工商管理学毕业论文-62p.docx

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1、摘要随着经济社会的发展，中小企业的发展逐渐加快，中小企业的发展是社会经济发展中不可或缺的一部分。在我国，中小企业是我国国民经济的重要力量，对扩大就业、活跃市场、增加税收、稳定社会和形成合理的国民经济结构、推动我国经济发展和制度创新中都发挥着不可替代的作用。复杂网络理论是近几年来被广泛研究和运用的一门新型理论，具有很强的发展潜力。本文运用复杂网络理论知识，从市场交易的角度建立企业之间的联系，构建企业关系网络模型。通过对该模型的复杂网络统计特性：平均路径长度、聚类系数和度分布的分析，研究企业关系网络的复杂网络特性，显示出企业关系网的小世界特性，无标度特性以及局域网络特性。得出我国中小企业的发展要在

2、完善自身的基础上，尽可能多和广的与其他企业建立联系，为自身发展打好基础。关键词： 复杂网络 中小企业发展 企业关系网 市场交易ABSTRACTWith the socia-economics developing, the development of the small and medium-sized enterprises (SME) is gradually speeded up，it is an integral part in the socio-economic development. In China, SME is an important force in Chinas

3、national economy, the expansion of employment, active the markets, increase tax revenue, stability and form a reasonable social and economic structure, and promote Chinas economic development and institutional innovation .It is playing an irreplaceable role.Complex networks is a new theory that bein

4、g used and researched extensively in recent years, it has a strong develop potential. In this paper, we use the complex networks knowledge, establish the linkages between enterprises from the perspective of the market transactions, build a business relationship network model. Through analysising the

5、 models statistical properties of complex networks: the average path length, clustering coefficient and degree distribution, and studying the complex networks characteristics of the enterprise relationships network, showing that the business relationship network has the characteristic of small-world

6、 network, scale-free properties and the characteristic of local area network.The result is the development of SME in our country should be in the basics of improving their own, and build relationships with other enterprises as much as possible, in order to lay a good foundation for their own develop

7、ment.Keywords: complex networks the development of SME business relationship network market transaction目录第一章 绪论11.1 选题背景及意义11.2 国内外研究现状31.3 论文研究内容及框架51.3.1 论文内容51.3.2 论文框架6第二章 复杂网络理论基础72.1 复杂网络的研究简史72.1.1 七桥问题72.2.2 随机图理论72.1.3 小世界实验82.1.4 弱连接的强度82.1.5 复杂网络研究新纪元92.2 复杂网络的基本概念102.2.1 平均路径长度102.2.2 聚类

8、系数112.2.3 度分布112.3 复杂网络拓扑模型132.3.1 规则网络132.3.2 ER随机图142.3.3 小世界模型152.3.4 无标度网络模型172.3.5 局域世界演化网络模型182.3.6 其他模型20第三章 中小企业发展研究213.1 中小企业的界定213.1.1 国外中小企业的界定标准213.1.2 我国对中小企业的界定233.2 中小企业发展理论分析253.2.1 社会分工论253.2.2 二元结构体系论273.2.3 大规模时代终结论273.2.4 竞争簇群论283.2.5 风险企业论283.2.6 技术创新论293.2.7 中产经济理论303.3 我国中小企业的

9、发展现状、意义及政策分析313.3.1 中小企业的优势323.3.2 中小企业的劣势333.3.3 发展中小企业的意义353.3.4 中小企业发展的有利政策38第四章 复杂网络理论在中小企业发展中的应用414.1 企业关系网的构建414.1.1 企业关系网的生成414.1.2 企业关系网络模型统计特性424.2 企业关系网络的复杂网络效应434.2.1 小世界效应444.2.2 无标度特性444.2.3 局域网络特性464.3 企业关系网中企业的发展分析474.3.1 大型企业在企业关系网中的发展474.3.2 中小企业在企业关系网中的发展47第五章 总结与展望515.1 本文总结515.2

