导数与导数的运算课件.ppt

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1、第十节 导数与导数的运算,第十节 导数与导数的运算,导数与导数的运算课件,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为_,若x=x2-x1，y=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表示为_.,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率,2.导数的定义及几何意义（1）函数f(x)在x=x0处的导数定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的导数，通常用f(x0)表示,记作f(x0)=_=_.,2.导数的定义及几何意义,几何意义函数y=f（x）在x0处的导数，是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线的斜率.相应地，切

2、线方程为_.,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),几何意义y-f(x0)=f(x0)(x-x0),（2）函数f(x)的导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x):f(x)=_,则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的_，通常也简称为导数.,导函数,（2）函数f(x)的导函数导函数,3.基本初等函数的导数公式,x1,0,cos x,sin x,3.基本初等函数的导数公式原函数 导函数 yc(c为常数),axln a,原函数 导函数 yax(a0，且a1) y_,4.导数四则运算法则若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(

3、x)，则有：(1)f(x)+g(x)_.(2)f(x)-g(x)=f(x)-g(x).(3)f(x)g(x)_.(4) _（g(x)0).,f(x)+g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),4.导数四则运算法则f(x)+g(x)f(x)g(x),5复合函数的导数复合函数y=f(x)的导数和函数y=f(u),u=(x)的导数间的关系为yx=f(x)=f(u)(x).,5复合函数的导数,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.( )（2）求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).( )（3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )

4、（4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )（5）若f(x)=a3+2ax-x2，则f(x)=3a2+2x.( ),判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.,【解析】(1)错误.f(x0)与(f(x0)是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)=0.(2)错误.应先求f(x)，再求f(x0）.(3)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线，但其交点个数有无数个.,【解析】(1)错误.f(x0)与(f(x0)是不一样的,(4)错误.如y=0与抛物线

5、y2=x只有一个公共点，但是y=0不是抛物线y2=x的切线.(5)错误.求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.在这里自变量是x而不是a，故f(x)=-2x+2a.答案：(1) (2) (3) (4) (5),(4)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点，但是y=,1下列函数求导运算正确的个数为( )(3x)3xlog3e；(log2x) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选A.由求导公式可判断; 为一常数，所以 求导运算正确的只有.,1下列函数求导运算正确的个数为( ),2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为( )(A)2(x2a2) (B)2(x2a2)(C)3(

6、x2a2) (D)3(x2a2)【解析】选C.f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2),2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为( ),3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为 那么速率为零的时刻是( )(A)0秒 (B)1秒末(C)2秒末 (D)1秒末和2秒末【解析】选D.s(t)t23t2，令s(t)0，则t1或t2.,3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为,4已知曲线 的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)【解析】选A.函数的定义域为（0，+），又由 得x2-x-6=0，解得x=3或x=-2（舍去），因此切点

7、的横坐标为3.,4已知曲线 的一条切线的斜率为,5若函数y(2x+1)4，则函数在点(0,1)处的切线的斜率是_.【解析】y=4(2x+1)3(2x+1)=8(2x+1)3，故y|x=0=8.即所求切线的斜率是8.答案：8,5若函数y(2x+1)4，则函数在点(0,1)处的切线的,考向 1 导数的概念及应用 【典例1】（1）若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0(a,b)，则 的值为( )（A）f(x0) （B）2f(x0)（C）-2f(x0) （D）0（2）利用定义求函数 的导数.,考向 1 导数的概念及应用,【思路点拨】(1)根据导数的定义，将极限符号内的表达式表示成平均变化率的

8、形式再求解.(2)先求y, 再求出当x0时的极限值.【规范解答】(1)选B.x=(x0+h)-(x0-h)=2h,y=f(x0+h)-f(x0-h)，所以 故选B.,【思路点拨】(1)根据导数的定义，将极限符号内的表达式表,(2),(2),【互动探究】在本例题（1）中，若 且x0=e，其他条件不变，求 的值.【解析】f(x)=x2+2，故,【互动探究】在本例题（1）中，若,【拓展提升】定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量y=f(x+x)-f(x).二比：求平均变化率三极限：取极限，得导数,【拓展提升】定义法求函数的导数的三个步骤,【变式备选】（1）如图，函数f(x)的图像是折线段A

9、BC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_； _(用数字作答).,【变式备选】（1）如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其,【解析】f(0)4，f(f(0)f(4)2.由导数定义当0 x2时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2.答案：2 2,【解析】f(0)4，f(f(0)f(4)2.,(2)求函数 在x=1处的导数.【解析】,(2)求函数 在x=1处的导数.,考向 2 导数的运算 【典例2】求下列函数的导数:(1)y=(2x2-1)(3x+1).(2) (3) (4)y=(3-2x)5.(5),考向 2 导数的运算,【思路点拨】（1）可以先展

