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1、绵阳市高中2011级第一次诊断考试数学试题一、选择题。w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网1设复数=1-，则复数1+在复平面内所对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设随机变量N（，1），若不等式-0对任意实数都成立，且p（a）=，刚的值为A0 B1 C2 D3+（0）0（=0）3.已知= 则下列结论成立的是A在=0处连续 B=2C =0 D =04若曲线=+1在=1处的切线与直线2+1=0平行，则实数的值等于w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网A-2 B-1 C1 D25等比数列中，已知=1，则1g+1g的值等于A-2 B-1
2、 C0 D26函数=（2）的值域为A1且 B2 C2 D2 7设集合A =1，0，B = 1，若AB，则实数的取值范围是A-1，0 B-1，0 C（-1，0） D（-，-1）8某班有男生30人，女生20人，从中任选5名同志组成城市绿色交通协管服务队，那么按性别分层抽样组成这个绿色服务队的概率为A B C D9设数列：1，1+，1+，1+，的前项和为，则（-2）的值为A2 B0 C1 D-2-2ax(1)loga2（1）10设函数 （其中0且1），若=-，则值为A1 B C3 D11给出下列命题：w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网设是定义在（-，）（0）上的偶函数，且（0
3、）存在，则（0）=0.设函数是定义的R上的可导函数，则函数.的导函数为偶函数.方程=2在区间（0，1）内有且仅有一个实数根.A B C D12函数=的最小值与最大值之和为A4 B3 C2 D1二、填空题13函数的反函数为 。14若函数=.在R上单调递增，则实数的取值范围是 。15从某项综合能力测试中抽取100人的成绩（5分制），统计如下表，则这100人成绩的方差为 。w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网成绩（分）543210人数502510100516下列命题中，正确的是 。（写出所有正确命题的序号）在直角三角形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3：4：5。设
4、是等比数列的前项和，则公比是数列，成等差数列的充分不必要条件。w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网若数列满足=2，则。在数列中，若，都是正整数，且=，4，5，则称为“绝对差数列”，若一个数列为“绝对差数列”，则此数列中必含有为零的项。三、解答题17已知数列的前n项和为Sn2n+1n2，集合A，B。求：w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网（1）数列的通项公式；（2）AB18设集合M，N，现从集合A中随机抽取一个数a，从集合B中随机抽取一个数b.（1）计算a1或b1的概率；（2）令= ab，求随机变量的概率分布和期望。19设f（）= + 2.（1）求 f
5、（）的表达式。（2）设函数g()=a-+ f(),则是否存在实数a，使得g（）为奇函数？说明理由；w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网eax（01）2+1（1）（3）解不等式f()-2.20.定义在（0，+）上的函数f()= （其中e为自然对数的底数）。（1）若函数f()在=1处连续，求实数a的值。（2）设数列的各项均大于1，且an+1=f（2an-1）-1，a1=m，求数列的通项公式。21已知数列的前n项和为Sn，a1=1，（Sn-1）an-1=Sn-1an-1(n)（1）求数列的通项公式；（2）设bn=an2，数列的前n项和为Tn，试比较Tn与2-的大小；（3）若-+
6、loga（2a-1）（其中a0且a1）对任意正整数n都成立，求实数a的取值范围。22设函数f()=a-ln（+1）a+1（-1，aR）（1）设a0，0，求证：f()-；（2）求f（）的单调递增区间；（3）求证：（n为正整数）。w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网高中2011级第一次诊断性考试数学（文科）参考解答及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分DABB CBAC DCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13f -1(x) = e2x（xR） 14a 151.8 w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 16三、解
