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1、公 开 课,圆柱？,最省？,函数最值,导数,23.1导数的概念,第23章 导数与微分,平均速度、瞬时速度,平均速度在变速直线运动中，运动物体的位移和所用时间的比，叫做这段时间内（或这段位移内）的平均速度。,平均速度运动物体经过某一时刻（或某一位置）的速度，叫瞬时速度 （或叫即时速度）,平均速度粗略的反映了物体运动时的快慢程度程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,既需要通过瞬时速度来反映。,研究瞬时速度必要性,t1,t2,已知物体运动方程s(t)，求t1到t2的平均速度,复习平均速度方法,O,复习已知物体运动方程s(t)，求t1到t2的平均速度,复习平均速度方
2、法,1.求时间增量t=t2-t1,O,t1,t2,复习已知物体运动方程s(t)，求t1到t2的平均速度,1.求时间增量t=t2-t1,2.求位移增量s=s(t2)-s(t1 ),复习平均速度方法,O,t1,t2,复习已知物体运动方程s(t)，求t1到t2的平均速度,1.求时间增量t=t2-t1,复习平均速度方法,O,s(t1),s(t2)是t2内运动距离,t1,t2,s是t1 到t2内运动距离,2.求位移增量s=s(t2)-s(t1 ),复习已知物体运动方程s(t)，求t1到t2的平均速度,1.求时间增量t=t2-t1,3.求平均速度,复习平均速度方法,O,s(t1),s(t2)是t2内运动距
3、离,t1,t2,s是t1 到t2内运动距离,2.求位移增量s=s(t2)-s(t1 ),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求(1)物体在1s内位移；(2)物体在2s内的位移；(3)物理在12s平均速度；(4)物体在1s时刻的速度。,提出问题,提出问题,(1)1s内的位移s(1)=12=1,已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求(1)物体在1s内位移；(2)物体在2s内的位移；(3)物理在12s平均速度；(4)物体在1s时刻的速度。,提出问题,(1) 1s内的位移s(1)=12=1,(2) 2s内的位移s(2)=22=4,已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)
4、t2,求(1)物体在1s内位移；(2)物体在2s内的位移；(3)物理在12s平均速度；(4)物体在1s时刻的速度。,提出问题,(3) 12s的平均速度,(1) 1s内的位移s(1)=12=1,(1) 2s内的位移s(2)=22=4,已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求(1)物体在1s内位移；(2)物体在2s内的位移；(3)物理在12s平均速度；(4)物体在1s时刻的速度。,提出问题,(3) 12s的平均速度,(1) 1s内的位移s(1)=12=1,(1) 2s内的位移s(2)=22=4,如何求物体在1s的瞬时速度？,已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求(1)物体
5、在1s内位移；(2)物体在2s内的位移；(3)物理在12s平均速度；(4)物体在1s时刻的速度。,伽利略的困惑,已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时时刻的瞬时速度。,我只知道计算在一个时间段里的平均速度，却 不 知 道 如 何 计 算 在 某 一 时 刻的速度，即瞬时速度,伽利略的困惑,我只知道计算在一个时间段里的平均速度，却 不 知 道 如 何 计 算 在 某 一 时 刻的速度，即瞬时速度,我来试试,已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时时刻的瞬时速度。,操作感受牛顿的方法,物体在时间1 1.1的平均速度；物体在时间1 1.01的平均速度
6、；物体在时间1 1.001的平均速度；,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时时刻的瞬时速度。,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时刻的瞬时速度。,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,0.001,0.01,0.1,s(1.001)-s(1),s(1.01)-s(1),s(1.1)-s(1),2.1,2.01,2.001,0.21,0.0
7、201,0.002001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时刻的瞬时速度。,0.001,0.01,0.1,0.21,2.1,0.0201,2.01,0.002001,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时刻的瞬时速度。,已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时刻的瞬时速度。,0.001,0.01,0.1,0.21,2.1,0.0201,2.01,0.