10、开解析式，然后再求导或利用乘积的求导法则进行求导，也可以直接利用乘积的求导法则进行求导.（2）将 利用三角公式化简后，再求导.(3)将根式化成幂的形式，再求导. (4)y=(3-2x)5是由y=5与=3-2x复合而成.(5)ysin2(2x )是由yu2，usin v，v2x 复合而成.,【思路点拨】（1）可以先展开解析式，然后再求导或利用乘,【规范解答】(1)方法一：可以先展开解析式，然后再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)-（1）=18x2+4x-3.方法二：可以利用乘积的求导法则进行求导：y=

11、(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.,【规范解答】(1)方法一：可以先展开解析式，然后再求导：y=,（2）先使用三角公式进行化简得 （3）,（2）先使用三角公式进行化简得,(4)设=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=5与=3-2x复合而成，所以yx=yx=(5)(3-2x)=54(-2)=-104=-10(3-2x)4.(5)设yu2，usin v，v2x ，则yxyuuvvx2ucos v24sin(2x )cos(2x )2sin(4x ).,(4)设=3-2x，则y=(3-2x)5

12、是由y=5与=,【拓展提升】导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，再求导.（2）方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；,【拓展提升】导数计算的原则和方法,对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.复合函数：由外向内，层层求导.,对数形式：先化为和、差的形式，再求导；,【变式训练】求下列函数的导数：(1)y=3xex-2x+e.(2)(3)(4),【变式训练】求下列函数的导数：,【解析】(1)y=(3xex)-

13、(2x)+（e）=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln 3ex+3xex-2xln2=(3e)xln 3e-2xln 2.(2),【解析】(1)y=(3xex)-(2x)+（e）=(,(3)先化简,(4)设u13x，则yu4，则yxyuux4u5(3),(3)先化简,考向 3 导数几何意义的应用 【典例3】（1）（2013九江模拟）已知函数 (aR),若函数f(x)的图像上点P(1,m)处的切线方程为3x-y+b=0，则m的值为( )(A) (B) (C) (D)(2)（2012广东高考）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为_(3)已知曲线C：yx33x22x，直线l：y

14、kx，且l与C切于点P(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标.,考向 3 导数几何意义的应用,【思路点拨】(1)利用点P处的导数值为切线斜率求出a，再由点P在函数f(x)的图像上求m.(2)因为点（1，3）为切点，故可由导数的几何意义求出斜率后，再用点斜式写出切线方程.(3)因为直线l过原点，故可根据导数的几何意义及斜率公式以及点P既在曲线上又在切线上，构造一个关于x0，y0的方程组求解.,【思路点拨】(1)利用点P处的导数值为切线斜率求出a，再由,【规范解答】(1)选C.由 得f(x)=2x2-4ax-3.又由切线方程为3x-y+b=0知切线斜率为3，故f(1)=3,即2-4a-

15、3=3，解得a=-1，因此 又点P（1，m）在函数f(x)的图像上，所以(2)y=3x2-1，当x=1时，y=2，此时斜率k=2，故所求切线方程为y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.答案：2x-y+1=0,【规范解答】(1)选C.由,(3)由直线l过原点，知 (x00).又点P(x0，y0)在曲线C上，y0 x033x022x0 因为y3x26x2，故k3x026x02.又 故 由得,(3)由直线l过原点，知 (x00).又点P(x,所以3x026x02x023x02，其中x00， 解得所以 所以所以直线l的方程为切点坐标为,所以3x026x02x023x02，其中x00，,【互动探究】

16、在本例题(2)中若曲线y=x3-x+3在“点（1，3）处”改为“过点（1，3）”,其他条件不变，求此时的切线方程,【互动探究】在本例题(2)中若曲线y=x3-x+3在“点（1,【解析】当点（1，3）是切点时，由本例（2）知，切线方程为2x-y+1=0.当点（1，3）不是切点时，设切点为（x0，x03-x0+3）.又y=3x2-1，故斜率k=3x02-1，所求切线方程为y（x03-x0+3）(3x02-1)(x-x0)，将点（1，3）代入解得 或x0=1（舍），故切点为 此时切线方程 为即x+4y-13=0.综上所述，切线方程为2x-y+1=0或x+4y-13=0.,【解析】当点（1，3）是切点

17、时，由本例（2）知，切线方程,【拓展提升】1.求曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率(2)如果已知切点坐标和切线的斜率，切线方程为yy0f(x0)(xx0)如果切线平行于y轴，切线方程为xx0.,【拓展提升】,2.求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点A(xA，f(xA)，求切线的斜率kf(xA)，写出切线方程(2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程.解得xA的值，进而写出切线方程【提醒】求切线方程时，一定要分清所给点是不是切点.,2.