10、不足与展望525.2.1 本文的不足525.2.2 进一步研究方向52致谢53参考文献55第一章 绪论1.1 选题背景及意义自改革开放特别是党的十五大以来，我国中小企业得到了迅速的发展，在国民经济和社会发展中的地位和作用日益增强。纵观世界各国的发展历史，我们也可以看出，中小企业在国民经济中占有十分重要的地位。中小企业在推动国民经济增长，提高就业率，活跃市场，稳定社会，增加税收等方面都有很大的作用。因此，中小企业的发展一直备受关注，中小企业的发展问题也一直是一个备受中外经济学家和学者们研究的热门课题。我国中小企业在我国经济发展中的重要作用的具体表现有如下几点：（1） 中小企业已成为拉动经济的新增

11、长点。截止2007年底，全国工商注册登记的中小企业已经超过4200万户，占全部注册企业总数的99.8。中小企业工业总产值、销售收入、实现利税分别占总量的60、59和53；流通领域中小企业占全国零售网点的90以上。近年来的出口总额中，有68以上是中小企业提供的。而且有66的发明专利和80以上的新产品研发都是由中小企业完成的。在90年代以来的经济快速增长中，工业新增产值的76.7来自中小企业。1998年全国工业企业中，中小型企业销售额增长率和工商税收增长率分别为10.27和11.64，均高于大型企业。同年，私营中小企业户数同比上升25.10，注册资本同比增长40.04；总产值同比增长49.22；营

12、业收入同比增长71.29；消费品零售额同比增长64.95。中小企业已经成为我国经济实现有效增长的主要推动力量。（2） 中小企业是缓解就业压力，保持社会稳定的基础力量。有关资料显示，中小企业大约提供了75的城镇就业机会。中小企业创业及管理成本低，市场的应变能力强，就业弹性高，具有大企业无可比拟的优势。19781996年，从农村转移出的2.3亿劳动力绝大多数在中小企业特别是乡镇中就业。全国工业就业职工1.5亿中，有1.1亿人分布在中小企业，约占总数的73。特别是在近年来经济结构调整和国有企业改组力度加大，国有、集体企业下岗职工增加，新增就业人口居高不下，农村富余劳动力继续向城市转移，以及政府机关精

13、简人员就业压力很大的情况下，中小企业尤其是非公有制中小企业吸纳就业再就业的“蓄水池”作用更加明显。据统计，1998年国有企业下岗职工610万人，有418万在非国有企业中再就业，占国企下岗职工总数的68.5。由于中小企业是社会就业的主要场所，是地方财政的主要来源，稳定了中小企业就是稳定了社会就业，稳定了地方财政基础，从而全社会的稳定就有了物质保障。（3） 科技型中小企业蓬勃发展，是经济增长与社会进步的不竭动力。近年来，科技型中小企业悄然兴起并迅速发展，成为技术进步中最活跃的创新主体。截至1998年底，全国科技型中小企业已逾7万户，占全国中小企业总数的15.22；全年技工贸总收入超过6000亿元，

14、占同口径销售收入总数的16.57，1998年与1992年相比，科技型中小企业的技工贸总收入、利润总额、上缴税金、出口创汇等分别增长了20倍、15倍 、23倍和50倍。（4） 中小企业是市场经济体制的微观基础，是深化改革的主要推动力量。中小企业大多数从事第三产业，贴近市场，贴近用户，活跃在市场竞争最为激烈的领域，是市场经济的主体和市场体制的微观基础。因此，我们无论从社会财富创造、国民经济发展、国家财政收入、充裕就业机会、提升市场竞争力等任何一个方面去进行考察，都需要对其不断地进行研究，以不断提升中小企业持续、稳定发展的能力，从而促进我国经济更快的发展。但大量的中小型企业纷纷地进入市场，也存在着很

