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1、地球物理反演理论,刘学伟,地球物理反演理论,第一章 绪论,1 反演的目的和任务2 几个反演例子3 非线性问题线性化与连续模型离散化4 模型构制5 解的非唯一性6 反演结果的评价 7 解的稳定性8 线性反演问题综述,第一章 绪论 1 反演的目的和任务,1 反演的目的和任务,1什么是反演，什么是正演？2地球物理反演：3反演理论中的四大问题：4数学物理模型和响应函数的正演问题：,1 反演的目的和任务 1什么是反演，什么是正演？,Kirchhoff 积分-波动方程的解析解,Kirchhoff 积分-波动方程的解析解,各向同性完全弹性均匀介质中的声波方程,隐式数学物理模型,各向同性完全弹性均匀介质中的声
2、波方程隐式数学物理模型,2 几个反演例子,1. AVO反演2. 基于褶积模型的波阻抗反演,2 几个反演例子1. AVO反演,1. AVO反演,1. AVO反演,地球物理反演课件,在界面上存在：应力连续条件和位移连续条件,在界面上存在：应力连续条件和位移连续条件,地球物理反演课件,地球物理反演课件,地球物理反演课件,3 非线性问题线性化与连续模型离散化,线性化方法初始模型与解的关系连续模型离散化,3 非线性问题线性化与连续模型离散化线性化方法,1. 线性化方法,参数置换法台劳级数展开法,1. 线性化方法参数置换法,2. 初始模型与解的关系,2. 初始模型与解的关系,3. 连续模型离散化,3. 连
3、续模型离散化,4 模型构制,1. 解的适定性问题2. 模型的维数问题3. 观测数据与模型参数的处理,4 模型构制1. 解的适定性问题,5 解的非唯一性,1. 零向量，零空间，零化子，零化空间2. 零空间与系数矩阵的关系（数据核）,5 解的非唯一性1. 零向量，零空间，零化子，零化空间,2. 基于褶积模型的波阻抗反演,2. 基于褶积模型的波阻抗反演,6 反演结果的评价,评价问题的提出评价准则平均函数A决定分辨率平均函数与哪些因素有关？,6 反演结果的评价 评价问题的提出,7 解的稳定性,稳定性的概念举例稳定性与核函数的性质有关,7 解的稳定性稳定性的概念,8 线性反演问题综述,构造一组新的正交基
4、的含义模型构制（解的存在性）解的非唯一性长度最小模型是核函数的线性组合,8 线性反演问题综述构造一组新的正交基,第二章 参数化模型的最小长度解,1 线性反演问题的最小方差解 2 欠定问题解法 3 混定问题的解法4 先验信息在模型构制中的应用5 模型参数估计方差6 范数解线性规划7 范数解线性规划,第二章 参数化模型的最小长度解1 线性反演问题的最小方差解,1 线性反演问题的最小方差解,什么是参数化模型？超定问题的物理意义3. 最小方差解（M N = r）4. 例子5. 讨论,1 线性反演问题的最小方差解什么是参数化模型？,2. 超定问题的物理意义,方程个数M大于未知数个数N的意思MN=r (r
5、是矩阵的秩)的物理意义MNr 的物理意义,2. 超定问题的物理意义方程个数M大于未知数个数N的意思,4. 例子,例一抛物线拟合问题模型是,因而方程Gm=d的形式为：,4. 例子例一抛物线拟合问题因而方程Gm=d的形式为：,矩阵乘积 为,及,矩阵乘积 为及,于是，最小二乘解为,于是，最小二乘解为,4. 例子,例三 最小平方反褶积,4. 例子例三 最小平方反褶积,最小平方反褶积,输入信号： 滤 波 器： 输出信号： 理想输出：,最小平方反褶积输入信号：,输出误差： 误差能量：,输出误差：,地球物理反演课件,取： 的最小平方滤波也叫脉冲反褶积,取： 的最小平方滤,5. 讨论,的秩r小于N的意义,的病
6、态问题,5. 讨论的秩r小于N的意义的病态问题,2 欠定问题解法,什么是欠定问题，物理意义？例子长度最小解先验信息讨论,2 欠定问题解法什么是欠定问题，物理意义？,1. 什么是欠定问题，物理意义？,从三方面理解欠定问题物理意义:1.数学多解2.观测数据不含充分的模型信息3.模型算子只把部分模型映射到数据空间,1. 什么是欠定问题，物理意义？从三方面理解欠定问题物理意义,2. 例子,投影约束问题测定砖块速度问题反射波速度反演问题,2. 例子投影约束问题,4. 先验信息,什么是先验信息四类先验信息,4. 先验信息什么是先验信息,5. 讨论,对称矩阵 奇异的物理意义：M个观测数据中有些彼此线性相关，
