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1、第2课时对数函数的性质及应用,目 标 要 求1.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质2理解反函数的定义，知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1).,热 点 提 示对数函数可从下面三个方面去学习：(1)对数函数的基本问题；(2)对数函数的主要联系及主要题型；(3)对数函数的应用问题.,1对数函数的单调性：当a1时，ylogax为增函数；当01，且uf(x)在xM上单调递增(减)，M就是函数ylogaf(x)的增(减)区间；若0a1，且uf(x)在xM上单调递增(减)，M就是函数ylogaf(x)的减(增)区间3形如yf(logax)的函数的最值，通常利用换元的
2、思想，即令tlogax，根据函数的定义域及对数函数的单调性确定t的取值范围D，即tD，转化为求函数yf(t)，tD的最值问题,4形如logaxf(x)的方程的根的个数问题，通常利用数形结合的思想方法，在同一直角坐标系下作出两函数y1logax与y2f(x)的图象，两图象交点的个数即为方程的根的个数5对数函数与指数函数互为反函数因此，对数函数的定义域就是指数函数的值域，即为(0，)；对数函数的值域就是指数函数的定义域，即为(，),1函数ylog2x(1x8)的值域是()ARB0，)C(，3 D0,3答案：D,答案：A,3不等式log3(1x)log3(x2)的解集是_,4函数f(x)logax(
3、a0，且a1)在2,3上的最大值为1，则a_.解析：当a1时，f(x)的最大值是f(3)1，则loga31，a31.a3符合题意；当01.a2不合题意答案：3,5比较大小：(1)log0.81.5与log0.82；(2)log35与log64；(3)loga5.1与loga5.9(a0且a1),解：(1)ylog0.8x在(0，)内是减函数1.5log0.82.(2)log35log331log66log64，log35log64.(3)当a1时，函数ylogax在(0，)上是增函数，于是loga5.1loga5.9.综上所述，当a1时，loga5.1loga5.9.,类型一对数函数的单调性问
4、题【例1】讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性思路分析：本题为复合函数，要注意求解定义域和对a进行讨论,温馨提示：定义域是解决本题的首要一步，对函数进行分类讨论是本题的关键一步 函数ylogaf(x)可看作是ylogat与tf(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a1时，若tf(x)为增函数，则ylogaf(x)为增函数若f(x)为减函数，则ylogaf(x)为减函数；当0a1时，若tf(x)为增函数，则ylogaf(x)为减函数若tf(x)为减函数，则ylogaf(x)为增函数,1,思路分析：将常数1转化为对数式的形式，构造对数函数，利用对数函数的单调
5、性求解,温馨提示：解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形若非同解变形，最后一定要检验对数不等式常见有三种类型：(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0b的不等式，应将b化为以a为底的对数式的形式，再借助ylogax的单调性求解(3)形如logaxlogbx的形式，可利用图象求解,2根据下列各式，确定实数a的取值范围：(1)log0.5alog0.53；(2)log1.5(2a)log1.5(a1)解：(1)考查函数ylog0.5x，它在(0，)上是减函数因为log0.5alog
6、0.53，所以a0，即实数a的取值范围是0a3.,类型三对数函数的最值问题【例3】已知f(x)2log3x，x1,9，求yf(x)2f(x2)的最大值，及y取最大值时x的值思路分析：要求函数yf(x)2f(x2)的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域解：f(x)2log3x，yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2(2log3x)222log3xlog32x6log3x6(log3x3)23.,温馨提示：本例正确求解的关键是：函数yf(x)2f(x2)定义域的正确确定如果我们误认为1,9是它的定义域则将求得错误的最大值22.因此对复合函数的定义域的正确确定(
7、即不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑内函数的值域是外函数定义域的子集)，是解决有关复合函数问题的关键 含有对数式的函数最值问题一般首先考虑函数的定义域，在函数定义域的制约之下对数式就在一定的范围内取值，问题利用换元法往往就转化为一个函数在一个区间上的最值问题,3,由于对数函数ylogax的图象和性质与底数a的取值范围密切相关当a1时，函数ylogax在定义域内为单调增函数，当0a1时，函数ylogax在定义域内为单调减函数，因此当题目条件中所给的对数函数的底数含有参数时，常依底数的取值范围为分类标准进行分类讨论求解,1对数函数的单调性要结合其图象理解和记忆2对数值大小的比较是对数函数的单调性、特殊点的具体应用3和对数函数有关的值域问题，也是利用了对数函数的单调性4复合函数yf(x)的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出yf(u)与u(x)两个函数的单调性，再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数为何有“同增异减”？我们可以抓住“x的变化u(x)的变化yf(u)的变化”这样一条思路进行分析,绿色通道,
