工程弹塑性力学课件.pptx

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1、第0章 平面问题的有限单元法,0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示0.2 有限单元法的概念0.3 位移模式与解答的收敛性0.4 单元刚度矩阵0.5 等效结点荷载0.6 整体刚度矩阵0.7 单元划分应注意的问题,第0章 平面问题的有限单元法0.1 概述、基本量及基本方,0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示,弹性力学问题的求解方法： 解析方法：函数解、级数解少数简单问题 数值方法：有限单元法的发展概况 1956年提出 1960-70年代理论基础研究 1960至今：实际工程应用、复杂问题理论研究 通用有限元软件：SAP、ADINA、NASTRAN ANSYS、ABAQUS等,0.1 概述、基

2、本量及基本方程的矩阵表示弹性力学问题的求解,基本量及基本方程的矩阵表示 1. 基本量： 2. 基本方程：,基本量及基本方程的矩阵表示,3. 虚功方程： 外力虚功=内力虚功 在集中力F作用下，虚功方程简化为 F=U1 V1 U2 V2 Un VnT 为结点力向量； d=u1 v1 u2 v2 un vnT 为结点位移向量。,3. 虚功方程： 外力虚功=内力虚功,0.2 有限单元法的概念,1. 离散化 划分为有限数目、有限大小的单元。 平面问题的常用单元：,三结点三角形单元,六结点三角形单元,矩形单元,任意四边形单元,8结点曲边四边形单元,0.2 有限单元法的概念1. 离散化rg连续体三结点三角,

3、2. 单元分析 建立： Fe=kde k：单元刚度矩阵 单元结点力向量Fe=Ui Vi Uj Vj Um VmT 单元结点位移向量de=ui vi uj vj um vmT体力、面力 等效结点荷载3. 整体分析 建立： F=Kd， K：整体刚度矩阵 由各结点平衡F=R，得有限元方程： Kd= R,静力等效,2. 单元分析静力等效yui , (Ui)ixvi , (V,0.3 位移模式与解答的收敛性,1. 什么是位移模式（位移函数） 利用单元的结点位移将整个单元的位移分量表 示为坐标的函数。 2. 三结点三角形单元的位移模式 设：u=a1+a2 x+a3 y v=a4+a5 x+a6 y系数a1

4、a6由结点位移 ui , vi , uj , vj , um , vm确定。,0.3 位移模式与解答的收敛性 1. 什么是位移模式（位,将位移模式写成结点位移的显式： u= Niui+ Njuj +Nmum v= Nivi+ Njvj +NmvmNi、Nj、Nm：形函数 (插值函数),将位移模式写成结点位移的显式：yxPijmNi(x, y)i,形函数的性质 (1) (Ni )i=1，(Ni )j=0，(Ni )m=0 (2) 单元内任一点：Ni+Nj+Nm=13. 位移模式的矩阵表示,形函数的性质Ni(x, y)ijm1,4. 位移模式应满足以下条件，才能保证有限元解答收敛： (1) 位移模

5、式必须能反映单元的刚体位移 (2) 位移模式必须能反映单元的常量应变 (3) 位移模式应尽可能反映位移的连续性三结点三角形单元的完备性和连续性：(1) 反映刚体位移：(2) 反映常量应变：ex=a2， ey=a6，gxy=a2+a3,4. 位移模式应满足以下条件，才能保证有限元解答收敛：必要条,三结点三角形单元的完备性和连续性：(3) 位移连续性： 单元内：单值连续； 相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？ij边的方程：y=ax+b，则 uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两点的结点位

6、移唯一确定。,三结点三角形单元的完备性和连续性：yx(2)ijmp(1),0.4 单元刚度矩阵,建立： Fe=kde单元刚度矩阵：结点位移 位移 应变 应力 结点力 de f e s Fe,0.4 单元刚度矩阵 建立： Fe=kde,B：应变矩阵； S：应力矩阵； 三结点三角形单元中，B、 S的元素均为常数，故这种单元又称常应变单元，或常应力单元。,B：应变矩阵； S：应力矩阵；yui , (Ui)i,k元素的物理意义 kpq：第q个结点位移分量为单位位移（其它结点位移=0），所引起的第p个结点力分量。 如 k25：k的性质： (1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性； (3) 每行

