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1、奇数与偶数及奇偶性的应用,1.奇数和偶数概念：,整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。,表达式：偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。,特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。,基础知识,基础知识,2.奇数与偶数的运算性质,性质1： 偶数偶数=偶数， 奇数奇数=偶数， 偶数奇数=奇数。,性质2：偶数奇数=偶数， 奇数奇数=奇数， 偶数偶数=偶数,性质4：奇数个奇数相加得奇数。,性质3：偶数个奇数相加得偶数。,知识应用,例1 1+2+3+1993的和是奇数？还是偶数？,分析：,等差数列,此题可以利用高斯求和公式直接求
2、出和，再判别和是奇数，还是偶数.,解法1：1+2+3+1993,如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性,解法2：19932=9961，,11993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。,996个偶数之和一定是偶数，又奇数个奇数之和是奇数，997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。,又997和1993是奇数，奇数奇数=奇数，原式的和是奇数。,知识应用,例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？,解法1：设这个数为a，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a1）.则有,解法2：相邻两个奇数相差2，
3、,（2a+1）x-（2a-1）x=150，,2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。,这个要求的数是75。,150是这个要求数的2倍。,这个数是1502=75。,知识应用,例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？,分析 此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。,解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的 总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。,送贺年卡的人可以分为两种：,一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年
4、卡总和为偶数。,另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。,他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。,知识应用,例4 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。,证明：a、b、c中有两个奇数、一个偶数，a、c中至少有一个是奇数，a-1，c-3中至少有一个是偶数。又偶数整数=偶数，（a-1）（b-2）（c-3）是偶数。,知识应用,例5 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与
5、原数之和不能等于999。,则有a+a=b+b=c+c=9，,因为9不会是进位后得到的,又因为a、b、c是a、b、c调换顺序得到的，所以a+b+c=a+b+c。,因此，又有（a+a）+（b+b）+（c+c）=9+9+9，即2（a+b+c）=39。,这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。,可见：等式左边是偶数，等式的右边（39=27）是奇数.偶数奇数.因此，等式不成立.所以，此假设“原数与新数之和为999”是错误的，命题得证。,知识应
6、用,例6 用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：abcd-a=1991abcd-b=1993abcd-c=1995abcd-d=1997试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。,解：由原题等式组可知：a（bcd-1）=1991，b（acd-1）=1993，c（abd-1）=1995，d（abc-1）=1997。,abcd=奇数。a、b、c、d的乘积分别减去a、b、c、d后，一定为偶数. 这与原题等式组矛盾。,1991、1993、1995、1997均为奇数，且只有奇数奇数=奇数，a、b、c、d分别为奇数。,不存在满足题设等式组的整数a、b、c、d。,知识应用,例7 桌上有9只杯子，全部
7、口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。,解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。,知识应用,例8 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。,证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。由于
8、n是奇数，所以n个奇数的和=奇数，因此要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。但因为规定每次拉动n-1个开关，且n-1是偶数，故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。奇数偶数，当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下：设灯的编号为1，2，3，4，n.做如下操作：第一次，1号灯不动，拉动其余开关；第二次，2号灯不动，拉动其余开关；第三次，3号灯不动，拉动其余开关； 第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。,知识应用,例9 在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。,证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染 同色.,设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。,2m1987（偶数奇数）假设不成立。至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。,
