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1、,2.2.1对数及其运算,陈 征,对数,2000年我国国民经济生产总值为a亿元,如果按平均每年增长8.2%估算,那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的两倍. 假设经过x年,国民经济生产总值是2000年的2倍,依题意,有 a(1+8.2%)x=2a,即 1.082x=2,指数x取何值时满足这个等式?,如果a(a0,a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作 logaN=b,对数概念,思考,对数式 中字母的取值范围是什么？,（1）bR,（2）N0,（3）a0,且a1,logaN=b,a0,a1?,log(-2)8log01log15log11,不存在,不存在,不存在
2、,有无数个值,对于某些N,值不存在,对于某些N,值不存在,对于某些N,值不存在,对于N=1,值不唯一,在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,所以ab=N中,N总是正数,即:零和负数没有对数.,N0,对任何实数a(a0,a1),指数函数y=ax,xR的值域是(0,+),所以对任何实数N,logaN是存在,且由于指数函数是单调函数,logaN是唯一.,练一练,将下列对数形式写成对数形式,log1.0822=xlog464=3log84=log100.01=-2,以1.082为底2的对数是x以4为底64的对数是3以8为底4的对数是以10为底0.01的对数是-2,思考,(1)式子ab=N和logaN=
3、b(a0,a1,N0)有什么关系?,logaN=b,ab=N,底数(a0,a1),真数,幂,指数,对数,对数式与指数的关系,思考,(2)求对数loga1,logaa(a0,a1).,对于a0,a1都有 a0=1,a1=a所以,loga1=0,logaa=1,思考,令b=logaN 知 ab=N 即,alogaN=N,通常将以10为底的对数叫作常用对数,N的常用对数log10N简记作lgN.e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.科学技术中常以e作为对数的底数,以e为底的对数称为自然对数.N的自然对数logeN简记作lnN.,常用对数及自然对数,例题讲解,例1 将下列指数式写成
4、对数式:,例2 将下列对数式写成指数式,例题讲解,例题讲解,例3 求下列各式的值:,练习,1.将下列系数式写成对数式:,练习,2.将下列对数式写成指数式:,练习,3.求下列对数的值:,(1)3,(2)-2,(3)5,(4)0,(5)2,(6)3,(7)-2,(8)1,对数的运算性质,1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质,动手实践,3,5,8,1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质,动手实践,3,2,5,1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质,动手实践,5,5,2,利用科学计算器,完成下表(精确到0.000001)并
5、从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质,对数的运算性质,对数的运算性质,证明 设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.因为 MN=apaq=ap+q,所以p+q=loga(MN),即 loga(MN)=logaM+logaN,例4 计算,解 (1)log3(9235)=log392+log335 =log334+5log33 =4+5=9;,例5 用logax,logay,logaz表示下列各式:,(1)logax2yz=logax2+logay+logaz =2logax+logay+logaz,=logax2-logayz=2logax-(logay+loga
6、z)=2logax-logay-logaz,例6 科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设I为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r可定义为r=lgI,试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度.,解 设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2,由题意得,lgI2-lgI1=0.9,思考交流,1.判断下列各式是否成立,如果不成立,举一个反例.,2.对数的运算性质有什么特点?,练习,1.求下列等式中的x的值:(1)logx81=2; (2)lg0.001=x; (3)10 x+lg2=2000.,2.求下列各式的值:,9,-3,3,-2,2,2,2,0,1.5,3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式:,练习,(1)2lgx+lgy+3lgz,小结,对数的概念,loga1=0,logaa=1,alogaN=N,零和负数没有对数,对数的运算性质,
