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1、1,定积分的概念和基本性质,定积分的定义,定积分的基本性质,1定积分的概念和基本性质 定积分的定义定积分的基本性质,2,1,4.3.1 引出定积分定义的例题,2 例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和,3,1,(4)取极限,取Sn的极限，得曲边三角形面积：,(1)分割,(2)近似,(3)求和,3x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得,4,1,(1)分割,(2)近似,(3)求和,4x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得,5,1,(1)分割,(2)近似,(3)求和,5x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得,6,分 割,求 和,近 似,取极限,把整体的问题分成局部的问题
2、,在局部上“以直代曲”, 求出局部的近似值；,得到整体的一个近似值；,得到整体量的精确值；,例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。,6分 割求 和近 似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上,7,一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：,b,a,7 一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x),8,tn=,=t0,t1,ti1,ti,tn1,ti,引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程,(2) 在第 i ( i1, 2, , n) 个时间段 ti1, ti上任取一时刻 i，用v(i)Dt
3、i近似替代物体在第i个时间段所走距离: Dsiv(i)Dti 。,(1) 用分点 t=ti (ti1ti , i1, 2, , n-1) 把a, b分割成 n 个小的时间段，第i个时间段为 ti1, ti，长度记为Dti ti ti1。,(3) 将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区间a, b内所走距离 s 的近似值：,(4) 记lmaxDt1,Dt2,Dtn，取极限l0，则物体在时间区间a, b内运动的距离：,8例2设物体沿直线作变速运动，速度为 v =v (t),9,分 割,求 和,近似替代,取极限,把整体的问题分成局部的问题,在局部上“以直代曲”或以“不变代变”求出局部的近
4、似值；,得到整体的一个近似值；,得到整体量的精确值；,实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程,9分 割求 和近似替代取极限把整体的问题分成局部的问题在局部,10,4.3.1定积分的定义,定义 4.3.1:,区间任意分成 n 份,分点依次为,将,在每一个小区间xi-1 , xi上任取一点ci, 作乘积,无论区间的分法如何, ci在xi-1, xi上的取法如何,如果当最大区间长度,104.3.1定积分的定义定义 4.3.1:区间任意分成,11,（续上页）,在每一个小区间xi-1 , xi上任取一点ci, 作乘积,无论区间的分法如何, ci在xi-1, xi上的取法如何,如果当最大区间长度,趋于零
5、时和数的极限存在,那么我们就称函数f(x)在区间a, b上可积,并称这个极限I为函数f(x)在区间a, b上的定积分,记为,其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,a, b称为积分区间,a称为积分下限,b称为积分上限,和数称为积分和.,11（续上页）在每一个小区间xi-1 , xi上任取一,12,定积分的定义式：,定积分的相关名称：,12积分上限积分号积分下限积分变量定积分的定义式：,13,注意: 定积分与不定积分的区别,定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限,函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在a, b上的定积分是一个完全
6、由被积函数f(x)的形式和积分区间a, b所确定的值.,13注意: 定积分与不定积分的区别定积分和不定积分是两个完全,14,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,定积分的定义式：,14 按定积分的定义，有,15,规定:,15规定:,16,定积分的几何意义,S=,16定积分的几何意义 y=f (x) a bOx yS=,17,定积分的几何意义,S,y = f(x),17定积分的几何意义yxOabSy = f(x),18,函数f(x)在
7、区间a, b上的定积分表示为直线x=a, x=b, y=0所围成的几个曲边梯形的面积代数和。,定积分的几何意义,S1,S2,S3,a,b,18函数f(x)在区间a, b上的定积分表示为直线x=a,19,课本例题：例3：利用定积分几何意义验证：例4：在区间a, b上，若f(x)0, f(x)0, 利用定积分几何意义验证：,定积分的几何意义,19课本例题：定积分的几何意义,20,4.3.2 定积分的基本性质,有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b内可积，则有,20 性质1：4.3.2 定积分的基本性质有,21,4.3.2 定积分的
8、基本性质,一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a, b上可积，则 cf(x)在a, b上也可积（c为常数），且满足,21 性质2：4.3.2 定积分的基本性质一,22,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x)在a, b内可积，若acb, 则f(x)在a, c和c, b上可积；反之，若f(x)在a, c和c, b上可积，则f(x)在a, b内可积，且有,22 性质3：积分的可加性定理4.3.2 定,23,4.3.2 定积分的基本性质,交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则,23 性质4：积分的可加性定理4.3.2 定,24,4
9、.3.2 定积分的基本性质,设f(x)和g(x)在a, b上皆可积，且满足条件f(x) g(x)，则有,24 性质5：4.3.2 定积分的基本性质设,25,4.3.2 定积分的基本性质,25 性质6：4.3.2 定积分的基本性质,26,4.3.2 定积分的基本性质,若函数f(x)在a, b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在a, b上可积，则,26 性质7：4.3.2 定积分的基本性质若,27,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x) 在区间a, b上连续，则在a, b内至少有一点 (a b), 使得下式成立：同时， 我们称下式为f(x)在a, b上的平均值,27 性质8：定积分中值定理4.3.2 定积,28,课本例题：例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小,定积分的基本性质,28课本例题：定积分的基本性质,