15、大的问题，20世纪80年代到90年代初，中国民营企业创造了一个个神话，三株、巨人、飞龙、太阳神等一大批民营企业以令人吃惊的速度成为名噪一时的民企巨人，然而现今这些明星大都风光不再。中小企业很难发展得一帆风顺，绝大多数中小企业都难逃破产、被兼并的命运。因此，中小企业，特别是民营企业又称之为“短寿企业”。每日经济新闻2005年7月1日报道：我国每年新生15万家家族式民营企业，同时每年又死亡10万家，有60%的在5年内破产，有85%的在10年内死亡，其平均寿命只有2.9岁。中国的企业中，每一天有1.2万家倒闭，每一分钟有近10家企业关门。台湾地区1996年15月份倒闭了约1.1万家，平均每个月要倒闭

16、2200家。2007年，温州龙湾工商部门对2003年度至2006年度该地区四年期间被吊销、注销的2410个中小企业进行了生命周期的统计分析，发现44.52%的中小企业生命周期不超过4年，其中个人独资企业的生命周期最短，仅1.99年。根据广东省各地中小企业行政主管上报的企业关闭情况，从2008年1月到9月期间共关闭（包括倒闭、停业、歇业、搬迁）中小企业7148家。其中较多的城市分别是东莞市1464家、中山市956家、珠海市709家、深圳市704家、汕尾市587家、佛山市526家以及潮州市432家。东莞市每年都有800-900家企业关停或外迁。据2007年底亚洲鞋业协会的统计：在广东5000多家鞋

17、企业中，有1000多家倒闭，而且主要是员工300-800人的企业。美国财富杂志前几年也曾经报道，美国大约62的企业寿命不超过5年， 中小企业平均寿命不到7年。最近，美国商业部公布了一组数字：美国现在每年平均要新产生50万家中小企业，但是，一年内倒闭的占40%，5年内倒闭的占80%，10年内倒闭的占96%，只有4%能活过10年；美国的高新科技产业只有10%活过5年。日本1998年日本企业倒闭数创历史最高记录，仅上半年倒闭了1.3万多家。从以上资料数据，很容易看出中小企业发展的困境。中小企业因为规模小，反应灵敏，有“船小好调头”的优势，但是“船小经不起风浪”却又是中小企业发展的致命缺陷。如何加强中

18、小企业的发展是许多经济学家一直致力研究的问题。本文将通过企业关系网络的建立，加大企业之间的联系，规避和减少风险，使中小企业能够得到更好的发展。本文将从市场交易的角度出发，运用复杂网络理论知识，构建企业关系网络，得出要加快中国小企业的发展，小企业就要不断完善自身，练好内功，培养特色核心竞争力，提高自身竞争能力，并尽可能多地建立与其他地区企业的市场交易关系。1.2 国内外研究现状20世纪90年代以来，以因特网为代表的信息技术的迅猛发展使人类社会大步迈入了网络时代。从Internet到WWW，从大型电力网络到全球交通网络，从生物体中的大脑到各种新陈代谢网络，从科研合作网络到各种经济、政治、社会关系网

19、络等，可以说，人们已经生活在一个充满着各种各样的复杂网络的世界中。人类社会的网络化给人类社会生产和生活都带来了极大地便利，加强了世界各地的人们的联系和交流，提高了人类生产效率和生活质量。但是，它同时也给人类社会生活带来了一定得负面冲击，如艾滋病的传播，禽流感以及最近出现的猪流感的迅速传染，计算机病毒的快速传播，大面积的停电事故，城市的交通堵塞，全球化的金融危机等。因此，人类社会的日益网络化需要人类对各种人工和自然地复杂网络的行为有更好的认识。从20世纪末开始，复杂网络研究正渗透到数理学科、生命学科和工程学科等众多不同的领域，对复杂网络的定量与定性特征的科学理解，已成为网络时代科学研究中一个极为

20、重要的挑战性课题，甚至被称为“网络的新科学”。20世纪60年代，美国的心理学家Migram进行了著名的小世界试验给出推断：地球上任意两个人之间的平均距离是6，这就是著名的六度分离推断。1998年6月，Watts和其导师Strogata在自然杂志上发表题为“小世界”网络的群体动力行为的文章，进一步揭示了复杂网络的小世界特性，并建立了小世界网络模型。1999年10月，Barabasi教授及其博士生Albert在科学杂志上发表了题为随机网络中的标度的涌现一文，揭示了复杂网络的无标度特性，并建立了无标度网络模型。进入21世纪以来，关于复杂网络的研究文献呈现出极快的增长趋势，每个月都有很多新文章出现。并

