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1、一、 问题的提出,二、 对弧长的曲线积分的概念,三、 对弧长的曲线积分的计算,四、 小结 思考题,第一节 对弧长的曲线积分,回顾与展望,定积分,二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分,数轴上的闭区间,平面闭区域,空间闭区域,平面曲线,空间曲线,空间曲面,一、问题的提出,实例:曲线形构件的质量,线密度为常量时,分割,求和,取极限,近似值,精确值,取近似,二、对弧长的曲线积分的概念,1【定义】,2. 【存在条件】,3. 【推广】,（充分条件）,曲线形构件的质量,积分和式,被积函数,积分弧段(路径),弧微分,【注意】,规定,【思考】,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作
2、对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,4. 【性质】,由弧长的曲线积分定义可知有如下性质,(4)与积分路径的方向无关，即与起点、终点无关.,（补充）,(5)比较性质,特别地，有,三、对弧长曲线积分的计算,复习,平面曲线的弧长公式,1.直角坐标：,弧微分（弧长元素）,即,弧长公式,弧长元素,其中,3.极坐标：,2.参数方程：,弧长公式,弧长元素,弧长公式,弧长元素,【定理】,“三代一定”法、与方向无关,对弧长曲线积分的计算化为定积分计算,【注意】,【特殊情形】,【推广】,为空间曲线,“四代一定”,(3),【例1】,【解】,【解】,【例2】,【解】,【解】,其中,【例3】,【解】,为螺旋线,“四代一定”,计算曲线积分,其中 为螺旋,的一段弧.,解:,线,【例4】,【例5】,【解】,参数方程,四、小结,1.对弧长曲线积分的概念,2.对弧长曲线积分的计算,3.对弧长曲线积分的应用,【思考题】,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,【思考题解答】,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,