7、即M个观测数据中有重复信息。,5. 讨论 对称矩阵 奇异的物理意义：,3 混定问题的解法,定义目标函数:,求m使得E最小，从而有,故,3 混定问题的解法 定义目标函数:求m使得E最小,混定问题的例子,波速测定问题:,超定的,欠定的,混定问题的例子波速测定问题:超定的欠定的,混定问题的物理意义: 数据中含一部分模型的完全信息, 缺少另一部分模型的信息,混定问题的物理意义:,阻尼系数的物理意义 条件数及其数学意义,阻尼系数的物理意义,4 先验信息在模型构制中的应用,一、对模型参数的限制二、对观测数据的限制三、等式限制条件,4 先验信息在模型构制中的应用 一、对模型参数的限制,一、对模型参数的限制,
8、的物理意义:要求解接近平均值,的物理意义:要求解平坦,对模型参数进行加权,一、对模型参数的限制的物理意义:要求解接近平均值的物理意义:,二、对观测数据的限制,对观测数据加权2. 对数据加权,对模型加权,二、对观测数据的限制对观测数据加权,数据加权的例子,1. 权系数矩阵为对角矩阵,数据加权的例子1. 权系数矩阵为对角矩阵,三、等式限制条件,问题:,目标函数:,三、等式限制条件目标函数:,例一,物理意义:要求解的平均值等于某一个常数,例一 物理意义:要求解的平均值等于某一个常数,例二. 物理意义:要求解的某一分量等于特定值,例二.,5 模型参数估计方差,一、随机变量的（均值和方差）统计特性二、随
9、机向量的统计特性三、误差向量四、用 表示五、图示说明 与 G 的关系,5 模型参数估计方差 一、随机变量的（均值和方差）统计特性,模型协方差与算子 G 的关系小特征值: 对观测数据的误差影响不大, 对模型参数的方差影响很大. 大特征值: 对观测数据的误差影响大, 对模型参数的方差影响小.,模型协方差与算子 G 的关系,6 范数解线性规划,一、范数定义二、线性规划问题的图解三、 的极大似然解1高斯分布与指数分布2似然函数及极大似然估计3线性问题 的极大似然解4范数与概率分布的关系四、 的L1范数解,6 范数解线性规划一、范数定义,7 范数解,1 范数解的物理意义2目标函数,7 范数解1 范数解的
10、物理意义,第三章 广义反演法,1 广义逆2 矩阵奇异值分解(SVD)和自然逆 3 广义反演法4 数据分辨矩阵5 参数分辨矩阵 6 特征值对反演结果的影响7 分辨率高的和方差大小的测度8 最佳折衷解,第三章 广义反演法1 广义逆,1 广义逆,1 广义逆,2 矩阵奇异值分解(SVD)和自然逆,2 矩阵奇异值分解(SVD)和自然逆,3 广义反演法,d=Gm m=GLd其中:,3 广义反演法,4 数据分辨矩阵,数据分辨矩阵F的物理意义,4 数据分辨矩阵数据分辨矩阵,5 参数分辨矩阵,参数分辨矩阵参数分辨矩阵物理意义,5 参数分辨矩阵参数分辨矩阵,6 特征值对反演结果的影响,6 特征值对反演结果的影响,
11、表明，大特征值对重建观测数据贡献大,表明，小特征值对构建模型参数影响大,1. 特征值的作用,表明，大特征值,2. 解的方差,如果,则,小特征值对方差贡献大，导致结果不稳定上述结果与最小二乘解和最小长度解是一致的,2. 解的方差如果则小特征值对方差贡献大，导致结果不稳定,7 分辨率高的和方差大小的测度,7 分辨率高的和方差大小的测度,8 最佳折衷解,8 最佳折衷解,第四章 BG反演理论,1 在精确数据情况下连续介质反演2 在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论3 BG线性评价（）4 BG线性评价（二）5 BG反演理论在反褶积中的应用,第四章 BG反演理论1 在精确数据情况下连续介质反演,1 在精确数据情况下连续介质反演,最小模型解 2最平缓模型解 3最光滑模型解,1 在精确数据情况下连续介质反演 最小模型解,2 在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论,矩阵条件数矩阵条件数的物理意义最小模型的特征值表示观测数据拟合误差 的计算（r的选择）,2 在观测数据具有误差的情况下连续介质的反演理论矩阵条件数,
