3: 利用斜截式求y-截距為 ,而,點斜式 (The Point-Slope Form),根據相似三角形定
5、理,圖1中直線上任一點P(x,y)和點A所形成的直線斜率和點A及點B所形成的直線斜率相等,點斜式 (The Point-Slope Form)根據相似,亦即,故此條直線的方程式為,亦即故此條直線的方程式為,例4: 利用點斜式求斜率為 通過(3,-7)的直線方程式。解:,例4: 利用點斜式求斜率為 通過(3,-7),例5: 利用點斜式求通過(5,4)和(-10,-2)的直線方程式。解: 斜率 。令 ,則,例5: 利用點斜式求通過(5,4)和(-10,-2)的直線方,例6: 求過(8,-4)和(-2,-4)的直線方程式。解: 斜率,例6: 求過(8,-4)和(-2,-4)的直線方程式。,令 ,則,
6、令 ,則,垂直線的方程式(Equation of a Vertical Line),垂直於x軸的直線並不適於點斜式,其方程式為 x=kk為垂直線和x軸交點的x分量。,例7: 求過(4,3)和(4,-6)的直線方程式。解: 此為垂直線x=4。,垂直線的方程式(Equation of a Vertical,平行線(Parallel Lines),若兩條直線的斜率相同,則稱這兩條直線為平行線。,例8: 求過點(3,5),且平行於直線2x+5y=4的直線方程式。解: 直線2x+5y=4的斜率為 直線 為過點(3,5),且平行於直線2x+5y=4的直線。,平行線(Parallel Lines)若兩條直線
7、的斜率相同,垂線(Perpendicular Lines),垂線(Perpendicular Lines),如圖3所示直線 和 為通過原點的垂線,則根據畢氏定理,如圖3所示直線 和 為通過原點的垂線,則根據畢氏,由於 和 分別為直線 和 的斜率,且由於此種幾何性質和座標的選取無關,故可知任兩條不平行於x軸或y軸的直線,垂直的充要條件為斜率的乘積為 。,由於 和 分別為直線 和 的,例9: 求過直線3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線方程式。解: 直線3x+4y=8和6x-10y=7交點為(2,1/2)。垂直於直線3x+4y=8的直線斜率為 。故直線 為過直線3
8、x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直於直線3x+4y=8的直線。,例9: 求過直線3x+4y=8和6x-10y=7交點,且垂直,例10: 近幾十年來, 美國16歲及超過16歲以上的人口中投入勞力工作的比例以近似固定比例的方式從1960的59.4%增加到1998年的67.1%。找出描述此線性關係的方程式。解: 令x=0代表1960,則x=1998-960=38代表1998年。斜率,例10: 近幾十年來, 美國16歲及超過16歲以上的人口中投,再令 ,利用點斜式可得方程式 y-5.94=0.203(x-0) y=0.203x+5.94為描述此線性關係的方程式。,再令 ,例11: 線性方程式y
9、=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比,其中x代表年份。(a) 決定1998年淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比。解: y=1.5457x-3067.7 y=1.5457(1988)-3067.75.21998年中淋病患者大約有百分之5.2%對抗生素產生抗藥性。,例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估,例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估計從1985至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的百分比,其中x代表年份。(b) 指出並解釋此直線的斜率。解: 斜率為1.5457, 此意味著從198
