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1、导数及其应用复习,变化率与导数,平均变化率：,瞬时变化率：,它们的几何意义是什么？,导数的概念,一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作 f(xo)或y|x=x0，即,利用定义求导数的步骤,求函数的增量,求平均变化率,取极限得导数,导数的几何意义,P,Q,割线,切线,T,切线方程为 yy0=f (x0)(xx0),几何意义-曲线y=f(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率,求切线方程的步骤,两种情况,此种情况注意P点可能是切点， 也可能不是切点,导函数,函数y=f(x)的导函数(简称导数),函数f(x)在点x0处的导数f(xo)
2、就是导函数f(x)在 x=x0处的函数值,基本初等函数的导数公式,导数运算法则,复合函数y=f(g(x)求导方法,换元，令 ,则,分别求导再相乘,回代,函数的单调性与导数,一般地,函数yf(x)在某个(a,b)区间内可导(1)若 f(x)0，则 f(x) 是增函数(2)若 f(x)0，则 f(x) 是减函数(3)若 f(x)=0，则 f(x) 是常数函数,注意:在某一区间内f(x)0(或者f(x)0(或f(x)0),则该函数在该区间上仍为增函数（减函数）,（前提导数存在）,函数的单调性与导数,利用导数求函数的单调区间,（1）求函数的定义域;（2）求函数的导数f(x);（3）令f(x)0以及f(
3、x)0得到单调递增区 间,解f(x)0得到单调递减区间,函数的极值,1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个极小值.点a叫做极小值点,2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近 其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，点b叫做极大值点,注意：导数等于零的点不一定是极值点,极值的判断,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,(2) 由负变正,那么 是极小值点;,(3) 不变号,那么 不是极值点。,(1) 由正变负,那么 是极大值点;,导数求极值的步骤,口诀：左负右正为极小，左
4、正右负为极大,(1) 确定函数的定义域 ；,(5)下结论，写出极值。,(2) 求出导数 ；,(3) 令 ，解方程；,列表,函数的最值,在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,闭区间a,b上最值的求法,(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.,(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),关于极值和最值注意的几个问题,求曲边梯形的面积,1、分割2、近似代替3、求和4、取极限,(2) 近似代替:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为D
5、x的小矩形面积f(xi)Dx近似代替；,(4)取极限:所求曲边梯形的面积,(3)求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:,求曲边梯形的面积的具体步骤：,需记忆的几个公式,定积分的概念,如果当n时，S 的无限接近某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作,定积分的几何意义,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,=-S,定积分的性质,微积分基本定理,记,则,常用积分公式,定积分在物理中的应用,1、求变速直线运动的位移若物体运动的速度函数为v(t)，则物体在atb时段内的位移是:,2、求变力所作的功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，则物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)所作的功为:,求定积分的方法,1、定义法,2、微积分基本定理,3、利用几何意义,4、利用定积分的性质,
