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1、定理：设,则存在,使得,右式称为矩阵A的等价标准型,酉等价：设,若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵,V，使得,则称A与B酉等价。,矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。,第一节 奇异值分解,引理1,证明 设是AHA的特征值，x是相应的特征向量，则 AHAx= x由于AHA为Hermite 矩阵，故是实数。又,同理可证AAH的特征值也是非负实数。,证明 设x是方程组AHAx=0的非0解，,引理2,则由,得,对于Hermite 矩阵AHA， AAH，设 AHA， AAH有r个非0特征值，分别记为,即： AHA与AAH非0特征值相同，并且非零特征值的个数为,奇异值的定义,说明：A的正奇异值个数
2、等于 ，并且A与AH有相同的奇异值。,定理 酉等价的矩阵有相同的奇异值,由,奇异值分解定理,设A是秩为,的,则存在 阶酉矩阵,矩阵,与 阶酉矩阵,使得,其中,为矩阵A的全部奇异值.,证明 设矩阵 的特征值为,则存在n阶酉矩阵 ，使得,将 分块为,其中 ， 分别是 的前 r 列与后 列.,并改写式为,则有,由的第一式可得,由的第二式可得,令 ，则 ，即 的r个列是两两正交的单位向量.记,因此可将 扩充成标准正交基，记增添的向量为 ，并构造矩阵则是m阶正交矩阵,且有于是可得,称上式为矩阵A的奇异值分解.,推论 在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中，U的列向量为AAH的特征向量， V的列向量为AHA的
3、特征向量.,1求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V;,5 构造奇异值分解,4扩充U1为酉矩阵U=(U1 ,U2),3令,2记,奇异值分解方法1利用矩阵AHA求解,例1、求矩阵,的奇异值分解,可求得 的特征值为,对应的特征向量依次为,于是可得：,令,其中,计算：,构造：,则,的奇异值分解为,奇异值分解方法2-利用矩阵AAH求解,1先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵U;,4扩充V1为酉矩阵V=(V1 ,V2)5 构造奇异值分解,2记,3令,例 求矩阵A的奇异值分解,利用矩阵AAH求解,第二节 奇异值分解的性质与应用,1.奇异值分解可以降维,A表示 个 维向量，可以通过奇异值分解表示成
4、 个 维向量.若A的秩 远远小于 和 , 则通过奇异值分解可以降低A的维数.可以计算出，当 时，可以达到降维的目的，同时可以降低计算机对存贮器的要求.,2. 奇异值对矩阵的扰动不敏感,特征值对矩阵的扰动敏感. 在数学上可以证明，奇异值的变化不会超过相应矩阵的变化，即对任何的相同阶数的实矩阵A、B的按从大到小排列的奇异值 和有,3. 奇异值的比例不变性,即 的奇异值是A的奇异值的 倍.,4.奇异值的旋转不变性.即若P是正交阵，PA的奇异值与A的奇异值相同.,奇异值的比例和旋转不变性特征在数字图象的旋转、镜像、平移、放大、缩小等几何变化方面有很好的应用.,5. 容易得到矩阵A的秩为 的一个最佳逼近
5、矩阵.,A是矩阵的加权和，其中权系数按递减排列：,假设推荐系统中有用户集合有6个用户，即U=u1,u2,u3,u4,u5,u6，项目（物品）集合有7个项目，即V=v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7，用户对项目的评分结合为R，用户对项目的评分范围是0, 5，如图所示。,推荐系统,推荐系统的目标就是预测出符号“？”对应位置的分值。推荐系统基于这样一个假设：用户对项目的打分越高，表明用户越喜欢。因此，预测出用户对未评分项目的评分后，根据分值大小排序，把分值高的项目推荐给用户。,矩阵分解目标就是把用户-项目评分矩阵R分解成用户因子矩阵和项目因子矩阵乘的形式，即R=UV，这里R是nm， n =6， m =7，U是nk，V是km，如图所示。,
