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1、1,1.5 全微分方程及积分因子,2,如果我们恰好碰见了方程,就可以马上写出它的隐式解,1.5.1全微分方程,3,定义1,则称微分方程,是全微分方程（或恰当方程.）,是恰当方程.,如,4,需考虑的问题,(1) 方程(1)是否为恰当方程?,(2) 若(1)是恰当方程,怎样求解?,(3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程 求解?,方程为恰当方程的充要条件,定理1,为恰当方程的充要条件是,5,证明,“必要性”,设(1)是恰当方程,故有,从而,故,6,“充分性”,即应满足,7,因此,事实上,8,故,(8),注:若(1)为恰当方程,则其通解为,9,恰当方程的求解,1 不定积分法,10,解:,
2、故所给方程是恰当方程.,11,即,积分后得:,故,从而方程的通解为,12,采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.,-应熟记一些简单二元函数的全微分.,如:,2 分组凑微法,13,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,或写成,故通解为:,14,解:,故所给方程是恰当方程.,把方程重新“分项组合”得,即,15,或写成,故通解为:,故所求的初值问题的解为:,16,定理1充分性的证明也可用如下方法:,由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:,3 线积分法,17,从而(1)的通解为,18,例4 求解方程,解:,故所给方程是恰当方程.,19,故通解
3、为:,20,非恰当方程如何求解?,对变量分离方程:,不是恰当方程.,是恰当方程.,1.5.2 积分因子,21,对一阶线性方程:,不是恰当方程.,即,是恰当方程.,可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.,22,1 定义,例5,解:,对方程有,23,由于,把以上方程重新“分项组合”得,即,24,也即,故所给方程的通解为:,积分因子的确定,即,25,尽管如此,方程,还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.,26,变成,即,27,此时求得积分因子,28,定理,微分方程,29,30,解:,由于,故它不是恰当方程,又由于,31,利用恰当方程求解法得通解为,积分因子是求解积分方程的一个极为重
4、要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.,32,例7 求解方程,解:,方程改写为:,或:,易看出,此方程有积分因子,33,即,故方程的通解为:,例8 求解方程,解:,故方程不是恰当方程,34,方法1:,即,故方程的通解为:,35,方法2:,方程改写为:,容易看出方程左侧有积分因子:,故方程的通解为:,36,方法3:,方程改写为:,这是齐次方程,即,故通解为:,变量还原得原方程的通解为:,37,方法4:,方程改写为:,故方程的通解为:,即方程的通解为:,38,作 业,P38 1,2,3,4,