21、且近年来Scinence和Nature等著名杂志是也有大量的关于复杂网络的文章刊登。一些国际知名大学（如MIT，哥伦比亚大学和密歇根大学等）已相继开设了有关复杂网络的课程。在进入21世纪前，复杂网络在我国的研究并没有受到重视，在这方面的研究也比较少。然而，从2002年起，最近几年国内不同学科的研究人员和青年学者对复杂网络研究的兴趣越来越浓，至今已经召开了多次以此为主题的学术会议和论坛。2004年4月，在无锡组织了有40余人参加的首届全国复杂动态网络学术论坛。2004年10月，中国系统工程学会在浙江大学组织了全国复杂网络研讨班。2005年1月，中国数学会于上海交大组织了复杂网络学习班。2005年

22、10月，在北京召开的由中国高等学术研究中心组织的第二届复杂动态网络学术论坛的参加人数已经超过150人。武汉大学在国内率先成立了校级复杂网络研究中心并于2005年春季组织了全国复杂网络学术会议。我国在复杂网络领域的研究也正在深入，并且也取得了很大的进步。总的来说，最近几年不管是国内还是国际上，各个不同领域的学者专家们掀起了一股关于复杂网络的研究热潮，并且在这各个方面都有了深入的研究并取得了很多成果。相对来说，这些研究主要集中在数学领域、生命科学、计算机网络、城市交通、病毒传播等方面。在经济领域，关于复杂网络的研究还不是很多，处于起步阶段，在这方面还有所欠缺。本文将运用复杂网络理论知识，对中小企业

23、的发展问题进行探讨。1.3 论文研究内容及框架1.3.1 论文内容本文通过复杂网络理论知识的运用，从市场交易的角度出发，构建企业关系网。通过对企业关系网的研究，探讨中小企业的发展问题。中小企业可以通过增加其与其他企业之间的联系或加强企业之间的联系，从而增加中小企业的发展空间，在面对困难的时候，可以降低或者规避风险。这样有利于中小企业的发展壮大，更有利于中小企业的长期发展，延长中小企业的寿命，为中小企业进一步发展成为大型企业提供了可能。通过企业关系网的建立和研究发现，企业关系网中企业间的联系具有小世界特性，即网络的平均距离很小。企业关系网络还具有无标度特性，每年我国都有几百万家中小企业成立，网络

24、的生长过程类似于无标度网络的生成过程。每过一段时间会有新的企业加入网络或者有企业之间建立新的联系，即网络中节点和边的增加。而且具有优先连接特性，新的节点总是喜好连接那些已经有较多边的点，也就是新加入的企业总是偏向于与大型企业建立市场交易关系。同时，企业关系网还具有局域世界模型的特性，企业联系有一定的区域性，一般企业都是先与邻近企业建立联系，甚至加入当地企业组织的企业联盟或是成为当地企业集群的一份子，之后才进一步与外地企业之间建立关系。像我国企业大多数是先在国内发展壮大后，才会选择开辟海外市场。本文以企业关系网为模型，对企业之间交易关系的探讨，对中小企业的发展进行研究。通过复杂理论知识的运用，结

25、合网络动态生长性，增加企业自身的度值（建立更多的连接），并尽可能的建立远程连接（多与外地企业建立市场交易关系），有利于企业更快更好的发展，并能够发展更长远，更壮大。1.3.2 论文框架本文是从复杂网络视角研究中小企业发展，文章总共分为五个部分。第一章为绪论，主要介绍了论文的研究背景，国内外对复杂网络的研究发展动态，以及本文的研究内容和目标。第二章对复杂网络理论知识进行简述，主要包括复杂理论的发展简史，复杂网络的基本概念以及复杂网络模型的介绍。第三章是有关中小企业发展的资料分析，中小企业的界定，中小企业的发展意义,中小企业发展理论以及我国中小企业发展现状和相关政策。第四章为模型构建，通过市场交易