7、（列）元素之和为零。 (4) k取决于单元的形状、方位和弹性常数，与所在位置（即平移或np 转动）无关。,k元素的物理意义yui , (Ui)ixvi , (Vi,0.5 等效结点荷载,非结点荷载需等效移置 到结点上。移置原则：静力等效原则 原荷载与移置后的结点荷载在任意虚位移上所作虚功相等。集中荷载P的移置：Re=NTP分布体力p的移置：分布面力p的移置：,0.5 等效结点荷载非结点荷载需等效移置yXiixYiXj,0.6 整体刚度矩阵,整体刚度矩阵可由结构的 各单元刚度矩阵集成。1. 划分单元：4个单元，6个结点 编号：单元(1)(4)；结点162. 局部编码与整体编码的关系：,0.6 整

8、体刚度矩阵整体刚度矩阵可由结构的yx1kN/m1,3. 计算单刚4. 对号入座，形成总刚,3. 计算单刚,整体刚度元素Kpq的物理意义 结构第q个结点位移为单位位移（其它结点位移=0）时，所引起的第p个结点力。K的性质： (1) 对称性 (Kpq= Kqp), 主对角元素必为正； (2) 稀疏性，且一般为带状分布； 平面问题最大半带宽= 2(单元结点号之差最大值+1) (3) 引入约束条件后为正定矩阵。,整体刚度元素Kpq的物理意义,利用对称稀疏性， K可用半带宽存储。,0,利用对称稀疏性，1234567891011120,答：,例：试求图示结构总刚K中 的22子块K41、 K42、 K44、

9、K45、 K46。 已知两种单元的刚度矩阵均为：,答：例：试求图示结构总刚K中 的22子块K41,(1)(2)i j mijm123456789(1)(2)(,0.7 单元划分应注意的问题,1. 单元大小及疏密根据精度、计算能力综合. 主要部位、应力（位移）变化大的部位划细 应力误差与单元尺寸成正比 位移误差与(单元尺寸)2成正比2. 单元的三边应尽量接近；应力、位移误差反比于最小内角的正弦；3. 结构尺寸或材料突变处划作单元边界，附近单元划小；4. 荷载突变或集中荷载处布置结点，附近单元划小。,0.7 单元划分应注意的问题1. 单元大小及疏密根据精,第1章 弹塑性力学基础,1.1 应力张量1

10、.2 偏量应力张量1.3 应变张量1.4 应变速率张量1.5 应力、应变 Lode参数,第1章 弹塑性力学基础1.1 应力张量,1. 一点的应力状态一点的应力状态可由过该点 的微小正平行六面体上 的应力分量确定。,1.1 应力张量,1. 一点的应力状态1.1 应力张量yxzOtyxtyzs,应力张量：,下标1，2，3表示坐标 x1, x2, x3（即x, y, z）方向.2. 一点斜面上的应力,i ：自由下标；j（或k）为求和下标（同一项中重复出现）。,应力张量：下标1，2，3表示坐标 x1, x2, x3,正应力sN和剪应力tN ：,张量的求和约定 ：,正应力sN和剪应力tN ：张量的求和约

11、定 ：,3. 主应力及其不变量,主应力、主平面、主方向 以l表示主应力， l1, l2, l3表示主方向的方向余弦，则： SN1=ll1, SN2=ll2, SN3=ll3,3. 主应力及其不变量主应力、主平面、主方向,dij符号： i=j时，dij=1； ij时，dij=0。即,方向余弦l1, l2, l3满足 l12+l22+l32=1， 即lili=1要使l1, l2, l3不全为零 (方程组有非零解)，则,dij符号： i=j时，dij=1； ij时，dij=0,展开得l的三次代数方程：,展开得l的三次代数方程：,解方程可得三个实根，即为三个主应力s1, s2, s3J1, J2, J