7、答题：本大题共6小题，共74分17（1）频数4，频率0.27； 6分如图所示为样本频率分布条形图 10分（2） 0.17 + 0.27 = 0.44， 任意抽取一件产品，估计它是一级品或二级品的概率为0.44 12分频率一级品 二级品 三级品 次品产品等级0.50.40.30.20.1w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网18（1） 数列 an 的前n项和为Sn = 2n+1n2， a1 = S1 = 21+112 = 1 1分当n2时，有 an = SnSn-1 =（2n+1n2） 2n（n1）2 = 2n1 4分又 n = 1时，也满足an = 2n1， 数列 an 的
8、通项公式为 an = 2n1（nN*） 6分（2） ，x、yN*， 1 + x = 1，2，3，6，于是 x = 0，1，2，5， 而 xN*， B = 1，2，5 9分 A = 1，3，7，15，2n1 ， AB = 1 12分w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网19（1） =， （x0） 3分（2） g（x）= ax2 + 2x 的定义域为（0，+） g（1）= 2 + a，g（1）不存在， g（1）g（1）， 不存在实数a使得g（x）为奇函数 w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 5分（3） f（x）x2， f（x）x20， 即 + x20，有
9、x32x2 + 10，于是（x3x2）（x21）0， x2（x1）（x1）（x + 1）0，（x1）（x2x1）0， （x1）（x）（x）0， 结合x0得0x1或因此原不等式的解集为 x0x1或 12分20 （1） f（1）= 0， 9 + 3a = 0， a =3 w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 4分（2） f（x）=（3x）2 + a 3x令 3x = t，则1t3，g（t）= t2 + at，对称轴 t = 6分i）当13，即6a2 时，y (t)min = g () =，此时ii）当3，即a6时，g (t) 在 1，3 上单调递减， g (t)min = g
10、（3）= 3a + 9，此时x = 1 w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 10分综上所述，当a6时，f（x）min = 3a + 9；当6a2时，f（x）min = 12分21（1）， f (x) = 3x2x2，由 f (x)0 得 或 x1， 增区间为，（1，+），减区间为 4分（2）f (x) = 3x22x2 = 0，得x =（舍去），x = 1又 f (0) = 5，f (1) =，f (2) = 7，所以 f (x)max = 7，得 k7 8分（3）f (x) = 3x22mx2，其图象恒过定点（0，2），由此可知，3x22mx2 = 0必有一正根和一负
11、根，只需要求正根在（0，1）上， f (0) f (1)0， m 12分22（1）（Sn1）an1 = Sn1 an1an，（SnSn11）an1 =an，即 anan1an1 + an = 0 an0，若不然，则an1 = 0，从而与a1 = 1矛盾， anan10， anan1an1 + an = 0两边同除以anan1，得 （n2）又 ， 是以1为首项，1为公差为等差数列，则 ， 4分（2） bn = an2 =， 当 n = 1时，Tn = ； w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 5分当n2时， 8分（3）， 设 g（n）=， ， g (n)为增函数，从而 g
12、(n)min = g（1）= 10分因为 g (n)对任意正整数n都成立，所以 ，得 log a（2a1）2，即 log a（2a1） log a a2 当a1时，有 02a1a2，解得 a且a1， a1 当0a1时，有 2a1a20，此不等式无解综合、可知，实数a的取值范围是（1，+） w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 高中2011级第一次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分DABB CBAC DCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13f -1(x) = e2x（xR） 14a0 151.8 1
