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1、2009年高考数学难点突破专题辅导十八难点18 不等式的证明策略不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容结合.高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,纯不等式的证明,历来是高中数学中的一个难点,本难点着重培养考生数学式的变形能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场()已知a0,b0,且a+b=1.求证:(a+)(b+).案例探究例1证明不等式(nN*)命题意图:本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目,考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力,属级题目.知识依托:本题是一个与自然数n有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分
2、析:此题易出现下列放缩错误:这样只注重形式的统一,而忽略大小关系的错误也是经常发生的.技巧与方法:本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法;证法二先放缩,后裂项,有的放矢,直达目标;而证法三运用函数思想,借助单调性,独具匠心,发人深省.证法一:(1)当n等于1时,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;(2)假设n=k(k1)时,不等式成立,即1+2,当n=k+1时,不等式成立.综合(1)、(2)得:当nN*时,都有1+2.另从k到k+1时的证明还有下列证法:证法二:对任意kN*,都有:证法三:设f(n)= 那么对任意kN* 都有:f(k+1)f(k)因此,对任意n
3、N* 都有f(n)f(n1)f(1)=10,例2求使a(x0,y0)恒成立的a的最小值.命题意图:本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力,属于级题目.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题目,所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析:本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围,此时我们习惯是将x、y与cos、sin来对应进行换元,即令=cos,=sin(0),这样也得asin+cos,但是这种换元是错误的.其原因是:(1)缩小了x、y的范围;(2)这样换元相当
4、于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件,显然这是不对的.技巧与方法:除了解法一经常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若参数a满足不等关系,af(x),则amin=f(x)max;若 af(x),则amax=f(x)min,利用这一基本事实,可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题.还有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把原问题转化.解法一:由于a的值为正数,将已知不等式两边平方,得:x+y+2a2(x+y),即2(a21)(x+y),x,y0,x+y2,当且仅当x=y时,中有等号成立.比较、得a的最小值满足a21=1,a2=2,a= (因a0),a的最小值是.解法二:设.x0
5、,y0,x+y2 (当x=y时“=”成立),1,的最大值是1.从而可知,u的最大值为,又由已知,得au,a的最小值为.解法三:y0,原不等式可化为+1a,设=tan,(0,).tan+1a;即tan+1asecasin+cos=sin(+),又sin(+)的最大值为1(此时=).由式可知a的最小值为.锦囊妙计1.不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述;如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果,而
6、分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法.证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
7、歼灭难点训练一、填空题1.()已知x、y是正变数,a、b是正常数,且=1,x+y的最小值为_. 2.()设正数a、b、c、d满足a+d=b+c,且|ad|bc|,则ad与bc的大小关系是_.3.()若mn,pq,且(pm)(pn)0,(qm)(qn)0,则m、n、p、q的大小顺序是_.二、解答题4.()已知a,b,c为正实数,a+b+c=1.求证:(1)a2+b2+c2 (2)65.()已知x,y,zR,且x+y+z=1,x2+y2+z2=,证明:x,y,z0,6.()证明下列不等式:(1)若x,y,zR,a,b,cR+,则z22(xy+yz+zx)(2)若x,y,zR+,且x+y+z=xyz
8、,则2()7.()已知i,m、n是正整数,且1imn.(1)证明:niAmiA;(2)证明:(1+m)n(1+n)m8.()若a0,b0,a3+b3=2,求证:a+b2,ab1.参考答案难点磁场证法一:(分析综合法)欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40,即证4(ab)233(ab)+80,即证ab或ab8.a0,b0,a+b=1,ab8不可能成立1=a+b2,ab,从而得证.证法二:(均值代换法)设a=+t1,b=+t2.a+b=1,a0,b0,t1+t2=0,|t1|,|t2|显然当且仅当t=0,即a=b=时,等号成立.证法三:(比较法)a+b=1,a0,b0,a+b2
9、,ab证法四:(综合法)a+b=1, a0,b0,a+b2,ab.证法五:(三角代换法) a0,b0,a+b=1,故令a=sin2,b=cos2,(0,)2歼灭难点训练一、1.解析:令=cos2,=sin2,则x=asec2,y=bcsc2,x+y=asec2+bcsc2=a+b+atan2+bcot2a+b+2.答案:a+b+22.解析:由0|ad|bc|(ad)2(bc)2(a+b)24ad(b+c)24bca+d=b+c,4ad4bc,故adbc.答案:adbc3.解析:把p、q看成变量,则mpn,mqn.答案:mpqn二、4.(1)证法一:a2+b2+c2=(3a2+3b2+3c21)
10、=3a2+3b2+3c2(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=(ab)2+(bc)2+(ca)20 a2+b2+c2证法二:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1 a2+b2+c2证法三:a2+b2+c2a2+b2+c2证法四:设a=+,b=+,c=+.a+b+c=1,+=0a2+b2+c2=(+)2+(+)2+(+)2=+ (+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2原不等式成立.证法二:6原不等式成立.5.证法一:由x+y+z=1,x2+y
11、2+z2=,得x2+y2+(1xy)2=,整理成关于y的一元二次方程得:2y22(1x)y+2x22x+=0,yR,故04(1x)242(2x22x+)0,得0x,x0,同理可得y,z0,证法二:设x=+x,y=+y,z=+z,则x+y+z=0,于是=(+x)2+(+y)2+(+z)2=+x2+y2+z2+ (x+y+z)=+x2+y2+z2+x2+=+x2故x2,x,x0,同理y,z0,证法三:设x、y、z三数中若有负数,不妨设x0,则x20,=x2+y2+z2x2+,矛盾.x、y、z三数中若有最大者大于,不妨设x,则=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+=x(x)+;矛盾.故x、y、z
12、0,上式显然成立,原不等式得证.7.证明:(1)对于1im,且A =m(mi+1),由于mn,对于整数k=1,2,i1,有,所以(2)由二项式定理有:(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn,(1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm,由(1)知miAniA (1im,而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1,mC=nC=mn,m2Cn2C,mmCnmC,mm+1C0,mnC0,1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm,即(1+m)n(1+n)m成立.8.证法一:因a0,b0,a3+b3=2,所以(a+b)323=a3+b3+3a2b+3ab28=3a2b+3ab26=3ab
13、(a+b)2=3ab(a+b)(a3+b3)=3(a+b)(ab)20.即(a+b)323,又a+b0,所以a+b2,因为2a+b2,所以ab1.证法二:设a、b为方程x2mx+n=0的两根,则,因为a0,b0,所以m0,n0,且=m24n0 因为2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab=m(m23n)所以n=将代入得m24()0,即0,所以m3+80,即m2,所以a+b2,由2m 得4m2,又m24n,所以44n,即n1,所以ab1.证法三:因a0,b0,a3+b3=2,所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)(a+b)(2abab)=ab(a+b)于是有63ab(a+b),从而83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b2,(下略)证法四:因为0,所以对任意非负实数a、b,有因为a0,b0,a3+b3=2,所以1=,1,即a+b2,(以下略)证法五:假设a+b2,则a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)(a+b)23ab(a+b)ab2ab,所以ab1,又a3+b3=(a+b)a2ab+b2=(a+b)(a+b)23ab2(223ab)因为a3+b3=2,所以22(43ab),因此ab1,前后矛盾,故a+b2(以下略)本资料来源于七彩教育网