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1、 目标函数极值求解的几种方法 题目：，取初始点，分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法编程实现。一维搜索法：迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点后需要按某种规则确定一个方向，再从出发，沿方向在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到的后继点，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。本文采用的是第
2、一类试探法中的黄金分割法。原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程： 置初始区间及精度要求L0,计算试探点和，计算函数值和，计算公式是：，。令k=1。 若则停止计算。否则，当时,转步骤;当时,转步骤 。 置,计算函数值,转。 置,计算函数值,转。 置k=k+1返回步骤 。1. 最速下降法 实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于这样一种愿望提出的最速下降法,并且经过一系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。最速下降法的迭代公式是，其中是从出发的搜索方向，这里取在点处最速下降方向，即。是从出发沿方向进行的
3、一维搜索步长，满足。实现步骤如下： 给定初点 ，允许误差，置k=1。 计算搜索方向。 若，则停止计算；否则，从出发，沿方向进行的一维搜索，求，使。 ，置k=k+1返回步骤 。2. 拟牛顿法 基本思想是用不包括二阶导数的矩阵近似牛顿法中的Hesse矩阵的逆矩阵，因构造近似矩阵的方法不同，因而出现了不同的拟牛顿法。 牛顿法迭代公式：，是在点处的牛顿方向，是从出发沿牛顿方向进行搜索的最优步长。用不包括二阶导数的矩阵近似取代牛顿法中的Hesse矩阵的逆矩阵，需满足拟牛顿条件。实现步骤： 给定初点 ，允许误差。 置（单位矩阵），计算出在处的梯度，置k=1。 令。 从出发沿方向搜索，求步长，使它满足，令。
4、 检验是否满足收敛标准，若，则停止迭代，得到点，否则进行步骤。 若k=n，令，返回；否则进行步骤。令，置k=k+1 。返回。3. 共轭梯度法若是中k个方向，它们两两关于A共轭，即满足 ，称这组方向为A的k个共轭方向。共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点，根据共轭方向的基本性质这种方法具有二次终止性。实现步骤如下： 给定初点 ，允许误差，置 ，k=j=1。 若，则停止计算；否则，作一维搜索，求，满足 ，令。 若，则进行步骤，否则进行步骤 令，其中，置j=j+1，转。 令，置j=1，k=k+1，转 。4.
5、实验结果 用以上三种方法通过Matlab编程得到实验数据。初始值 。迭代精度sum(abs(x1-x).2)n if abs(lanmda-b)1e-4 alfa=mu; return else a=lanmda; lanmda=mu; m=n; mu=a+tao*(b-a); alfa=mu; n=(x(1)+alfa*d(1)-2)2+2*(x(2)+alfa*d(2)-1)2; end else if abs(mu-a)1e-4 alfa=lanmda; return else b=mu; mu=lanmda; n=m; lanmda=a+(1-tao)*(b-a); alfa=lanm
6、da; m=(x(1)+alfa*d(1)-2)2+2*(x(2)+alfa*d(2)-1)2; end endend%梯度子函数，tidu.m,输入的变量为二维的向量，返回梯度在x处的数值向量function g=tidu(x) %待求解的函数 f=(x(1)-2)2+2*(x(2)-1)2; %求函数的梯度表达式 g=2*(x(1)-2) 4*(x(2)-1); x1=x(1); x2=x(2);%最速下降法极小化函数的通用子函数zuisu.m%输入变量为初始的迭代点，输出变量为极小值点function x0=zuisu(x)%判断梯度范数是否满足计算精度1e-4的要求.是,标志变量设为1
7、，输出结果; %否,标志变量设为0if sum(abs(tidu(x).2)1e-4 flag=1; x0=x;else flag=0;end%循环求解函数的极小点while flag=0 d=-tidu(x); a=gold(x,d); x=x+a*d %判断梯度范数是否满足计算精度的要求.是,标志变量设为1，输出结果; %否,标志变量设为0，继续迭代 if sum(abs(tidu(x).2)1e-4 flag=1; x0=x; else flag=0; endEnd%拟牛顿法极小化函数的通用子函数，gonge.m%输入变量为初始的迭代点，输出变量为极小值点function x0=nine
8、wton(x)%判断梯度范数是否满足计算精度的要求.是,标志变量设为1，输出结果;%否,标志变量设为0，继续迭代if sum(abs(tidu(x).2)1e-4 flag=1； x0=x;else flag=0;end%初始的H矩阵为单位矩阵h0=eye(2);%循环求解函数的极小点while flag=0 %计算新的迭代方向 d=-h0*tidu(x); a=gold(x,d); x1=(x+a*h0*d); s=x1-x; y=tidu(x1)-tidu(x); v=s*y; %校正H矩阵 h0=(eye(2)-s*y./v)*h0*(eye(2)-y*s./v)+s*s./v; %判断
9、下一次和上一次迭代点之差是否满足计算精度的要求.是,标志变量设为1，输出结果;否,标志变量设为0，继续迭代 if sum(abs(x-x1).2)1e-4 flag=1; x0=x; else flag=0; end x=x1end %共轭剃度法极小化函数的通用子函数，gonge.m%输入变量为初始的迭代点，输出变量为极小值点function x0=gonge(x)%判断梯度范数是否满足计算精度的要求.是,标志变量设为1，输出结果;%否,标志变量设为0，继续迭代if sum(abs(tidu(x).2)1e-4 flag=1; x0=x;else flag=0;end%第一次的迭代方法为负梯度方向d1=-tidu(x);a=gold(x,d1);x1=x+a*d1;%循环求解函数的极小点while flag=0 g1=tidu(x); g2=tidu(x1); %利用FR公式求解系数bata bata=(g2*g2)/(g1*g1); d2=-g2+bata*d1; a=gold(x1,d2); x=x1; x1=x+a*d2 %判断下一次和上一次迭代点之差是否满足计算精度的要求.是,标志变量设为1，输出结果;否,标志变量设为0，继续迭代 if sum(abs(x1-x).2)1e-4 flag=1; x0=x1; else flag=0; endend