10、5至1990年中淋病患者對抗生素產生抗藥性的比例以每年百分之1.5457的比例增加。,例11: 線性方程式y=1.5457x-3067.7可用來估,線性函數和應用 (Linear Functions and Applications),例12: 假設經濟學家 Greg Tobin 研究數塑膠牆板的供需並得到塑膠牆板每平方碼的價格p和每月需求量q(單位為一千平方碼)之間的關係為 , (需求函數),線性函數和應用 (Linear Functions and,塑膠牆板每平方碼的價格p和每月供應量q(單位為一千平方碼)之間的關係為 , (供應函數)(a)求價格分別為$45和$18時的需求量。解: 將p
11、=45帶入得q=20, 因此當價格為$45時塑膠牆板的需求量為20,000平方碼。,塑膠牆板每平方碼的價格p和每月供應量,將p=18帶入得q=56, 因此當價格為$18時塑膠牆板的需求量為56,000平方碼。(b)求價格分別為$60和$12時的供應量。解: 將$p=60帶入得q=80, 因此當價格為$60時塑膠牆板的供應量為80,000平方碼。,將p=18帶入,將p=12帶入得q=16, 因此當價格為$12時塑膠牆板的供應量為16,000平方碼。(c) 將上述的需求和供應函數畫在同一座標軸上。解: 如下圖所示(圖4),將p=12帶入,基本函数与极限课件,圖4中兩條曲線相交的點(40,30),
12、價格30稱為 平衡價格 (equilibrium price),在此點的供應量和需求量相等, 皆為40,000平方碼, 此為平衡數量 ( equilibrium quantity)。例12: 假設製造x個錄影帶的費用為 C(x)=12x+100 (單位為美金)製造0個錄影帶的費用為 C(0)=12(0)+100此稱為 固定成本 (fixed cost)。,圖4中兩條曲線相交的點(40,30), 價格30稱為 平衡價,一但公司投資固定成本製造錄影帶後, 每多製造一個錄影帶的成本為何? 例如製造5個和6個錄影帶的成本分別為C(5)=12(5)+100=$160 和 C(6)=12(6)+100=$
13、172因此第6個錄影帶的製造成本為 $172-$160=$12$。製造第n+1個錄影帶的成本為C(n+1)-C(n)=12(n+1)+100-(12n+100) =$12,一但公司投資固定成本製造錄影帶後, 每多製造一個錄影帶的成本,數字12恰為成本函數C(x)=12x+100的斜率, 亦即線性的成本函數中的斜率為多製造一個商品的成本,在某些經濟學上的書將之定義為邊際成本 (marginal cost)。,數字12恰為成本函數C(x)=12x+100的斜率, 亦即線,例13: 每多製造一批藥品的邊際成本為$10, 而製造100批的成本為$1500。在成本函數為線性函數的條件下,求出成本函數C(
14、x)。解: C(x)=mx+b, 由於邊際成本等於斜率, 所以C(x)=10 x+b。製造100批的成本為$1500,故得 1500=10100+b 1500=1000+b 500=b亦即成本函數為C(x)=10 x+500, 而其固定成本為$500,例13: 每多製造一批藥品的邊際成本為$10, 而製造100,損益平衡分析 (Break-Even Analysis),銷售x個價格為p的商品之收入函數 ( Revenue)為 R(x)=xp而利潤函數 (Profit)則為 P(x)=R(x)-C(x)其中C(x)為收入函數。當成本等於收入時的利潤為0, 此時的銷售量稱為損益平衡量 (break
15、-even quantity),其由商品數量和價格所形成的對應點則稱之為損益平衡點 ( break-even point)。,損益平衡分析 (Break-Even Analysis)銷售,例14: 一個製造家禽飼料的公司發現製造和銷售x個單位飼料的成本為 C(x)=20 x+100管理階層決定每單位飼料收費$24。(a) 該公司需銷售多少飼料方能損益平衡?解: R(x)=24x, 當R(x)=C(x)時方能損益平衡,所以 24x=20 x+100可得x=25, 亦即該公司至少須賣出25單位的飼料方不會虧本。,例14: 一個製造家禽飼料的公司發現製造和銷售x個單位飼料的,(b) 100單位的飼料
16、被賣出時的利潤為何?解: P(x)=R(x)-C(x) =24x-(20 x+100) =4x-100 P(100)=4(100)-100=300因此當該公司賣出100單位的飼料之利潤為$300。,(b) 100單位的飼料被賣出時的利潤為何?,(c) 為求得$900的利潤, 該公司應賣出多少單位的飼料?解: 900=P(x)=4x-100 1000=4x x=250亦即該公司賣出250單位的飼料時,可得$900的利潤。,(c) 為求得$900的利潤, 該公司應賣出多少單位的飼料?,非線性函數 (Nonlinear Functions),函數的代數(The Algebra of Function