26、关系的角度建立企业关系网，并对企业关系网的小世界效应、无标度特性以及局域世界特性进行分析，研究中小企业的发展。第五章为总结与展望，对本文进行总结以及指出本文研究存在的不足之处，并对复杂网络对经济领域的发展，特别是中小企业发展前景的展望。第二章 复杂网络理论基础 “网络”被称为当今社会最“滥用”的词汇之一，从这一方面就能看出网络在当今世界的应用有多么的广泛。当今社会，又称之为网络社会，可以说网络无处不在。网络即可以是欧几里德空间的真实物体，如：电力网、因特网、信号网络、高速公路网络和神经网络等；也可以是定义在抽象空间的实体，如朋友关系网络、经济交流网和科学合作网等。2.1 复杂网络的研究简史2.

27、1.1 七桥问题要研究复杂网络，就不得不提到图论。历史上，网络的研究属于离散数学的分支图论的研究范畴。1736年，欧拉在七桥问题的研究过程中，他利用抽象法，将被河流分隔开的四块陆地抽象为四个点，而连接四块陆地之间的七座桥则抽象为连接这四个点的七条线。这样就得到了有四个点和起跳线构成的一个图，于是七桥问题就被转化为一个数学问题。欧拉对七桥问题的抽象和论证思想，开创了数学中的一个分支图论的研究。因此，欧拉被公认为图论之父。事实上，今天关于复杂网络的研究与欧拉当年关于七桥问题的研究在某种程度上是一脉相承的，即网络结构与网络性质密切相关。2.2.2 随机图理论20世纪60年代，两位匈牙利数学家Erdo

28、s和Renyi建立的随机图理论被公认为是数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。在Erdos和Renyi研究的随机图模型（称之为ER随机图）中，任意两个节点之间有一条边相连接的概率都为p。因此，一个含N个节点的ER随机图中边的总数是一个期望值为pN(N-1)/2的随机变量。由此可以推测得出，产生一个含有N个节点和M条边的ER随机图的概率为。Erdos和Renyi系统的研究了当N时ER随机图的性质（如连通性等）与概率p之间的联系。他们采用了如下定义：几乎每一个ER随机图都具有某种性质Q，如果当N时产生具有这种性质Q的ER随机图的概率为1。Erdos和Renyi的最重要的发现是：ER随机图的许多重要

29、的性质都是突然涌现的。也就是说对于一个给定的概率p，要么几乎每一个图都具有某个性质Q，要么几乎每一个图都不具有该性质。2.1.3 小世界实验20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram通过一些社会调查后给出的推断是：地球上任意两个人之间的平均距离是6。即你平均只需要通过5个人就能与地球上的任意角落的任何一个人发生联系。这就是著名的六度分离推断。在某种程度上反映了人际关系的“小世界”特征。2001年秋天，Watts组建了一个研究小组，并建立了一个称为小世界项目的网站在世界范围内进行六度分离假说的网上在线实验验证。该小组于2003年8月在Science杂志上报道了他们的

30、初步实验结果。在一年多的时间里，总共有13个国家的18名目标对象和166个国家和地区的6万多个志愿者参与实验，最后有384个志愿者的电子邮件抵达了目的地。其中每封邮件平均转发5-7次，即可到达目标对象。从而验证了“六度分离”的正确性。2.1.4 弱连接的强度20世纪60年代末，哈佛大学的研究生Mark Granovetter就人们找工作的途径的研究发现人们在找工作的过程中，那些关系紧密的朋友（强连接）反倒没有那些关系一般的甚至只是偶尔见面的朋友（弱连接）更能够发挥作用。事实上，关系紧密的朋友也许根本帮不上忙。Granovetter在波士顿地区采访了近100个人，并向200多个人发出了问卷。这些