12、3称为dij 的第一、第二、第三不变量，不随坐标系的选取而变。 若用主应力表示，则,主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为,解方程可得三个实根，即为三个主应力s1, s2, s3主剪应,主剪应力面（t1 ）,主剪应力面（t1 ）213t1213t1,4. 八面体上的应力,沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。八面体的法线方向余弦：八面体上的正应力与剪应力：,4. 八面体上的应力沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八,八面体（每个坐标象限1个面）各面上应力在坐标轴上投影的数值相等：,八面体（每个坐标象限1个面）s1s2s3,1.2 偏量应力张量,应力张量的分解

13、 平均正应力s =(s11+s22+s33)/3= J1/3，不产生塑性变形 应力分量=平均应力+偏量应力 应力张量sij= sm+Sij,1.2 偏量应力张量应力张量的分解,Sij 与sij类似，也是二阶应力张量，也具有主平面、主方向和主值。,Sij 与sij类似，也是二阶应力张量，也具有主平面、主方,2. 主偏量应力及其不变量,Sij 的主轴方向与sij 的主方向一致，主值为 S1= s1-s ， S2= s2-s ， S3= s3-s满足三次代数方程式：,2. 主偏量应力及其不变量Sij 的主轴方向与sij 的主,利用J1=0，不变量J2还可写为,利用J1=0，不变量J2还可写为,3.

14、等效应力,等效应力（应力强度）,3. 等效应力等效应力（应力强度）,等效剪应力（剪应力强度）,八面体上的剪应力t8与J2之间的关系：,等效剪应力（剪应力强度）八面体上的剪应力t8与J2之间的关,1.3 应变张量,一点的应变状态工程应变分量（几何方程）：,1.3 应变张量一点的应变状态,2. 主应变、应变张量不变量 eij: 二阶对称张量。主应变e1, e2, e3 满足： ei3 -I1ei2 -I2ei -I3 =0 I1、I2 、I3 为应变张量不变量。,2. 主应变、应变张量不变量,3. 主偏量应变及其不变量,eij 的主轴方向与eij 的主方向一致，主值为 e1= e1-e ， e2=

15、 e2-e ， e3= e3-e满足三次代数方程式：,3. 主偏量应变及其不变量eij 的主轴方向与eij 的主,等效应变（或称应变强度）：,等效应变（或称应变强度）：,等效剪应变（或称剪应变强度）：,等效剪应变（或称剪应变强度）：,例题：已知结构内某点的应力张量如下式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。,解：,例题：已知结构内某点的应力张量如下式，试求该点的球形应力张量,工程弹塑性力学,关于主应力的方程为：,关于主应力的方程为：,1.4 应变速率张量,应变速率张量 变形过程中，物体各质点均处于运动状态。经dt时间，质点产生的位移及应变为：,1.4 应变速率张量应变速

16、率张量,1.5 应力、应变Lode参数,1. 应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）,1.5 应力、应变Lode参数1. 应力莫尔圆（表示一点,若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态（各向等拉或各向等压），则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小（直径）则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大（这时，应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变），则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形

17、式保持不变。,若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态（各向等拉或各向等压）,2. 应力Lode参数 （1）球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数Lode参数：,2. 应力Lode参数,（2）应力Lode参数的物理意义：与平均应力无关；其值确定了应力圆的三个直径之比；如果两个应力状态的Lode参数相等，就说明两个应力状态对应的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同；所以，Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。,（2）应力Lode参数的物理意义：,（3）简单应力状态的Lode参数,单向压缩(s1=s2=0,

18、 s30, s2=s3=0) ms=1 ms=-1,（3）简单应力状态的Lode参数Q1OQ2Q3stQ3OQ1,纯剪(s10, s2=0, s3=-s1): ms=0,纯剪(s10, s2=0, s3=-s1): ms=0Q,3. 应变Lode参数 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：如果两种应变状态的me 相等，则表明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式相同。,3. 应变Lode参数,第5章 简单应力状态的弹塑性问题,5.1 基本实验资料5.2 应力应变的简化模型5.3 应变的表示法5.4 理想弹塑性材料的简单桁架5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架5.