17、s)實數函數的代數運算法: 我們可利用實數的基本運算定義函數f,g的代數運算。若f: AB, g: CD,非線性函數 (Nonlinear Functions)函數的,(1) 其中 為新函數f+g的值域。(2)其中 為新函數f-g的值域。,(1),(3) 其中 為新函數fg的值域。(4)其中 為新函數 的值域。,(3),一函數 f:AB, 若(1) 滿足 ,則我們稱之為非遞減函數( Nondecreasing Function)(2) 滿足 ,則我們稱之為遞增函數(Increasing Function)(3) 滿足 ,則我們稱之為非遞增函數(Nonincreasing Function)(4
18、) 滿足 ,則我們稱之為遞減函數(Decreasing Function),一函數 f:AB,一函數 f:AB, , 且實數集合A滿足 (1) 若 ,滿足f(-x)=f(x),則稱函數 f 為偶函數(Even Function)。(2) 若 ,滿足f(-x)=-f(x),則稱函數 f 為奇函數(Odd Function), 特別地, 由於f(-0)=-f(0), 所以f(0)=0。,一函數 f:AB, ,例15:求以下各函數的定義域和值域。解: (a) 的定義域為x1, 值域為x0。 解: (b) 的定義域為,例15:求以下各函數的定義域和值域。,f(x)的值域為,f(x)的值域為,解: (c
19、) 的定義域為R,值域為x3。解: (d) 的定義域為R,值域為x1。解: (e) 的定義域為,基本函数与极限课件,基本函数与极限课件,解:,解:,二次函數;平移和反射(Quadratic Functions;Translation and Reflection),一個可表為的函數,我們稱之為二次函數(Quadratic Functions)。,二次函數;平移和反射(Quadratic Functions,由上述方程式知,其圖形是由拋物線 經由水平移動(若b0),垂直放大(若|a|1), 垂直縮小(若0|a|1),以x軸為對稱軸映射將圖形由上往下翻轉(若a0)和垂直移動(若 )所得。故一個二次
20、函數在直角座標所對應的圖形為拋物線, 如下圖所示(圖5)。再由上述方程式知,當 時, ,此點恰為拋物線的頂點。,由上述方程式知,其圖形是由拋物線,基本函数与极限课件,例16: 求由 所代表之拋物線的頂點。解: 利用上述公式, 故得(4,8)為拋物線的頂點。,例16: 求由,例17: 當 Power and Money, Inc., 所辦的管理技巧研討會收費$600時, 吸引1000人報名。若參加研討會的費用每減少$20, 則會有額外的100人參加。管理階層欲知費用為多少方能使其收入為最大?解: 令x表示價格降$20的次數, 則每人的入場費為600-20 x美金, 而參加研討會的人數為1000+
21、100 x。總收入為,例17: 當 Power and Money, Inc.,此為開口向下的拋物線, 頂點的x座標為而頂點的y座標則為 =800,000因此當門票定為600-20 x=600-20(10)=$400時的收入$80,000為最大收入。,此為開口向下的拋物線, 頂點的x座標為,多項式和有理式函數 (Polynomial and Rational Functions),多項式函數(Polynomial Function),設n為非負整數,且 ,我們稱為n次多項式,其定義域為R 。特別地,當n=1,2和3時,我們分別稱之為 線性函數(Linear Functions),二次函數(Qu
22、adraticFunctions)和三次函數(Cubic functions)。,多項式和有理式函數 (Polynomial and Rati,多項式函數在直角坐標所顯示出來的圖形為連續(continuous)。連續的定義將再下一單元講解。一個連續的函數f(x),其圖形若在某一點(a,f(a)之前為上升(下降),而在點(a,f(a)之後為下降(上升),則我們稱之為轉折點(Turning Point),如下圖(圖6)所示:,多項式函數在直角坐標所顯示出來的圖形為連續(continuo,基本函数与极限课件,n次多項式函數至多只有n-1個轉折點,故其最多亦只有n個實數解。有理式函數(Rational