8、002001,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,0.00020001,2.0001,瞬时速度,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),第1s的瞬时速度为2,0.001,0.01,0.1,0.21,2.1,0.0201,2.01,0.002001,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,0.00020001,2.0001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时刻的瞬时速度。,第1s的瞬时速度为2,0.001,0
9、.01,0.1,0.21,2.1,0.0201,2.01,0.002001,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,0.00020001,2.0001,质变,量变,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时刻的瞬时速度。,恩格斯：“这是人类精神上的最高胜利”。,极限思想,0.001,0.01,0.1,0.21,2.1,0.0201,2.01,0.002001,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,0.00020001,2
10、.0001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),已知物体作变速直线运动,其运动方程为s(t)t2,求物体在1s时时刻的瞬时速度。,第1s的瞬时速度为2,形式化瞬时速度,0.001,0.01,0.1,0.21,2.1,0.0201,2.01,0.002001,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,0.00020001,2.0001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),第1s的瞬时速度为2,形式化瞬时速度,0.001,0.01,0.1,0.21,2.1,0.0201,2.01,0.002001,2.001,区间t1,t2,11
11、.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,0.00020001,2.0001,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),第1s的瞬时速度为2,0.001,0.01,0.1,2.1,2.01,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,2.0001,s(1.0001)-s(1),s(1.001)-s(1),s(1.01)-s(1),s(1.1)-s(1),形式化瞬时速度,t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),第1s的瞬时速度为2,形式化瞬时速度,0.001,0.01,0.1,2.1,2.01,2.001,区间t1,t2
12、,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,2.0001,s(1+0.0001)-s(1),s(1+0.001)-s(1),s(1+0.01)-s(1),s(1+0.1)-s(1),t=t2-t1,s=s(t2）-s(t1),第1s的瞬时速度为2,形式化瞬时速度,0.001,0.01,0.1,2.1,2.01,2.001,区间t1,t2,11.1,11.01,11.001,11.0001,0.0001,2.0001,s(1+0.0001)-s(1),s(1+0.001)-s(1),s(1+0.01)-s(1),s(1+0.1)-s(1),t=t2-t1,s=s(t2）-
13、s(t1),已知物体运动方程s(t)，则其在第1s的瞬时速度：,已知物体运动方程s(t)，则其在第2s的瞬时速度：,形式化瞬时速度,已知物体运动方程s(t)，则其在第1s的瞬时速度：,已知物体运动方程s(t)，则其在第2s的瞬时速度：,已知物体运动方程s(t)，则其在第t0s的瞬时速度：,形式化瞬时速度,已知物体运动方程s(t)，则其在第1s的瞬时速度：,已知物体运动方程s(t)，则其在第2s的瞬时速度：,已知物体运动方程s(t)，则其在第t0s的瞬时速度：,形式化瞬时速度,已知物体运动方程s(t)，则下列是第？s的瞬时速度：,形式化瞬时速度,已知物体运动方程s(t)，则下列是第5 s的瞬时速
14、度：,形式化瞬时速度,介绍瞬时速度历史,已知物体运动方程s(t)，则物体在第t0s的瞬时速度：,流数术,牛顿的“流数术”,时间变化量t叫流(Fluent),把t0这个无穷小叫瞬(),叫流数(Fluxion),运用这样工具，严格证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律在内的一系列结果，今天这样方法发展为数学一个重要分支微积分，其在社会各个领域有及其广泛应用。,抽象导数概念,已知物体运动方程s(t)，则物体在第t0s的瞬时速度：,运动方程s(t),时间增量t,某时刻t0,某时刻t0的瞬时速度,路程增量s,已知物体运动方程s(t)，则物体在第t0s的瞬时速度：,运动方程s(t),函数y=f(x
15、),时间增量t,自变量增量x,某时刻t0,给定自变量值x0,某时刻t0的瞬时速度,函数在给定值x0处的导数,路程增量s,函数值增量y,抽象导数概念,已知物体运动方程s(t)，则物体在第t0s的瞬时速度：,运动方程s(t),函数y=f(x),时间增量t,自变量增量x,某时刻t0,给定自变量值x0,某时刻t0的瞬时速度,函数在给定值x0处的导数,路程增量s,函数值增量y,抽象导数概念,定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处有增量x时，相应的函数y有增量y=f(x0+x)-f(x0).如果 存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0
16、处的导数，记作: 即,函数在点x0处导数,函数在点x0处导数,定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处有增量x时，相应的函数y有增量y=f(x0+x)-f(x0).如果 存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作: 即,函数在点x0处导数,定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处有增量x时，相应的函数y有增量y=f(x0+x)-f(x0).如果 存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作: 即,函数在点x0处导数,定义：设函数y=f(x
17、)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处有增量x时，相应的函数y有增量y=f(x0+x)-f(x0).如果 存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作: 即,如果 不存在，,则称函数f(x)在点x0处不可导,函数在点x0处导数理解,具体化函数在点x0处导数,具体化函数在点x0处导数,具体化函数在点x0处导数,具体化函数在点x0处导数,具体化函数在点x0处导数,具体化函数在点x0处导数,具体化函数在点x0处导数,具体化函数在点x0处导数,导数概念理解,步骤1：函数值增量 y=f(x0+x)-f(x0),步骤2：函数值增量y与自变量增量x比
18、值,步骤3：求极限，得导数,导数求法总结,函数y=f(x)在点 x0处可导,则其在x0处导数求法,导数概念理解,导数概念理解,抽象导函数概念,x0,1,2,3,4,2,f(x0),4,6,8,新函数,导函数f(x),导函数概念,定义：如果函数yf(x)在区间(a,b)内每一点都可导,则称这个函数yf(x)在区间(a,b)内可导.这时对于(a,b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做y=f(x)在区间(a,b)内的导函数(简称导数),记作 ,即:,导函数概念,定义：如果函数yf(x)在区间(a,b)内每一点都可导,则称这个函数y
19、f(x)在区间(a,b)内可导.这时对于(a,b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做y=f(x)在区间(a,b)内的导函数(简称导数),记作 ,即:,导数概念理解,x0,1,2,3,4,2,f(x0),4,6,8,导函数f(x)=2x,3.,1.,生活背景,导数必要性,2.,运动,两个速度,研究瞬时速度必要性,回顾小结,莱布尼茨(德，1646-1716年),1661年进入莱比锡大学 外交官、科学家 1672-1676年留居巴黎 博学多才罕有所比:数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学
20、、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、神学、历史、外交等。,莱布尼兹的微积分,导数几何意义,y=f(x),O,x,y,y=f(x),M,x,y,O,x,y,如图,曲线是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为曲线的割线,导数几何意义,y=f(x),O,x,y,y=f(x),M,x,y,O,x,y,如图,曲线是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为曲线的割线,思而引新,?,P,再来一次,如图,曲线是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为曲线的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,思而引新,x0时,是切线的斜率,