31、被调查者，都是刚刚改变工作或者最近才被聘用的，而且都是专业技术人士，也就是说，调查范围不包括蓝领工人。他的研究的出了上面的结论，并在美国社会学杂志上发表了标题为弱连接强度的论文，对他的研究结果进行了介绍。该论文被认为是有史以来最有影响的社会学论文之一。2.1.5 复杂网络研究新纪元在20世纪末，随着数据库容量的持续增加以及计算机存储和操作能力的增强，人们对复杂网络的科学探索发生了重要的转变，尤其是对于万维网和Internet 的图形化处理为研究大规模复杂网络的拓扑结构提供了机会。研究不再局限于数学领域，人们开展了用图对社会科学基础系统以及生物学中的许多网络的研究。此时的研究开始用系统的眼光来看

32、待这些巨大的数据集合，试图寻找这些复杂系统的演化和动力学背后的规律和模式。当研究复杂网络的结构时就发现尽管系统具有明显的复杂性和随机性，但是也会出现可以用数学和统计语言来描述的清晰的模式和规律。特别是两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪元开始的标志：一篇是美国康奈尔大学的博士生Watts及其导师Strogatz教授于1998年6月在“自然”杂志上发表的题为“小世界”网络的集体动力学的文章。另一篇是美国Notre Dame大学的物理学家Barabsi及其博士生Albert于1999年10月在“科学”杂志上发表的题为随机网络中尺度的涌现的文章。这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无尺度

33、性质并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理，进而在从物理学到生物学的众多学科掀起了研究复杂网络的热潮。复杂网络研究的简单历史见表2-1。 表2-1 复杂网络研究的简史时间（年）人物事件1736Euler七桥问题1959Erdos、Renyi随即图理论1967Milgram小世界实验1973Granovetter弱连接的强度1998Watts、Strogatz小世界模型1999Barabasi、 Albert无标度网络2.2 复杂网络的基本概念一个具体网络可抽象为一个由点集V(G)和边集E(G)组成的图G (V， E)。节点数记为N= |V |， 边数记为M=| E |。 E(G)中每条边都

34、有V(G)中一对点与之相对应。如果任意点对(i，j)与( j，i)对应同一条边则该网络称为无向网络，否则称为有向网络。如果给每条边都赋予相应的权值，那么该网络就称为加权网络，否则称为无权网络。无权网络也可以看做是每条边的权值都为1的等权网络。另外，一个网络中还可以包含多种不同类型的节点。例如，在社会关系网络中可以用权表示两个人的熟悉程度，而不同类型的节点可以代表具有不同的国籍、地区、年龄、性别、收入的人。人们已经研究了网络的许多特性，在各种文献里以下三个基本概念是最常见的：平均路径长度、聚类系数和度分布。2.2.1 平均路径长度网络中两个节点i与j之间的距离定义为连接这两个节点的最短路径包含的

35、边数。网络中任意两个节点之间的距离的最大值被定义为网络的直径，记作D。即 （21）网络的平均路径长度L 定义为任意两个节点之间的距离的平均值，即 （22）其中N为网络及点数。例如，对于图21所示的一个包含5各节点和5条边的网络，有，。近期研究发现，尽管许多实际的复杂网络的节点数巨大，网络的平均路径长度却小得惊人。 图2-1 一个简单网络的直径和平均路径长度 具体的说，一个网络是具有小世界效应的，如果对于固定的网络节点平均度k，平均路径长度L的增加速度至多与网络规模N的对数成正比。2.2.2 聚类系数节点i的邻居节点之间也可能互为邻居，这称为网络的聚类特性。设网络中的一个节点i有条边将它和其它节

