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1、 2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、
2、不准使用涂改液、刮纸刀.参考公式：如果事件、互斥，那么.如果、相互独立，那么.如果事件在一次试验中发生的概率为，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合,则A.B.C.D.2. 为虚数单位，复数为纯虚数，则实数等于A.B.C.D.23. 已知，则等于A.B. C. D. 4. 已知、取值如下表：0145681.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：与线性相关，且，则A.1.30B.1.45C.1.65D.
3、1.805. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A.1B.C.D.函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到，那么此函数图像与轴交点的纵坐标为A.B.C. D.6. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是A.0B.1 C.2D.3 7. 已知函数，则1的充要条件是A.B.C.D.8. 若圆的半径为3，直径上一点使，为另一直径的两个端点，则A.B.C.D.9. 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是A. B.C. D.10. 以为中心，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为A.B.C.D.11. 已知函数对
4、任意R都有，的图象关于点对称，且，则A0 B4C8D16第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).12. .13. 为双曲线的左右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，满足，则此双曲线的渐近线方程为_.14. 在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积的最大值为_.15. 如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则以为顶点，以平面被球所截得的圆为底面的圆锥的全面积为_.三、解答题（本大题包括6小题，
5、共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16. （本小题满分12分）等差数列中，其前项和为.求数列的通项公式；设数列满足，其前n项和为，求证： 17. （本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率50.251210.05合计M1求出表中、及图中的值；若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间内的人数；学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在区间的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值6
6、0元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求的分布列与数学期望.18. （本小题满分12分）如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.求证：平面；求平面与平面所成角的正切值.19. （本小题满分12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴正半轴上，过的直线与抛物线交于、两点，且满足.求抛物线的方程；在轴负半轴上一点，使得是锐角，求的取值范围；若在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是，且，点是以为直径的圆与准线的一个公共点，求点的纵坐标的取值范围.2
7、0. （本小题满分12分）已知函数的图像在点处的切线方程为.求实数、的值；曲线上存在两点、，使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围；当时，讨论关于的方程的实根个数.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.21. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，在中，是的平分线，的外接圆交于点，.求证：；当，时，求的长. 22. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.求曲线的普通方程和的直角坐标方程；求曲
8、线上的点到曲线的最远距离.23. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数，解不等式5；若的定义域为，求实数的取值范围2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C 2.A 3. B 4. B 5.B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.C 11.C 12.B简答与提示：1. C的意义是在集合中去掉属于集合的元素后余下的元素构成的集合，所以应当为.故选C.2. A 由于为纯虚数，所以，即.故选A.3. B 由题意可知，.故选B.4. B代入中心点，可知.
9、故选B.5. B由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为，高为1，体积为.故选B.6. A因为函数的最大值为1，最小值为，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到，可知为半周期，则周期为，此时原式为，又由函数过点，代入可得，因此函数为，令，可得.故选A.7. B i3，打印点(2,6)，x1，y5，i312；i2，打印点(1,5)，x0，y4，i211；i1，打印点(0,4)，x1，y3，i110；0不大于0，所以结束故选B.8. D当时，所以；当时，所以，（舍）或.所以.故选D.9. D .故选D.，由题意可知：所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为 可验证得：当时，取得
10、最大值为3；当时， 取得最小值为.于是的取值范围是.故选C.10. C 过作轴的垂线，交轴于点，则点坐标为，并设，根据勾股定理可知，得到，而，则.故选C.11. B 由的图象关于点对称可知，关于点对称，即为奇函数. 令可知，进而，又可知，所以，可知是一个周期为12的周期函数，所以.故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 414. 15.16.简答与提示：12. ，等于单位圆面积的，13. 由双曲线的性质可推得，则在中，由余弦定理可知，又，可得，即，因此渐近线方程为.14. 因为，所以，,即,解得.由余弦定理得,，.（当且仅当时，“=”成立）从而，即的最大值为.15.
11、 为球心，也是正方体的中心，到平面的距离等于体对角线的，即为，到平面的距离等于体对角线的，即为，又球的半径等于正方体棱长的一半，即为，由勾股定理可知，截面圆的半径为，圆锥底面面积为，圆锥的母线可利用勾股定理求出：，圆锥的侧面积为.圆锥的表面积为.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)16. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项求和的应用.【试题解析】解：，即，得， (3分). (5分)， (7分)， (9分) . (12分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表
12、、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法.【试题解析】由题可知 ，又 解得 ，则组的频率与组距之比为0.12. (4分)由知，参加服务次数在区间上的人数为人. (6分)所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则，. 所以的分布列为：0204060(10分) (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.【试题解析】解：证明：方法一.设，取中点，连结，则且.，且，是平行四边形，. 平面,平面, 平面，即平面. (6分)方法二.如图建立空间
13、直角坐标系，设平面的一个法向量为，则，而，令，则，.， 0，而平面，平面.(6分)设平面与平面所成二面角的平面角为，由条件知是锐角由知平面的法向量为.又平面与轴垂直，所以平面的法向量可取为所以，所以即为所求.(12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：设抛物线方程，直线方程，联立消去得，即.设，则，进而所以，即，所求抛物线方程为.(4分)因为是锐角，所以恒成立，即，.由得，.所以，而，所以对于恒成立，所以.又，所以，解得的取值范围.(8分)由条件可
14、设的坐标为，则所以或，而，所以或.根据抛物线定义可知，以为直径的圆与抛物线的准线相切，所以点的纵坐标为，从而点的纵坐标的取值范围是. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：当时，.因为函数图象在点处的切线方程为.所以切点坐标为，并且解得.(3分)由得，根据条件，的横坐标互为相反数，不妨设，.若，则，由是直角得，即，即.此时无解；若，则. 由于的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即. 同理有，即，由于函数的值域是，实数的取值范围是即为所求.(7分)方程，即，可知0一定
15、是方程的根，所以仅就时进行研究：方程等价于.构造函数对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，当时取得最大值，其值域是；对于部分，函数，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值1，其值域是，并且当无限增大时，其图像在轴上方向右无限接近轴但永远也达不到轴. (10分)因此可画出函数的图像的示意图如下：可得：当时，方程只有唯一实根0；当时，方程有两个实根0和；当时，方程有三个实根；当时，方程有四个实根；当时，方程有五个实根；当时，方程有两个实根0和1；当时，方程有两个实根.(12分)21. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理
16、以及三角形相似等内容.【试题解析】连结，因为是圆的内接四边形，所以，又，所以，即有，而，所以.又是的平分线，所以，从而.(5分)由条件得，设，根据割线定理得，即所以，即，解得，即.(10分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系等内容.【试题解析】将（为参数）化为普通方程得，将化为直角坐标方程得. (5分) 由知曲线表示圆心为，半径为1的圆，曲线表示直线，并且过圆心，所以曲线上的点到曲线上点的最远距离等于圆的半径1. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容.【试题解析】解：原不等式等价于或或，因此不等式的解集为.(5分)由于的定义域为，则在上无解. 又，的最小值为2，所以，即. (10分)13