19、6 加载路径对桁架内应力和应变的影响,第5章 简单应力状态的弹塑性问题5.1 基本实验资料,5.1 基本实验资料,1. 拉压应力-应变曲线（1）单向拉伸曲线,（a）有明显屈服极限,ss：屈服应力,5.1 基本实验资料1. 拉压应力-应变曲线（a）有明显,（b）无明显屈服极限Os0.2Dseep ee CAB0.,（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）应变10%时，基本一致；应变10%时，较大差异。,一般金属的拉伸与压缩曲线比较,（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）O拉se压一般金属,（3）反向加载卸载后反向加载，ss ssBauschinger效应,（3）反向加载BAssssssse

20、,(4) 断裂特性伸长率：截面收缩率： dk 5%：塑性材料；低碳钢dk=20% 30% dk 5%：脆性材料。,(4) 断裂特性,2. 静水压力试验 (1) 体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式)：,10000大气压下，钢em= -2.2%；镍em= -1.8%。 对一般金属材料，静水压力引起的体积改变是弹性的，且体积应变很小，一般可忽略。(2) 静水压力对屈服极限的影响,2. 静水压力试验10000大气压下，钢em= -2.2%,(2) 静水压力对屈服极限的影响bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。可见，静

21、水压力对屈服极限的影响常可忽略。,(2) 静水压力对屈服极限的影响,5.2 应力-应变简化模型,一般应力-应变曲线： s =Ee ， e es (屈服后)应力-应变简化模型： （简单加载模型） 1. 理想弹塑性模型,5.2 应力-应变简化模型一般应力-应变曲线：Osssee,1. 理想弹塑性模型,sign为符号函数：,1. 理想弹塑性模型sign为符号函数：,用应变表示的加载准则：,用应变表示的加载准则：,2. 线性强化弹塑性模型,Osssees EE2. 线性强化弹塑性模型,2. 线性强化弹塑性模型,2. 线性强化弹塑性模型,3. 一般加载规律,w(e)=AC/AB弹性曲线与实际曲线的相对差

22、值,3. 一般加载规律Osssee p BCAe O1wee,对线性强化材料，采用一般加载曲线，则有,4. 幂次强化模型,5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型),对线性强化材料，采用一般加载曲线，则有4. 幂次强化模型5.,6. 刚塑性模型（忽略弹性变形）,(a) 理想刚塑性模型 (b) 线性强化刚塑性模型,6. 刚塑性模型（忽略弹性变形）(a) 理想刚塑性模型,反向加载应力-应变简化模型 1. 等向强化模型 拉伸和压缩时的屈服极限相等,2. 随动强化模型 拉伸和压缩的弹性范围不变,等向强化：OABB随动强化：OABB,反向加载应力-应变简化模型2. 随动强化模型等向强化：OA

23、B,例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0 ss 0，材料符合线性随动强化规律，强化模量E=E/100，试求出对应的应变路径。,解：,例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0 ,解(续)：,应变路径为：051ss/E 49.5ss/E ss/E 0。,解(续)：BAs1.5ss-sssseCDEO-0.5ssF,应力路径：01.5ss 0 1.2ss 0应变路径：051es 49.5es 21es 19.8es 。,BAs1.5ss-1.2sssseCDEO-0.5ssFes,5.3 工程应变和自然应变,工程应变： 自然应变（适合大变形问题） 微段l0经历n个变形阶段

24、： l0, l1, l2, , ln，则,5.3 工程应变和自然应变工程应变：,工程应变与自然应变的关系,(1) 小变形时，e E；变形越大， e误差越大。自然应变为可加应变。 例如： l0 1.5l0 1.8l0 2l0,工程应变与自然应变的关系(1) 小变形时，e E；变形越,(3) 自然应变为可比应变。,(3) 自然应变为可比应变。,工程应变与自然应变的比较,工程应变与自然应变的比较1.20.40.81.6-1.6-0,5.4 理想弹塑性材料的简单桁架,三杆桁架受竖向力P作用，杆件截面均为A，试作弹塑性分析。平衡方程： N1=N3 N1cosq +N2+N3cosq=P或由应力表示： 2

25、s1cosq +s2=P/A协调方程： d=e2l=e1l1/cosq =e1l /cos2q即：e1= e2cos2q,5.4 理想弹塑性材料的简单桁架三杆桁架受竖向力P作用，杆,1. 弹性阶段（ P Pe）,应力-应变关系：s1=Ee1，s2=Ee2 联立平衡方程和协调方程，可得：,当s2=ss时，结构达到弹性极限，相应的荷载为弹性极限荷载Pe： Pe= ssA(1+2cos3q)， A点位移: de=e2l=ssl/E应力用Pe表示为:,1. 弹性阶段（ P Pe）应力-应变关系：s1=Ee1,2. 弹塑性阶段（ P Pe）,约束塑性变形阶段：杆2已屈服，杆1、3仍为弹性, 由s2=ss

