排列组合习题课(定稿)ppt课件.ppt

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1、排列组合方法例谈,2014-04-25,2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力,3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.,教学目标,1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。,解排列组合综合性问题的一般过程如下:,1.认真审题弄清要做什么事；,2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；,3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.,一、特殊元素

2、和特殊位置优先策略(优限法)例1.1: 7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(特殊元素分析),解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法,A55,A22,例1.2: 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. (特殊位置分析),解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再

3、处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件,1、 四名男生和三名女生站成一排：,练习题,(1)一共有多少种不同的排法？,(2)甲站在中间的不同排法有多少种？,(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？,(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？,带有限制的排列题，既可以从元素出发分析，也可以从位置出发分析,还可以使用排除法。,解（1）因为男女生共7人，不受任何条件限制，故共有,=,(1)一共有多少种不同的排法？,四名男生和三名女生站成一排：,甲,(2)因甲站在中间已确定，而其余6人可站在除中间位置之外的

4、六个不同位置上，所以共有,(2)甲站在中间的不同排法有多少种？,四名男生和三名女生站成一排：,乙,甲,甲、乙二人站在两端，这二人是特殊元素，先考虑元素，甲、乙二人站在两端的站法有,种，再考虑其余5人在中间5个不同位置的站法有,.,(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？,四名男生和三名女生站成一排：,(4)解法一,直接法 （特殊元素分析）,甲,首先考虑特殊元素甲，甲在中间5个位置任选 一个有,种排法，,再考虑一般元素的排法有,种，,由分布计数原理得共有,.,四名男生和三名女生站成一排：,(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？,(4)解法二,直接法 （特殊位置分析）,甲,首先考虑特殊位置排

5、头和排尾的排法，由于甲不能在两端，因此只能从其余6人中任选二人排在两端有,种排法，,再考虑一般位置的排法有,种，,所以共有排法,.,四名男生和三名女生站成一排：,(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？,(4)解法三,间接法 （也称排除法）,甲,不考虑条件限制，男女生共7人的不同站法只有,种，,如果甲站在排头有,种不同站法，,由排除法知，甲不排头，也不排尾的排法共有,-2,四名男生和三名女生站成一排：,(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？,2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？,练习题,二.相邻元素捆绑策略(捆绑法),例2.

6、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法.,解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.,某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）,练习题,20,解：把有3枪连在一起命中的情况看成一个整体，则它与另一命中的一枪不能再相邻，故可用“插空法”，首先对没有命中的4枪进行排序，因其地位平等，只有一种排法，

7、然后插入命中的情况，有A5220种,三.不相邻问题插空策略(插空法),例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？,解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 种，,元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端,2. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）,42,1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）,练

8、习题,30,四.重排问题求幂策略,例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法,解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.,7,某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法（ ）,练习题,五.多排问题直排策略,例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.,六.平均(非平均)分组问题除法策略,例6. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？,解: 分三步取书得 种方法

9、,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。,平均(非平均)分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。,练习题:1.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队, 有多少分法？,2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的

10、两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_,七.元素相同问题隔板策略,例七.有10个相同的球，分给7个不同的盒子，每个盒子至少一个球,有多少种分配方案？,解：因为10个球没有差别，把它们排成一排。相邻球之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插入6个隔板，可把球分成份，对应地分给个不同的盒子，每一种插板方法对应一种分法,共有_种分法。,盒子一,盒子二,盒子三,盒子四,盒子五,盒子六,盒子七,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,练习题,10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球,共有多少装法？,3.

11、x+y+z+w=100求这个方程的自然数解 的组数,2. x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解的组数.,解：x+y+z+w=100，求这个方程的自然数解的组数转化为（x+1）+（y+1）+（z+1）+（w+1）=104这个方程的自然数解组数再转化为a+b+c+d=104的正整数解组数。C(103,3),八.实际操作穷举(着色)策略,例八.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操

12、作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有 种 .,2,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果.,同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有_ 种？,9,2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有_种.,72,设四人分别为a、b、c、d，写的卡片分别为A、B、C、D，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法，不妨

13、设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，所以共有3311=9种分配方式，,九.定序问题倍缩(空位、插入）策略,例9.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少种不同的排法,解:,(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：,（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法,1,思考:可以先让甲乙丙就坐吗?,（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法,4*5

14、*6*7,定序问题可以用倍缩法，(即n个不同的元素中有m个元素已定好位置的排法有:n!/m!种.)还可转化为占位插空模型处理,练习题（导学P.67变式2),10人身高各不相等,排成前后两排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,十.环排问题线排策略,例10. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?,解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有_ 种排法即,（5-1)！,一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有,练习题,6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈,12

15、0,十一.排列组合混合问题先选后排策略,例11.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有_种方法.再把4个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有_,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?,练习题,一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_ 种,192,解：先在正副班长里选一名，即C2(1)再在4名战士里选3名，即C4(3)然后4个人

16、随机分配任务，即A4(4)故选法有C2(1)*C4(3)*A4(4)=2*4*24=192种,九.小集团问题先整体后局部策略,例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？,解：把,当作一个小集团与排队共有_种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有_种排法.,小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_,2. 5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相

17、邻的排法有_种,十一.正难则反总体淘汰策略,例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？,解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。,再淘汰和小于10的偶数共_,符合条件的取法共有_,9,+,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.,我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?,练习题,十三. 合理分类与分步策略,例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个

18、2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?,解：,10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。,本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。,1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_,34,练习题,2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船

19、最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.,27,十四.构造模型策略,例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有_ 种,一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决,练习题,某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？,120,解：

20、就是还剩6个空位，首尾必须是空位，有5个空格，4个人插空即A54,十六. 分解与合成策略,例16. 30030能被多少个不同的偶数整除,分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113依题 意可知偶因数必先取2,再从其余5个 因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为：,例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线,解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共_,6,658=174,分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案

21、 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略,十七.化归策略,例18. 25人排成55方队,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的 选法有多少种？,解：,将这个问题退化成9人排成33方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，,从55方队中选取3行3列有_选法所以从55方队选不在同一行也不在同一列的3人有_选法。,处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题,如此继续下去.从33方队中选3人的方法有_种。再从55

22、方队选出33方队便可解决问题,某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？,练习题,解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.,例19.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .,分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.,十八.住店法策略,小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。,