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1、空间元素的位置关系(1)-平行【教学目标】掌握空间元素的平行关系的判定与性质的有关知识，并能运用这些知识解决与平行有关的问题。【教学重点】空间线线、线面、面面平行关系的转化。【教学难点】线面平行的各种判定方法。【教学过程】一.课前预习1（05北京）在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）。 ABC/平面PDF BDF平面PA E C平面PDF平面ABC D平面PAE平面 ABC2(05湖北) 如图，在三棱柱中，点E、F、H、K分别为、 的中点，G为ABC的重心从K、H、G、中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( )。A
2、K BH CG D3（05广东）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若；若m、l是异面直线，；若；若其中为假命题的是（ ）。A B C D4（05辽宁）已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若； 若；若；若m、n是异面直线，其中真命题是（ ）。A和B和C和D和5.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只须满足 时，就有MN/平面B1BDD1（请填出你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能情况）。二、梳理知识立体几何
3、中的核心内容是空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，实质上是不同层次的平行，垂直关系的相互转化，任何一个问题的解决，都是从已知的某些位置关系转化为所要求证的位置关系，解决问题的过程就是寻求或创造条件完成这些转化。其中直线与平面的平行是联系直线与直线平行，平面与平面平行的纽带，同时也是立体几何中某些角，距离转化的依据；1.线与线、线与面、面与面的位置关系，及其判定定理2.重要判定定理(1) 平面外的直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行(线面平行判定定理)(2) 平面内两条直交直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行(面面平行判定定理)3.证明直线与平面平行的方法有
4、：依定义采用反证法；判定定理；面面平行的性质定理。三、典型例题例1如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。（1）求证：PB/平面EAC；（2）求证：AE平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角APCD的正切值；（4）当为何值时，PBAC ？例2（05天津）如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积例3. 如图1，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点。
5、（1）求证：EFGF；（2）求证：MN平面EFGH；（3）若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。四、巩固练习1、下列命题中，正确的是( )A、若直线a平行于平面内的一条直线b，则a/B、若直线a垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则abC、若直线a垂直于面，直线b是面的斜线，则a与b是异面直线D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥2、设a、b是两条异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论正确的是( )A、过P有一条直线和a、b都平行, B、过P有一条直线和a、b都相交;C、过P有一条直线和a、b都垂直, D、过P有一个平面与a、b都平行;
6、 3（05山东）已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题： 若，则平行于平面内的任意一条直线 若则 若,则若则 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命的序号)4.如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C在平面内，斜边AB/，并且AB与平面间的距离为，A与B在内的射影分别为A1，B1，且A1C=3，B1C=4，则 AB= ，A1CB1= 。5、在正方体AC1中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面对角线AB1，那么另外三条线段可以是_(只需写出一种情况)6、是两个不同的平面，m、n是平面、之外的两条直线，给出四个判断：mn, , m,
7、n以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：_7四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形且垂直于底面，又底面ABCD是矩形，E是侧棱PD的中点.（1）求证：PB/平面ACE；（2）若PBAC求PB与底面ABCD所成角的大小.8如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，正是AC中点，(1)求证：平面BEC1平面ACC1A1；(2)求证：AB1/平面BEC；(3)求直线AB1到平面BEC1的距离。 参考答案：一.课前预习: 1C 2 C 3 C 4 D，5 点M只须满足在直线EH上时，三、典型例题例1（1）证明：连DB，设，则在矩形ABCD中，O为BD中点。连EO。因为E为D
8、P中点，所以，。又因为平面EAC，平面EAC，所以，PB/平面EAC。（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，又，所以，AE平面PCD。（3）在PC上取点M使得。由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以所以，在等腰直角三角形DPC中，连接，因为AE平面PCD，所以，。所以，为二面角APCD的平面角。在中，。即二面角APCD的正切值为。（4）设N为AD中点，连接PN，则。又面PAD底面ABCD，所以，PN底面ABCD。所以，NB为PB在面ABCD上的射影。要使PBAC，需且只需NBAC在矩形ABCD中，设AD1，ABx则，解之得：。所以，当时，PBAC。证法二：（按解法一相应步
9、骤给分）设N为AD中点，Q为BC中点，则因为PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，又因为侧面PAD底面ABCD，所以，以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系。设，则，。（2），所以，。又，所以，AE平面PCD。（3）当时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；设平面PAC的法向量为，则，即，取，可得：。所以，。向量与所成角的余弦值为：。所以，。又由图可知，二面角APCD的平面角为锐角，所以，二面角APCD的平面角就是向量与所成角的补角。其正切值等于。（4），令，得，所以，。所以，当时，PBAC。例2（05天津）解：（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为
10、与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点因此，由三垂线定理，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，故所求球的半径，球的体积。例3.解 （1）如图2，作GQB1C1于Q，连接FQ，则GQ平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ，由三垂线定理得EFGF。（2）连DG和EG。N为CL的中点，由正方形的
11、对称性，N也为DG的中点。在DEG中，由三角形中位线性质得MNEG，又EG平面EFGH，MN平面EFGH，MN平面EFGH。（3）图3为图2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h，VENGH=VNHEGAA1SNHG=hSHEG2=hEHHG又EH=,HG= =h，h=四、巩固练习1、D，2、C， 3、，4、AB=，A1CB1=5 、A1C1，BC，DD1或BC1，A1D1，DC； 6、或； 7（1）连BD交AC于D，ABCD的矩形，O为BD的中点，又E为PD的中点，连OE，则OEPB.PB平面ACE6分；（2）取AD的中点H，PAD为正三角形，则PHAD，又平面PAD底面ABCD. PH底面ABCD，连结BH，则PBH为PB与底面ABCD所成的角.当PBAC时，BHAC，易求得PH=BH，PBH=45即PB与底面ABCD所成的角为45. 8、(1)分析：只要证BE垂直平面内两条相交直线，即BEAC，BEC1C。 (2)分析：只要证AB1平行平面BEC1的一条直线，因为E是中点寻找三角形的中位线，设B1C与BC1的交点为O，则AB1/EO可证。 (3)由(2)转化为求点A到平面BEC1的距离，首先考虑的用等体积法：得.第10页- -