36、点相连，这个节点就称为节点i的邻居。在这个节点之间最多可能有（-1）/2条边，而这个节点之间实际存在的边数和总的可能的边数（-1）/2之比就定义为节点i的聚类系数，即 （23）从几何特点看，上式的一个等价定义为 （24）其中，与节点i相连的三元组是指包括节点i的三个节点，并且至少存在从节点i到其他两个节点的两条边。整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类系数的平均值 ，即 （25）很明显，。当且仅当所有的节点均为孤立节点，即没有任何连接边时C=0；当且仅当网络是全局耦合的，即网络中任意两个节点都直接相连时C=1。对于一个含有N个节点的完全随机的网络，当N很大时，。然而对于许多大规模的实际网络其

37、聚类系数尽管远小于1，但却比要大得多。这就说明这些实际的复杂网络并不是以往人们想象的那样是完全随机的，而是在某种程度上类似于社会关系网路中的“物以类聚，人以群分”特性。2.2.3 度分布度是单个节点的属性中简单而又很重要的概念。节点i的度定义为与该节点连接的其它节点的数目，因此，一个节点的度越大就意味着这个节点就越“重要”。 网络中所有节点i的度的平均值称为网络的平均度，记为。网络中节点的度的分布情况可用分布函数P(k )来描述。P(k )为网络中度为k的顶点占所有顶点数的比例，也就是随机选取的一个顶点的度为k的概率。规则的格子有着简单的度序列，因为所有的节点具有相同的度，所以其度分布是一个很

38、尖的峰（delta分布），网络中的任何随机化倾向都将使这个尖峰的形状变宽。当网络规模趋向于无穷时，完全随机网络的度分布近似为泊松分布（图2-2（A），其形状在远离峰值处呈指数下降。这意味着当k 时度为k的节点几乎不存在，因此这类网络也称为均匀网络。近几年的大量研究表明，许多实际网络的度分布明显不同于泊松分布。图2-2 泊松分布（A）与幂律分布（B）示意图。泊松分布在均值处有个峰值，曲线在偏离均值时呈指数衰减；幂律分布在双对数坐标上是一条直线。特别地，许多网络的度分布可以用幂律形式来更好的描述（图2-1 （B）。幂律分布曲线比指数分布曲线要下降的缓慢得多。数学上如果一个函数f (x)具有如下性质

39、：对任意给定常数a， 存在常数b使得f (ax) = bf (x)， 则称该函数是“无尺度”的，而幂函数正是具有这种性质的唯一的函数。这表明具有幂律度分布的网络没有明显的特征尺度，所以这类网络称为无标度网络。这样，在一个大规模的无标度网络中，绝大部分的节点的度相对很低，但存在少量的度相对很高的节点。因此，无标度网络是非均匀的，而那些少量的度相对很高的节点称为网络的“中心结点”。另外一种表示度数据的方法是绘制累积度分布函数 （26）它表示的是度不小于k的概率，这种方法的好处是可以表示所有的原始数据。对大量真实网络数据的分析表明，小世界和无标度特性在真实网络中是广泛存在的。2.3 复杂网络拓扑模型

40、人们对实际网络的研究结果，引发和推动了网络新模型的引入。其中有代表性的复杂网络模型包括：规则网络、随机图、小世界网络、无标度网络、局域世界演化网络、等级网络、空间网络、加权网络等模型。2.3.1 规则网络在一个全局耦合网络中，任意两个点之间都有边直接相连（图2-3（a）。因此在具有相同节点数的所有的网络中，全局耦合网络具有最小的平均路径长度和最大的聚类系数。虽然全局耦合网络模型反映了许多实际网络具有的聚类和小世界性质，但可以很容易看到该模型作为实际网络模型的局限性。一个有N个点的全局耦合网络有N(N-1) / 2条边，然而大多数大型实际网络都是很稀疏的，它们边的个数一般至多是O(N)而不是O(

41、)。另外一个得到大量的研究的稀疏的规则网络模型则是最近邻耦合网络，其中每一个节点只和它周围的邻居节点相连。具有周期边界条件的最近邻耦合网络包含N个围成一个环的点，其中每个节点都与它左右各K/2个邻居点相连，这里K是一个偶数（图2-3（b）。对充分大的K值，最近邻耦合网络的聚类系数为 （27） 因此，这样的网络是高度聚类的然而。然而，最近邻耦合网络不是一个小世界网络，相反，对固定的K值，该网络的平均路径长度为网络的平均路径长度为 （28） 还有一个简单的例子是星形耦合网络，它是一个同时具有聚类特性和小世界特性的稀疏的规则网络。星形耦合网络有一个中心点，其余的N - 1个点都只与这个中心点连接，而

