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1、第三章(6) 直线与平面、平面与平面的相对位置,第三章(6),一、各种位置面的投影特性, 投影面垂直面,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,一、各种位置面的投影特性 投影面垂直面YWHVoXZ,一、各种位置面的投影特性, 投影面平行面,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,一、各种位置面的投影特性 投影面平行面AHVW 在, 一般位置平面,三个投影都类似。,一、各种位置面的投影特性,HWVOXZY 一般位置平面三个投影都类似。一、各种位置面,水
2、平面,铅垂面,与投影轴平行,与投影轴倾斜,abcabc水平面铅垂面cabcab与投影轴平行,根据定理三,根据定理二,1、面上作线的方法：,面上作线先找点,二、属于平面的点和线,abcbcamnnm解法一abcbcadd,首先面上取线、然后线上找点,d,利用平面的积聚性求解,在面内作辅助线求解,2、面上取点的方法：,二、属于平面的点和线,baccakbk 首先面上取线、然后线上找点,三、属于平面的投影面平行线,WHVoXZY在任意平面上都存在着无数平行于同一投影面的直线,第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置,王雷,第三章 王雷,31 平行问题,线、面相对位置包括平行、相交（垂直）。,平行问题
3、,直线与平面平行,平面与平面平行,一、 直线与平面平行,31 平行问题线、面相对位置包括平行、相,31 平行问题,一、 直线与平面平行,31 平行问题一、 直线与平,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1：过点M作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,d,d,nacbmabcmn例1：过点M作直线MN平行,正平线,例2：过M点作直线MN 平行于V 面和平面ABC。,唯一解,n,n,d,d,正平线例2：过M点作直线MN 平行于V 面和平面ABC。,c ,a ,b ,a,b,c,n ,m ,n,m,n,n,例3：过点M作一直线与 平面平行。,有无数解,若平面为特殊位置平面，则直线应与该平面的积聚
4、投影平行。,c a b abc n m nmnn例3：,直线与平面平行判定：,若一直线平行于平面内任一直线，则该直线与平面平行。,a,c,b,a,b,c,d,e,d,e,k,k,ck 不平行de,故直线与平面不平行。,例1：判断直线与平面是否平行？,acb a b c d ede kkck 不平,例2：判断直线与平面是否平行？,defdefmnmn例2：判断直线与平面是否平行？,(a) (b) (c) (d),b、c、d,例3：判断直线与平面是否平行？,(a) (b) (c),二、平面与平面平行, 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。, 若两投影面垂直面
5、相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,二、平面与平面平行 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平,s,s,例1： 已知平面ABC与面外一点S，试过点S 作一平面与平面ABC平行。,e,d,d,e,作图：过点S作直线SD/AB,SE/BC.即 sd/ab、 se/ac sd/ab, se/ac,相交直线SD和SE所确定的平面即为所求。,分析：过点作两相交直线对应平行于平面内两相交直线，则两平面平行。,abcabcss例1： 已知平面ABC与面外一点S,作图： dm/ab dn/ac 再作出其水平 投影dm和dn。,例2：判别平面ABC与四边形DEFG是否平行。,m,n,n,m,由于d
6、m/ab、 dn/ac所以ABC与四边形DEFG平行。,分析：在任一平面内作两相交直线，若在另一平面内也能作出与之对应平行的两相交直线，则两平面平行。,作图：例2：判别平面ABC与四边形DEFG是否平行。XOe,Pa、c,(a) (b) (c) (d),例3：判断下列平面与平面 P 是否平行。,Pa、c(a) (b) (c), 3-2 相交问题,直线与平面相交,要讨论的问题：,求交点。,判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。,交点是直线与平面的共有点。,直线与平面相交平面与平面相交 3-2 相交问题,要讨论的问题：,求交线。(共有点), 3-2 相交问题,平面与平面相交 交线为直线，是两平
7、面的共有线。,判别可见性,即判别两者之间的相互遮挡关系。,直线与平面相交平面与平面相交要讨论的问题： 求交线。(共有点,积聚性投影的出现，相当于共有元素的一 个投影已知，就使问题的性质转化为面上 找点或线上找点的问题。,可见性一般能直接看出，不必另行作图判断。,当直线或平面垂直投影面时，利用其投影积聚性来求解的方法。,一、投影积聚性法,积聚性投影的出现，相当于共有元素的一 可见性一般能直接看,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,作图,用线上取点法
8、, 平面为特殊位置,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,交点是分界点,直观法,1. 线、面相交,空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前； 点位于MN上，在后。 故k2为不可见。,作图,用面上取点法,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,1(2),利用重影点,交点是分界点, 直线为特殊位置空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n
9、 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。, 求交线, 判别可见性,作图, 一个平面为特殊位置, 两平面相交,交线是分界线,直观法,同面的异侧,异面的同侧可见性相反,aa bd(e)ebdh(f)cfch空间及,同面的异侧，异面的同侧, 可见性相反。,交线是可见与否分界线,abd(e)ebdh(f)cfchmnn,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,（2）两平面互交,投影分析,N点的水平投影n位于DEF 的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,cdefababcdef（2）两平面互交投影分析,c,
10、d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,两面互交，先按完全相交求交线，然后再取共有部分。,（2）两平面互交,n,n,cdefababcdefmkkmc,1.直线与平面平行直线与平面上任一直线平行 直线与平面平行2.平面与平面平行两平面上的两相交直线对应平行 二平面互相平行, 小 结 ,一平行问题,相交问题的核心求共有点,二相交问题,1利用投影积聚性2辅助平面法(下节课),1.直线与平面平行 小 结 一平行问题相交问, 小 结 ,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。, 小 结 解题思路：空间及投影分析 目的是找,作业,T3-36,37,38,43(1 2 3 4),作业T3-36,37,38,43(1 2 3 4),end,end,
