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1、第三节,实对称矩阵,对称矩阵,例如,方阵A为对称矩阵,矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等,定理2 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。,设A是对称矩阵,实对称矩阵的性质,定理1 实对称矩阵的特征值必为实数。,证明,定理3 设A是n阶对称矩阵， 是A的特征方程的 重根，则对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量。,实对称矩阵的对角化,例用正交变换把下列对称矩阵对角化,解（）求方阵的特征值,由,得特征值,（）求特征向量,对于,对于,解方程组,得一个基础解系,解方程组,得一个基础解系,（）将特征向量组正交化、单位化,令,正交化,单位化,（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵,令,则有,求正交
2、变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：,1、求矩阵A的特征值 2、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵,练习,设实对称矩阵,解,A的特征多项式为,A的特征值为,求正交矩阵P,使,为对角矩阵.,当,解方程组,即,得到两个线性无关的特征向量,对于,得到特征向量,取,是矩阵A的正交特征向量组,单 位 化,令,则有,定义,性质,(1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.,(2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0.,(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.,反对称矩阵,定义,性质,(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.,幂等矩阵,幂零矩阵,定义,性质,(1) 幂零矩阵的特征值为0.,() 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.,作 业,P107-P108 习题四 4.9 4.11(1) 4.12 4.17预习 第四章 第四节,
