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1、第八章 滑移线场理论,第八章 滑移线场理论,滑移线场理论概要,1.基本假设和应力基本方程2.滑移线概念3.应力方程的特征线解法4.滑移线的性质5.简单滑移线场6.塑性区边界条件7.基本边值问题8.解的数值方法9.应力间断线10.楔受单边压力作用的极限荷载（钝角）11.条形基础极限承载力(Prandtl解),滑移线场理论概要1.基本假设和应力基本方程,1.基本假设和应力基本方程,基本假设： 1.土体是理想刚塑性体 2.屈服条件为莫尔库仑屈服条件，或Tresca条件,或von Mises条件 （土体塑性变形较大，弹性变形可以忽略的情况下，按基本假设得到可靠近似解）应力基本方程： 平衡方程：莫尔库仑
2、屈服条件：,1-1 平面应变问题,应力方向与弹性力学应力方向正负定义相反,注意：龚晓南土塑P273图应力方向有误,1.基本假设和应力基本方程基本假设：,1.基本假设和应力基本方程,不考虑土体自重，且=0，则有一般塑性力学（金属塑性力学）滑移线场理论中的应力基本方程：不排水条件下饱和土体 =0，属于Tresca材料； 0的土体属于Coulomb材料。滑移线场理论应用：岩土工程的稳定性问题：地基承载力问题挡土墙土压力土坡稳定问题,Mises 屈服条件 Tresca屈服条件,1.基本假设和应力基本方程不考虑土体自重，且=0，则有一,2.滑移线的概念,主应力迹线：各点主应力方向的线段连续的连接起来，得
3、到的两族正交的曲线。 滑移线：各点的剪切破坏面连续的连接起来，得到的两族曲线。（滑移线上的一点的切线方向就是相应点的滑移面方向）Tresca材料剪切破坏面与第一主应力方向的夹角为/4；Coulomb材料剪切破坏面与第一主应力方向的夹角为=/4-/2。滑移线是物体在塑性状态下剪切破坏面的迹线，应力场不同，滑移线场也不同。,Comlomb材料塑性应力状态的莫尔圆,Tresca 材料塑性应力状态的莫尔圆表示法,2.滑移线的概念主应力迹线：各点主应力方向的线段连续的连接起,2.滑移线的概念,Coulomb材料的两族滑移线相互间夹角为2=/2- ，与主应力迹线的夹角为=/4- /2。,约定：以第一主应力
4、1的迹线为基线，顺时针方向与基线成锐角的称为线，逆时针方向与基线成锐角的称为线。,Tresca材料两族滑移线是正交的，与主应力迹线的夹角为/4,2.滑移线的概念Coulomb材料的两族滑移线相互间夹角为,3.应力方程的特征线解法,Coulomb材料平面应变问题的应力基本方程+满足屈服条件的应力未知数p和的一阶拟线性偏微分方程组可证明，该双曲线型方程，其两族特征线方程为：取与滑移线相重合的曲线坐标系统，变换，有：,3.应力方程的特征线解法Coulomb材料平面应变问题的应力,3.应力方程的特征线解法,三种特殊情况下的解：（1）忽略土体自重作用，取0 （2）土体的摩擦角等于零，即0代入(3.10)
5、并积分可得: （3）0和0代入(3.10)并积分可得:,3.应力方程的特征线解法 三种特殊情况下的解：,4.滑移线基本性质,滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度两族滑移线间的夹角与屈服准则有关对所有岩土材料,重力的存在不影响两族滑移线间的夹角,但对其形状有影响。对c-型岩土材料,粘聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角。,4.滑移线基本性质滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度,4.滑移线基本性质,（1）Henky第一定律：如果由一条滑移线1（或1 ）转到另一条滑移线2 （或2），则沿任何一条族 （或族）的滑移线，线（或线）的方向与x轴的夹角的变化值保持常量。如图1，得：（2）如果族（或族）滑移线的
6、某一曲线段（例如AB）是直线，则族（或族）滑移线所截得所有线（或族）得相应曲线段（如DC，AB,等）均为直线（图2）（3）如果滑移线得某些曲线段是直线，则沿着这些直线得p, C, , C以及应力分量x,y,xy都是常数。两族直线构成得滑移线场为均匀应力场。,图1,图2,4.滑移线基本性质（1）Henky第一定律：如果由一条滑移,4.滑移线基本性质,（4）若已知滑移线网络中各点的坐标值(x,y)和值，则只要知道滑移线网络中任何一点的应力值，就可以算出场内各处的应力值。（5）Henky第二定律：若沿着某一滑移线移动，则在交叉点处的另外一族滑移线的曲率半径的变化为：,图4-3,图4-4,已知A点的应