26、 及平衡方程可得,塑性流动阶段：当s1=ss时，三杆均进入屈服，结构达到塑性极限，相应的荷载为塑性极限荷载Ps： Ps= ssA(1+2cosq) A点位移:,2. 弹塑性阶段（ P Pe）约束塑性变形阶段：杆2已屈,弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：,荷载-挠度曲线：,弹性与塑性极限荷载（极限位移）的关系：荷载-挠度曲线：理想弹,3. 卸载,卸载符合弹性规律。设荷载变化为DP ，则,3. 卸载卸载符合弹性规律。设荷载变化为DP ，则,若加载至P*（ Pe P* Ps ）再卸载至零，即DP=P*，则残余应力和应变为,若加载至P*（ Pe P* Ps ）再卸载至零，即DP=,4. 重复加载,

27、从P*卸载至零的过程为弹性变形过程，若从零再重复加载到P*（ P* Pe），则此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大至了。这种使其弹性范围扩大的有利的残余应力状态称为安定状态。,4. 重复加载从P*卸载至零的过程为弹性变形过程，若从零再,5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架,平衡方程与协调方程不变。 物理方程：当|s|ss时，s =ss+E(|e|-es) 1. 弹性阶段 (P Pe)：与理想弹塑性相同 2. 弹塑性阶段(P Pe)： s2=ss+E(e2-es) 联立平衡和协调方程可求得各杆应力和变形，式(5.43) 3. 杆1、3也进入屈服，相应的塑性极限荷载Ps Ps=ssA(1+

28、2cosq+Etan2q/E),5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架平衡方程与协调方程不变,与理想弹塑性材料的比较： 荷载-挠度曲线见5.4节。 4. 卸载：卸载仍按弹性规律变化。 卸载后杆2转为压应力，是否会进入压缩塑性状态呢？ 若为随动强化，则要求Ds2 2ss，则得卸载后不发生反向屈服的条件为： P 2Pe,与理想弹塑性材料的比较：,例题：图示等截面杆，截面积为A，在x=a (ab)处作用集中力P，试求弹性极限荷载Pe和塑性极限荷载Ps。若加载至Pe P*Ps时卸载，试求残余应力和残余应变。材料分别为:(1)理想弹塑性；(2)线性强化弹塑性。,解：平衡方程：N1+N2=P或 s1- s2

29、=P/A协调方程：e1a+e2b=0 注：s1= N1 /A， s2= N2 /A,例题：图示等截面杆，截面积为A，在x=a (ab)处作用集,(1)理想弹塑性弹性阶段：e1=s1/E， e2=s2/E。 代入协调方程，可得：,(1)理想弹塑性,弹塑性阶段：由s1=ss，并利用平衡方程得：,卸载：加载至Pe P*Ps时卸载，即DP=P*。因卸载符合弹性规律，故,弹塑性阶段：由s1=ss，并利用平衡方程得：卸载：加载至Pe,残余应力和应变为,残余应力和应变为,5.6 加载路径对桁架应力应变的影响,加载方案1：加载方案2：,5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案1：,第6章 屈服条件和加载条

30、件,6.1 基本假设6.2 屈服条件概念6.3 屈服曲面6.4 Tresca和Mises屈服条件6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较6.6 屈服条件的实验验证6.7 加载条件和加载曲面6.8 Mohr-Coulomb和Drucker-Prager屈服条件,第6章 屈服条件和加载条件6.1 基本假设,6.1 基本假定,对一般应力状态的塑性变形理论，作以下假定：忽略时间因素（蠕变、应力松弛等）的影响；材料变形前后均保持连续；静水压力部分只产生弹性的体积变化；单向拉伸和压缩的应力-应变特性一致；材料特性符合Drucker公设，为稳定材料；变形规律符合均匀应力应变的实验结果。,6.1 基本假

