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1、5.1 大数定律,5.1 大数定律,大数定理和中心极限定理蓝背景,大数定理和中心极限定理蓝背景,定理的意义：,当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望.,具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,定理的意义：当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,具,定理5.2伯努里（Bernoulli） 大数定理,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则,或,定理5.2伯努里（Bernoulli） 大数定理设 nA,大数定理和中心极限定理蓝背景,在 Bernoulli 定理
2、的证明过程中， Y n 是相互独立的服从 0-1分布的随机变量序列 Xk 的算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p .,结果同样适用于服从其它分布的独立随机变量序列,事件发生的频率就是事件发生的概率。,在 Bernoulli 定理的证明过程中， Y n 是相互,5.1中心极限定理,林德伯格-列维中心极限定理, 独立同分布的中心极限定理 ,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 二项分布以正态分布为极限分布 ,(Lindberg-levi),(De Moivre-Laplace),5.1中心极限定理林德伯格-列维中心极限定理 独立同分布,（独立同分布的中心极限定理）,定理 一,（独立同分布的中
3、心极限定理）定理 一,标准化变量,定理二（李雅普诺夫Lyapunov定理）,定理二（李雅普诺夫Lyapunov定理）,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）,定理三,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理定理三,大数定理和中心极限定理蓝背景,例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击,(1) 至少命中180发炮弹的概率;(2) 命中的炮弹数不到200发的概率.,解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
4、,例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮,(1),(2),(1) (2),例2：P127T12 一公寓有200户住户，一住户拥有汽车辆数X的分布律为,问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为0.95.,解：设Xk为第k个住户拥有汽车的辆数。n为需要的车位数。,例2：P127T12 一公寓有200户住户，一住户拥有汽车辆,大数定理和中心极限定理蓝背景,大数定理和中心极限定理蓝背景,大数定理和中心极限定理蓝背景,例4 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9%
5、的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？,解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，,X 为开工的车床数 ,则 X B(200,0.6) ,X N (120, 48) (近似),由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理, 有,例4 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.,问题转化为求 a , 使,反查标准正态函数分布表，得,X N (120, 48) (近似),问题转化为求 a , 使反查标准正态函数分布表，得X N,令,令解得(千瓦),例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.,解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,X B( 6000 , 1/6 ),由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,则,有,例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6,大数定理和中心极限定理蓝背景,中心极限定理的意义,在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布.,作业：P127 T1 T4 T13,中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量,