23、 Functions)設n(x)和d(x)為多項式,我們稱為有理式函數。上述式子表示f(x)的定義域為RA,其中A表示所有實數x,滿足d(x)=0,所成的集合,意即 ,而 。,n次多項式函數至多只有n-1個轉折點,例18: 求有理式函數的截距(Intercepts),定義域和值域。解: 截距可分為x截距和y截距。設x截距所對應的點為 ,則滿足 所以 。,例18: 求有理式函數,同樣地,設y截距所對應的點為 ,則由於f(x)的分母函數x+1不得等於0,所以x不得等於-1,意即f(x)的定義域為 令 ,則所以t不能等於1,意即f(x)的值域為,同樣地,設y截距所對應的點為 ,則,基本函数与极限课件
24、,指數函數(Exponential Functions),設b為一正數,且b1,則我們稱函數 為指數函數,其定義域為R,而值域為 。圖7為指數函數典型的圖形。,指數函數(Exponential Functions)設b為,圖7,圖7,為了對指數函數能有更好的了解起見,我們須先對實數有所了解。實數包含有理數及無理數。有理數為可用所表示的數。,為了對指數函數能有更好的了解起見,我們須先對實數有所了解。,考慮一條數線,圖8,此條數線在想像中應沒有任何空洞存在,所以有理數並無法填滿此條數線, 此種在數線上的點不能用有理數來表示所對應的數,我們稱之為無理數。例如 皆是。,考慮一條數線圖8此條數線在想像中
25、應沒有任何空洞存在,這條想像中的數線必須具有無限可分割性,即任兩點之間必存在一個點.若一個無理數想用十進位法來表示,我們只能用無窮不循環小數來表示.例如即 介於 1跟2之間,把1跟2之間的線段十等分,得知 介於1.4跟1.5之間,再把1.4跟1.5之間的線段十等分,可知 介於1.41跟1.42之間,這條想像中的數線必須具有無限可分割性,即任兩點之間必存在一個,我們只能利用無窮分割的方式來逼近一個無理數, 但永遠不能利用十等分的方式將之切割到.為此我們需要完備公設(Axiom of Completeness): 對於任一個具有上限(Upper Bound)的實數集合,存在一個實數的最小上限(Le
26、ast Upper Bound)。例如A=1,1.4,1.41,1.414,1.4142,.為前述無限逼近 的一個實數集合,其最小上限即為 。所以對於實數線上的一個點我們往往只能用逼近的方式來描述.事實上此即為極限的概念。,我們只能利用無窮分割的方式來逼近一個無理數, 但永遠不能利用,例如A中的1.414我們知其和 的距離小於0.001,1.4142則和 的距離小於0.0001。利用以上的概念,我們可知由完備公設知 為 的最小上限,意即 對應到實數線上一點。,例如A中的1.414我們知其和 的距離小於0.00,同理,不管b或x為有理數或無理數我們皆可在數線上找到對應於 的一點。設 ,其中 ,已
27、知指數法則(Exponent Laws):1.,同理,不管b或x為有理數或無理數我們皆可在數線上找到對應於,2. 3. 若x0, 則 。利用有理數可任意逼近無理數的方式,則當 時,以上公式亦適用。,2.,例19: (a) 解方程式 。解:,例19: (a) 解方程式 。,基本函数与极限课件,以下我們來看看函數 x趨近於無窮大時,f(x)是否會跟著趨近於某一數?首先我們令 ,然後看看 在n時,f(n)會有怎樣的變化?,以下我們來看看函數,利用二項式展開法將展開如下:,利用二項式展開法將,由上式可知f(n+1)f(n),意即 為遞增數列,且,由上式可知f(n+1)f(n),意即,由於3為集合 的上
28、限,根據完備公設集合C的最小上限存在,我們用e表示此最小上限,且由於 為遞增,故n時,已知e為無理數,且e=2.71828.。,由於3為集合 的上,事實上當x時,函數 亦趨近於e。以e為底的指數函數 特別重要,因為自然界許多現象都和此函數有關。,事實上當x時,函數,對數函數(Logarithmic Functions),由於指數函數 為遞增函數,所以其反函數存在,我們稱之為對數函數(Logrithmic Functions),並用 來表示,其定義域為 ,而值域為R。下圖為對數函數的典型圖形:,對數函數(Logarithmic Functions)由於指,圖9,圖9,證明: 根據定義, 1-4和8為顯而易見。,證明: 根據定義, 1-4和8為顯而易見。,