42、它们彼此之间不连接（图2-3（c）。星形网络的平均路径长度为 (29)其聚类系数为 (210)这表明星形网络模型同时具有稀疏性、聚类性和小世界等特性.从这个方面来看，星形网络作为一些实际网络的模型要比最近邻耦合网络好，当然大多数的实际网络并不具有精确的星形形状。图2-3 几种规则网络 （a）全局耦合网络；（b）最近邻耦合网络；（c）星形网络2.3.2 ER随机图与完全规则网络相反的是完全随机网络，一个典型的随机网络模型是Erds和Rnyi于40多年前开始研究的ER随机图模型。如果网络有N个节点，对任意节点对(i，j)，以相同的概率p在它们之间连线，这样就可以得到包含约pN(N - 1) / 2

43、条边的ER随机图（图2-4）。图2-4 随机图的演化示意图Erds 和Rnyi 研究发现当概率p达到或超过一个临界值时，几乎所有的ER随机图都是完全连通的。ER随机图的平均度是。设是ER随机图的平均路径长度。直观上，对于ER随机图中随机选取的一个点，网络中大约有个其它的点与该点之间的距离等于或非常接近。因此，即。这种平均路径长度以网络规模的对数增长的特性是典型的小世界特征。因为lnN的值随N增长得很慢，这就使得规模很大的网络也可以具有很小的平均路径长度。ER随机图中两个节点之间不论是否具有共同的邻居节点，其连接概率均为p。因此，ER随机图的聚类系数是C =p =/N 1，这意味着大规模的ER随

44、机图没有聚类特性。而实际的复杂网络一般都具有明显的聚类特性。也就是说，实际的复杂网络的聚类系数要比相同规模的ER随机图的聚类系数高得多。对于固定的，当N充分大时，ER随机图的度分布可用Poission分布来表示： （211） 当N趋于无穷大时，上述近似等式是精确成立的，因此ER随机图也被称为“Poission 随机图”。尽管ER随机图作为实际复杂网络的模型存在明显的缺陷，在20世纪的后40年中，ER随机图理论一直是研究复杂网络的基本理论，其中的一些基本思想在目前的复杂网络理论研究中仍然很重要。2.3.3 小世界模型前面已经提到，规则的最近邻网络具有聚类特性，但并不是小世界网络。另一方面，ER随

45、机图虽然具有小的平均路径长度，但却没有聚类特性。这表明这两类网络模型都没有反映真实网络的一些重要特征，毕竟大部分真实网络既不是完全规则的，也不是完全随机的。在现实生活中，人们通常认识他们的邻居，但并不局限于此，他们往往也有远方的朋友。而万维网WWW上的页面也不是完全随机地连接在一起的。作为从规则网络向随机图的过渡，Watts和Strogtz提出了一个小世界模型，称为WS小世界模型，WS模型的生成方法如下：（1） 从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络它们形成一个环，其中每个节点都与它左右最靠近的各K/2个邻居节点相连，其中K为偶数。（2） 随机化：以概率p随机地重新连接网络中的每个边，通过调节p的值就可以实现从完全规则网络（p=0）到完全随机网络（p=1）的过渡。在WS小世界模型中的聚类系数C( p)和平均路径长度L( p)的特性，都可看作是重新连接概率p的函数。一个完全规则的环形格子(p=0)是高度聚类的() 但平均路径长度很大（）。 研究发现，当p较小时重新连线后得到的网络与原始的规则网络的局部属性几乎相同，因此网络的聚类系数变化也不大(C( p) C(0)，但其平均路径长度却下降得很快(L(p) L(0) 。与ER随机图的平均路径长