31、定对一般应力状态的塑性变形理论，作以下假定：,6.2 屈服条件的概念,1. 单向拉压应力状态的屈服条件 s =ss，或：屈服函数 F(s )=s -ss =02. 复杂应力状态的屈服条件 F(sx,sy,sz,txy,tyz,txz)=0 或 F(sij)=0应力空间和应变空间：分别以应力分量和应变分量为坐标轴而组成的空间，空间内的任一点代表一个应力状态或应变状态；屈服面：应力空间内由各屈服应力点连接而成的，区分弹性和塑性状态的分界面 F(sij)0：弹性状态； F(sij)=0：开始进入塑性状态。,6.2 屈服条件的概念1. 单向拉压应力状态的屈服条件,对各向同性材料，屈服条件应与方向无关，

32、故屈服条件可用三个主应力或应力不变量表示： F(s1,s2,s3)=0 或 F(J1, J2, J3)=0 因静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏量应力或其不变量表示： F(S1, S2, S3)=0 或 F(J1, J2, J3)=0 或 F(J2, J3)=0 （因J1=0）,对各向同性材料，屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用三个主应,6.3 屈服曲面的概念,1. 主应力空间：以主应力s1,s2,s3为坐标轴而构成的应力空间任一应力状态可用矢量OP表示： OP=s1i+s2j+s3k分解：OP=S1i+S2j+S3k +(si+sj+sk)=OQ+ON L直线：在主应

33、力空间内，过原点且和三个坐标轴夹角相等的直线。 L直线方程： s1=s2=s3 p平面：主应力空间内过原点且和L直线垂直的平面。 p平面的方程： s1+s2+s3=0,6.3 屈服曲面的概念1. 主应力空间：以主应力s1,s2,主应力空间、 L直线、 p平面,主应力空间、 L直线、 p平面OQNPp平面L直线s1s2s,2. 屈服曲面,屈服曲面 F(s1,s2,s3)=0：为一平行L直线的柱面；屈服曲线 f(J2, J3)=0 ：屈服曲面与p平面的交线 对应无静水压力部分的情况。,屈服曲面,屈服曲线,2. 屈服曲面屈服曲面 F(s1,s2,s3)=0：为一平,3. 应力空间中矢量OP在p平面上

34、的投影,坐标轴s1,s2,s3在p平面上的投影O1、O2、 O3互成120；应力空间中矢量OP在p平面上的x，y坐标值、极坐标值为：,3. 应力空间中矢量OP在p平面上的投影 坐标,几种典型应力状态在p平面上的极坐标值,O,y,x,2,1,3,rs,30,单拉,纯剪,单压,几种典型应力状态在p平面上的极坐标值Oyx213rs3,4. 屈服曲线的特性,(1) 屈服曲线为一封闭曲线，原点在曲线内部；(2) 对各向同性材料，若(S1, S2, S3)或(s1,s2,s3)屈服，则各应力分量互换也会屈服，故屈服曲线关于s1,s2,s3轴均对称；对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，若应力状态(S1, S2,

35、 S3)屈服，则(-S1,-S2, -S3)也会屈服，故屈服曲线为关于垂直于s1,s2,s3轴的直线也对称。,4. 屈服曲线的特性(1) 屈服曲线为一封闭曲线，原点在,平面上的屈服曲线,纯剪,纯拉,平面上的屈服曲线纯剪纯拉,6.4 Tresca和Mises屈服条件,1. Tresca屈服条件认为最大剪应力达到极限值时开始屈服，即 tmax=(s1-s3)/2=k (1) p平面上的屈服曲线 在p平面上，上式可表示为：,在-30qs 30（即s1s2 s3) 范围内为一平行y轴的直线，对称拓展后为一正六角形。,6.4 Tresca和Mises屈服条件1. Tresca,平面上的屈服曲线 (Tre