13、6三、解答题：本大题共6小题，共74分17（1） 数列 an 的前n项和为Sn = 2n+1n2， a1 = S1 = 21+112 = 1 1分当n2时，有 an = SnSn-1 =（2n+1n2） 2n（n1）2 = 2n1 4分而当 n = 1时，也满足an = 2n1， 数列 an 的通项公式为 an = 2n1（nN*） 6分（2） ，x、yN*， 1 + x = 1，2，3，6，于是 x = 0，1，2，5， 而 xN*， B = 1，2，5 9分 A = 1，3，7，15，2n1 ， AB = 1 12分18x3， 3x3又x为偶数， x =2，0，2，得 N = 2，0，2
14、2分（1）设a1对应的事件为A，b1对应的事件为B，则 P (a1或b1) =或 P (a1或b1) = P (A) + P (B)P (A B) =或利用对立事件解答，P (a1或b1) = 1P (a1且b1) = a1或b1的概率为 6分（2）x = ab的可能取值有6，4，2，0，2，4，6x6420246P 9分x =6+（4）+（2）+ 0+ 2+ 4+ 6= 0w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 12分19（1） =， （x0） 3分（2） g（x）= ax2 + 2x 的定义域为（0，+） g（1）= 2 + a，g（1）不存在， g（1）g（1）， 不
15、存在实数a使得g（x）为奇函数 6分（3） f（x）x2， f（x）x20， 即 + x20，有x32x2 + 10，于是（x3x2）（x21）0， x2（x1）（x1）（x + 1）0，（x1）（x2x1）0， （x1）（x）（x）0， 结合x0得0x1或因此原不等式的解集为 x0x1或 12分20（1） 函数f (x) 在x = 1处连续，f（1）= 21 + 1 = 3， ， 3 = ea， a = ln 3 5分（2） 对任意n有an1， f (2an1) = 2 (2an1) + 1 = 4an1，于是an+1 = f（2an1）1 =（4an1）1 = 4an2， an+1= 4（
16、an），表明数列 an是以a1= m为首项，4为公比的等比数列，于是 an=（m） 4n1，从而an =（m） 4n1 + 12分21（1）（Sn1）an1 = Sn1 an1an，（SnSn11）an1 =an，即 anan1an1 + an = 0 an0，若不然，则an1 = 0，从而与a1 = 1矛盾， anan10， anan1an1 + an = 0两边同除以anan1，得 （n2）又 ， 是以1为首项，1为公差为等差数列，则 ， 4分（2） bn = an2 =， 当 n = 1时，Tn = ；当n2时，. 8分（3）， w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网
17、设 g（n）=， ， g (n)为增函数，从而 g (n)min = g（1）= 10分因为 g (n)对任意正整数n都成立，所以 ，得 log a（2a1）2，即 log a（2a1） log a a2 当a1时，有 02a1a2，解得 a且a1， a1 当0a1时，有 2a1a20，此不等式无解综合、可知，实数a的取值范围是（1，+） 12分22（1）设g (x) = f (x) + x，则g (x) = f (x) + 1 = a0，x0， g (x) =0，于是 g（x）在（0，+）上单调递增， g（x）g（0）= f (0) + 0 = 0，f (x) + x0在x0时成立，即a0，
18、x0时，f（x）x 4分（2） f (x) = ax（a + 1）ln（x + 1）， f (x) = a = 0时，f (x) =, f (x) 在（1，+）上单调递减, 无单调增区间 a0时，由 f (x)0得， 单增区间为（，+） a0时，由 f (x)0得而 x1， 当，即1a0时，无单增区间；当，即a1时，1x，单增区间为（1，）综上所述：当a1时，f (x) 的单调递增区间为（1，）；当1a0时，f (x) 无单调递增区间；a0时，f (x) 的单调递增区间为（，+） 8分（3）证明：1）当n = 2时，左边右边=， 左边右边，不等式成立 9分2）假设n = k时，不等式成立，即
19、成立，那么当n = k + 1时，= 11分下面证明： 思路1 利用第（1）问的结论，得 axln（x + 1）a+1x，所以（a + 1）ln（x + 1）（a + 1）x，即 ln（x + 1）x，因而 0ln（k + 1）k，所以以上表明，当n = k + 1时，不等式成立根据1）和2），可知，原不等式对任意正整数 n都成立 14分思路2 构造函数h (x) = ln xx2（x3），则， h (x) 在 3，+上是减函数，则 h (x)max = h (3) = ln 3ln e20，w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 当x3时，ln xx2，即 w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网 k + 1 3，+， w.w.w.k.&s.5*u.c.#om高.考.资.源.网高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