7、力,4.滑移线基本性质（4）若已知滑移线网络中各点的坐标值(x,5.简单滑移线场,1.均匀应力状态滑移线场两族滑移线都是直线，则由它们构成的滑移线场范围内p值, 值以及各应力分量都相等，这种滑移场称为均匀应力状态滑移线场。Tresca材料，均匀应力状态滑移线场两族滑移线正交；Coulomb材料，两族滑移线相互夹角为2=/2-。2.扇形滑移线场一族是相交于一点的直线，另外一族是曲线，这种滑移线场称为扇形滑移线场，也称简单滑移线场。简单应力状态：同一条直线应力状态保持不变， 由一条直线转到另外一条直线时，应力状态发生变化。与均匀应力状态区域相邻的必然是简单应力状态区域,图51 均匀应力状态滑移线场
8、,（a）Coulomb材料,（b）Tresca材料,（5.1）,和 图中 时的p和 值,5.简单滑移线场1.均匀应力状态滑移线场图51 均匀应力,6.塑性区边界条件,1.边界面的一般情况是已知边界面上的法向应力n和剪应力n ,边界面的法线与x轴的夹角2.对于平面应变问题，当物体处于塑性状态，斜截面上的应力公式为：arcsin应理解为它的主值，而m是任意整数.边界上各点和p值确定以后，即得附近滑移线场.,图6-1,6.塑性区边界条件1.边界面的一般情况是已知边界面上的法向应,7.基本边值问题,刚塑性平面应变问题的方程是双曲线型的双曲线方程有三种基本边值问题（1）Cauchy问题（2）Rieman
9、n问题（3）混合边值问题注意：这里的边界不仅指实际的边界，也包括两个不同区域的边界线,7.基本边值问题刚塑性平面应变问题的方程是双曲线型的,7.基本边值问题,(1) Cauchy问题（初值问题）如图7-1设在x,y平面内某一光滑曲线段AB上，给定函 数的 值和值，而且不与任何一条滑移线重合，相交两次；AB上给定的函数值 及其两 阶的偏导数是连续的，ABP区内的解 完全可由AB上的值确定。（AB曲线段的另一 侧也同样存在一个AB线的影响区域。）自由表面上 。周界处处不与滑移线方向相重合。自由表面附近的应力场与自由表面的形状有关。如果自由表面是平面，其影响区域将如图7-2.,Cauchy 问题,自
10、由表面为平面的影响区域,7.基本边值问题(1) Cauchy问题（初值问题）Cau,7.基本边值问题,(2) Riemann问题（初始特征问题）如图7-3在滑移线段OA和OB上的 和值已知，则在曲线四边OAPB内（包括滑移线段PA和PB）的解是完全确定的. 蜕化的Riemann问题：如图7-4，滑移线OB的长度和曲率半径都无限缩小，蜕化为一点O，应力区在O 点应力发生间断，只要OA上的 和值已知，以及O点的张角已知，则影响区域OAP区内的解可确定.,Riemann问题,蜕化Riemann 问题,7.基本边值问题(2) Riemann问题（初始特征问题）,7.基本边值问题,(3) 混合边值问题如
11、图7-5所示，曲线OA是滑移线，其上的 值和 值已知，曲线OB不是滑移线，其上各点值（或 值）已知，则OA线和OB线构成的OAB区内各点的 值和值可以确定.,7-5 混合问题,7.基本边值问题(3) 混合边值问题7-5 混合问题,8.解的数值方法,考虑自重影响的刚塑性体平面应变问题的应力方程通过数值方法求解, 应力方程的一般表达式：滑移线方程为：在应用数值方法求解时,三种基本边值问题需要应用两种基本计算方法,8.解的数值方法考虑自重影响的刚塑性体平面应变问题的应力方程,8.1两种基本计算方法,1.问题：如图8-1已知A点和B点的平均应力P值和值 ,求过A点的线和过B点线的交点P点的位置,P点的
12、平均应力p值和值 .计算方法：(差分方程）,图 8-1,8.1两种基本计算方法1.问题：如图8-1已知A点和B点的平,8.1两种基本计算方法,2.问题：如图8-2已知一条滑移线的位置和滑移线上各点的平均应力p值和值 (如图中线BC),又已知一直线OD上的值 ，求过B点的线与OD线的交点P点的位置及其值.计算方法： 由特征线的微分方程和直线OD的方程可得：,图 8-2,8.1两种基本计算方法2.问题：如图8-2已知一条滑移线的,8.2 Cauchy问题的数值方法,计算方法： 由曲线AB线上的P11点和 P22点的x, y, p 和 值,运用基本计算方法1,很容易求得P12点x, y, p 和 值