36、sca屈服条件),x,y,平面上的屈服曲线 (Tresca屈服条件)xy,Tresca屈服面：一正六边形柱面,（2）主应力空间内的屈服条件：,Tresca屈服面：一正六边形柱面（2）主应力空间内的屈服条,平面应力状态的Tresca屈服线： 六边形,（3）平面应力状态的屈服条件： （ s3=0）,平面应力状态的Tresca屈服线：（3）平面应力状态的屈服条,（4）常数k的确定,由简单拉伸实验确定： 因s1=ss，s2=s3=0， 故k=ss /2。由纯剪实验确定： 因s1=ts，s2=0，s3=-ts， 故k=ts。若Tresca屈服条件成立，则：ss=2ts， 对多数材料只能近似成立。（5）

37、Tresca屈服条件的完整表达式 式(6.24)、(6.25),（4）常数k的确定由简单拉伸实验确定：,Mises指出， Tresca六边形的六个顶点由实验得到，但顶点间的直线是假设的。用连接p平面上的Tresca六边形的六个顶点的圆来代替原来的六边形，即,2. Mises屈服条件,Mises指出， Tresca六边形的六个顶点由实验得到，但,Mises屈服面为一圆柱面；p平面上的屈服曲线为一圆,（2）主应力空间内的屈服面,平面,Mises屈服面为一圆柱面；（2）主应力空间内的屈服面p平面,（3）常数C的确定,由简单拉伸实验确定： 因s1=ss，s2=s3=0， 故 C=J2=ss2/3。由纯

38、剪实验确定： 因s1=ts，s2=0，s3=- ts， 故C=J2=ts2 。若Mises屈服条件成立，则：,（3）常数C的确定由简单拉伸实验确定：,若规定简单拉伸时两种屈服条件重合，则Tresca六边形内接于Mises圆，且,3. 两种屈服条件的关系,若规定纯剪时两种屈服条件重合，则Tresca六边形外接于Mises圆，且,若规定简单拉伸时两种屈服条件重合，则Tresca六边形内接于,Tresca和Mises屈服线,Tresc,平面应力问题的Tresca和Mises屈服线 （主应力平面上）,平面应力问题的Tresca和Mis,6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较,1. 简单应力状态

39、（设简单拉伸时两种条件重合） (1) 简单拉伸：,(2) 纯剪：,6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较1. 简单应,Tresca和Mises屈服线,Tresca和Mises屈服线TrescaMises圆hR纯,6.6 屈服条件的实验验证,1. 薄壁圆管受拉力P和内压力p作用 设圆筒壁厚为t, 平均半径为r。 tr,6.6 屈服条件的实验验证PPpp1. 薄壁圆管受拉力P和,实验曲线如图6.15,实验曲线如图6.15PPpp,2. 薄壁圆筒受拉力P和扭矩M的作用,设圆筒壁厚为t,平均半径为r。 tr,2. 薄壁圆筒受拉力P和扭矩M的作用设圆筒壁厚为t,PPMM,实验曲线及与两种屈服曲线

40、的比较如图6.17。,实验曲线及与两种屈服曲线的比较如图6.17。,例题：薄壁圆筒受拉力P和扭矩M的作用，写出该情况的Tresca和Mises屈服条件。若已知r=50mm，t=3mm，ss=400MPa，P=150kN， M=9kNm，试分别用两种屈服条件判断圆筒是否进入屈服状态。,解: (1) Tresca和Mises屈服条件 (2) 判断是否进入屈服状态先求应力：,例题：薄壁圆筒受拉力P和扭矩M的作用，写出该情况的Tresc,用Tresca屈服条件判断：,用Mises屈服条件判断：,用Tresca屈服条件判断：用Mises屈服条件判断：,6.7 加载条件和加载曲面,材料经过初次屈服后，后继

41、的屈服条件将与初始条件不同，这种发生变化了的后继屈服条件称为加载条件。应力空间内对应的曲面称为加载曲面。加载条件的简化模型： 1. 等向强化模型 2. 随动强化模型,6.7 加载条件和加载曲面材料经过初次屈服后，后继的屈服条件,第7章 塑性本构关系,7.1 弹性本构关系7.2 塑性全量理论7.3 Drucker公设7.4 加载和卸载准则7.5 塑性增量理论7.6 简单加载定律,第7章 塑性本构关系7.1 弹性本构关系,塑性本构关系：从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。19世纪70年代开始，科学家提出多种塑性变形理论（假设），至今有 1. 全量理论 2. 增量理论,塑性本构关系：从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关,