18、求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤,【变式备选】(1)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则切线l的方程为( )（A）4x-y-3=0 （B）x+4y-5=0（C）4x-y+3=0 （D）x+4y+3=0【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0，即y=x4在某一点的导数为4，而y=4x3，即4x3=4,解得x=1,所以y=x4在点(1，1)处导数为4，此点的切线方程为4x-y-3=0，故选A.,【变式备选】(1)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-,(2)已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是2x3y10，则

19、f(1)f(1)_.【解析】依题意得213f(1)10，即f(1)1，由切线的斜率 则 则答案：,(2)已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方,【创新体验】 导数中的新定义问题 【典例】（2012浙江高考）定义曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_.,【创新体验】 导数中的新定义问题,【思路点拨】,【思路点拨】 找准定义曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为,【规范解答】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为设曲线C1：y

20、=x2+a上的点(x0,y0)到直线l:y=x的距离最短，则过点(x0,y0)的切线平行于直线y=x.对应函数的导数为y=2x，由2x0=1得 所以C1：y=x2+a上的点（x0,y0)为 由题意知 解得 或 当 时，直线l与曲线C1相交，不合题意，故舍去.答案：,【规范解答】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x,【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了等价转化的思想在解题中的应用，即利用定义将曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离转化为圆心到直线的距离减去半径，曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离转化为曲线C1上与l平行的切线与l的距离，再利用导数研究曲线

21、C1的切线问题，最终根据两距离相等构造方程求出a的值，这种“等价转化”的思想是解决数学问题的重要思想.,【思考点评】,2.技巧提升：对待新定义问题，应该首先仔细审题，把新定义的规定理解透彻，提取定义中等量关系和数量关系或定义中的关键词语，如本题定义中的关键词为“最小值”，然后结合所学知识进行分析求解.,2.技巧提升：对待新定义问题，应该首先仔细审题，把新定义的规,1.（2013南昌模拟）曲线 在点M 处的切线的斜率为( )(A) (B) (C) (D)【解析】选A. 因此当 时，对应的切线斜率,1.（2013南昌模拟）曲线,2.（2012辽宁高考）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的

22、横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】选C.因为点P，Q的横坐标分别为4，-2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由x2=2y,则 所以y=x,所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程组解得x=1,y=-4,故点A的纵坐标为-4.,2.（2012辽宁高考）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,3.(2013合肥模拟)设函数 (a0)，若f(3)3f(x0)，则x0_.【解析】由已知f(x)ax2b，又f(3)

23、3f(x0)，则有9a3b3ax023b，所以x023，则答案：,3.(2013合肥模拟)设函数 (,4.（2012新课标全国卷）曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为_.【解析】函数的导数为 所以在点(1,1)处的切线的斜率为k=4，所以切线方程为y-1=4(x-1)，即y=4x-3.答案：y=4x-3,4.（2012新课标全国卷）曲线y=x(3ln x+1)在,5.（2013咸阳模拟）给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)=(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函

24、数，以下四个函数：f(x)=x2+2x;f(x)=sin x+cos x;f(x)=ln x-x;f(x)=-xex，其中在 上是凸函数的是_.（填序号）,5.（2013咸阳模拟）给出定义：若函数f(x)在D上可导,【解析】对于，f(x)=2x+2,f(x)=20，因此不是凸函数；对于，f(x)=cos x-sin x,f(x)=-sin x-cos x, x sin x0,cos x0,f(x)0，因此是凸函数；对于， 因此是凸函数；对于， f(x)=-ex-ex-xex=-(x+2)ex在（-2，+）上小于0，因此是凸函数.答案：,【解析】对于，f(x)=2x+2,f(x)=20，因,1.

25、设曲线y=xn+1(nN+)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2xn的值为( )(A) (B)(C) (D)1,1.设曲线y=xn+1(nN+)在点(1，1)处的切线与x,【解析】选B.对y=xn+1(nN+)求导得y=(n+1)xn,令x=1得在点(1，1)处的切线的斜率k=n+1,在点(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),由切线与x轴的交点横坐标为xn,不妨设y=0,所以则x1x2xn=,【解析】选B.对y=xn+1(nN+)求导得y=(n+1,2.若方程kx-ln x=0有两个不等实数根，则k的取值范围是_.【解析】令y=kx，y=ln x.若方程kx-ln x=0有两个不等实数根，则直线y=kx与曲线y=ln x有两个不同的交点.故直线y=kx应介于x轴和曲线y=ln x过原点的切线之间.设曲线y=ln x过原点的切线的切点为(x0,ln x0).故此曲线在x=x0处的斜率 故切线方程为 将原点代入得，x0=e，此时 故所求k的取值范围是答案：,2.若方程kx-ln x=0有两个不等实数根，则k的取值范围,导数与导数的运算课件,导数与导数的运算课件,