13、，然后由P22和P33点可求得P23点的x, y, p 和 值，采用类似方法得到曲线AB影响区域各点的近似值.,图 8-3,8.2 Cauchy问题的数值方法计算方法：图 8-3,8.3Riemann问题的数值方法,计算方法： 运用基本计算方法1,可以由 P12点和P21点的x, y, p 和 值计算P22点的x, y, p 和 值.然后,由P22点和P31点计算P32点,用同样的方法就可以求得其影响区域内各点的近似值.蜕化的Riemann问题 曲线OA上的p和值,以及在顶点O处角度（相应值）的变化是已知的.,图 8-4,图 8-5,(1)可先求得P22点的值.在O点,对应 线为 ,对应 线为
14、 , 可近似采用下式计算：(2)求得P22点的p值.(3)由 P22点和P13点求P23点的值可应用基本方法1.,8.3Riemann问题的数值方法计算方法：图 8-4图 8,8.4 混合边值问题的数值方法,问题 如图8-6曲线OA是滑移线,例如是线,它的位置及其上的p值和值已知,曲线OD不是滑移线,OD线的位置及其上的值(或p值)已知,求区域OAD上解.计算方法：由P12点的x, y, p 和值，O点和P22点的x, y, 值，由计算方法2，得到P22点的p值。由 P13点和P22点的x, y, p 和值,运用基本计算方法1计算 P23的x, y, p和值.再用基本计算方法2,由点P23的x
15、, y, p和值,以及P33点的值,得到P33点的p值.这样求得区域OAD上的解.,图 8-6,8.4 混合边值问题的数值方法问题图 8-6,9.应力间断线,应力间断线：在薄层过渡区内,应力发生急剧的变化,造成间断线两侧应力发生间断现象. (应力间断线不可能同时又是滑移线,当滑移线通过应力间断线时,滑移线发生弯折.)沿着间断线必须满足平衡方程和屈服条件.如图9-1：如图9-2，由莫尔库仑屈服条件，间断线两边为同一材料时候对Tresca材料: Tresca材料应力间断线两侧线方向关系式,表明应力间断线是两个区域中同一族滑移线夹角平分线,图9-1,图 9-2,9.应力间断线应力间断线：在薄层过渡区
16、内,应力发生急剧的变化,10.楔受单边压力作用的极限荷载(钝角),如图10-1表示Coulomb材料钝角楔体顶角 在单边极限荷载作用下的滑移线场.ODC区为Cauchy问题,应力状态表示为:OCB区为蜕化的Riemann问题,OB线上的应力状态:OBA区为混合问题,应力状态表示为：由图10-3得极限荷载qf的表达式：,图 10-2,图 10-3,(10.1),10.楔受单边压力作用的极限荷载(钝角)如图10-1表示Co,10.楔受单边压力作用的极限荷载(钝角).,Tresca材料，钝角楔体（顶角 )在单边极限荷载作用下得滑移线场如图10-4所示.极限荷载的表达式为( ) Coulomb材料，当
17、 时,其滑移线场如图10-5所示, 极限荷载 表达式为：,图 10-4,图 10-5,10.楔受单边压力作用的极限荷载(钝角).Tresca材,11.条形基础极限承载力(Prandtl解),条形基础承载力的Prandtl解是最基础的课题,根据刚塑性假设导出的无重量介质的极限承载力公式. Terzaghi, Meyerhof, Hansen, Vesic公式都认为是对Prandtl解的修正和发展.Prandtl解的滑移线场如图11-1:Coulomb材料,ACD区为Cauchy问题,ABC区是蜕化Riemann问题.AAB区为混合问题,钝角契体的顶角为时, 条形基础极限承载力的计算公式:不排水条件下饱和粘土 ,属Tresca材料, 其Prandtl滑移线场如图11-2所示;极限承载力公式为:,图11-1 Prandtl 滑移线场（c 材料）,图 11-2 Prandtl 滑移线场( =0),11.条形基础极限承载力(Prandtl解)条形基础承载力的,条形基础极限承载力（Hill解）,时条形基础极限承载力的Hill解及其滑移线场 如图示.Hill解与Prandtl解结果是一样的;一个问题的解 应该是相同的，但相应的滑移场可具有不同的形式.即： 相对应于正确解的滑移线场不是唯一的.,图 11-3 Hill 滑移线场,条形基础极限承载力（Hill解）,
