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1、1 层次分析方法建模,1 层次分析方法建模,一、层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造判断矩阵,用相互比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,一、层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际,3,层次分析法（AHP）求解流程图,3层次分析法（A
2、HP）求解流程图建立构造层次单层次总层次,二. 层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,二. 层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政,5,整个层次结构分析模型可以分成三层： 最高层 (目的层)合理使用利润，促进企业发展。 中间层 (各种使用企业留成利润方案所应当考虑的准则)进一步调动广大职工劳动积极性，大力提高企业技
3、术水平和尽力改善职工物质文化生活。 最低层（所考虑的五种措施）选择最优方案。这种层次结构分析模型可用下图所示。,5整个层次结构分析模型可以分成三层：,6,目标（O）层,准则（C）层,措施层(P),6合理使用企业利润调动职提高企改善职工发奖扩大集办职工建图书,例1 国家实力分析,例2 工作选择,国家综合实力国民军事科技社会对外美、俄、中、日、德等大国工作,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,过河的效益经济效益社会效益环境效益节省时间C1收入C2岸间商,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,过河的代价经济代价环境代价社会代价投入资金C1操作维护C2冲,例4 科技成果的综合评价,待评价的科技成果直接间接社会学
4、识学术技术技术效益C1水平C2,三. 层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,三. 层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数,1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质,正互矩阵：设 ，若元素 满足,一致矩阵：设 为一个正互矩阵，并且满足,1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互矩阵：设,一致矩阵性质：,设 ，则有(1)(2) A的每一行(列)元素均是第一行(列)相
5、应元素的正倍数，并且rank(A)=1(3) A的最大特征值 ，其余的特征值均为0.(4) 若 对应的特征向量为 ，则,一致矩阵性质： 设 ，,定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且,定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 , 是 A为一致阵的充要条件.,定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w,1）将 A的每一列向量归一化到 得,2. 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。,和法和法的步骤如下：,2）对 按行求和得,4）计算最大特征值,3）将
6、 归一化得 ，则 为近似特征向量；,1）将 A的每一列向量归一化到 得2. 正互反阵最大特征根和,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, ,根法取列向量的几何平均,幂法迭代算法,1）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度,2) 计算,3）归一化,5) 计算,简化计算,4）若 ，停止；否则，k:=k+1, 转2,根法取列向量的几何平均幂法迭代算法1）任取初始向量w,18,关于如何确定成对比较矩阵 中元素 的值, Saaty等建议试用19尺度，即 的取值范围是1,2，,9以及倒数是1,12,19, 判断矩
7、阵的元素一般采用19及其倒数的标度方法。,18关于如何确定成对比较矩阵,19,当CR=0.1时，必须重新调整成对比较矩阵A，直至具有满意的一致性。,一致性指标,随机一致性指标,一致性比率,19当CR0.1时，层次单排序的结果才认为是满意的，此时我,3. 特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,问题,一致阵A, 权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j)。,非线性最小二乘,线性化对数最小二乘,结果与根法相同,3. 特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应问题一致阵,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。,
8、成对比较,Ci:Cj (直接比较）,aij 1步强度,aisasj Ci通过Cs 与Cj的比较,aij(2) 2步强度,更能反映Ci对Cj 的强度,多步累积效应,体现多步累积效应,定理1,特征向量体现多步累积效应,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。成对比较C,4.不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联,不完全层次结构,设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得,讨论由w(2),W(3
9、)=(w1(3), w2(3)计算第3层对第1层权向量w(3）的方法,例: 评价教师贡献的层次结构,P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。,C1,C2支配元素的数目不等,4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元,不考虑支配元素数目不等的影响,仍用 计算,支配元素越多权重越大,用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正,若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T,公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1,再用 计算,支
10、配元素越多权重越小,教学、科研任务由上级安排,教学、科研靠个人积极性,考察一个特例：,不考虑支配元素数目不等的影响 仍用,5. 残缺成对比较阵的处理,miA第i 行中的个数,为残缺元素,5. 残缺成对比较阵的处理miA第i 行中的个数为残缺,6. 更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。,更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。,例,6. 更复杂的层次结构 递阶层次结构：层内各元素独立，无相,层次分析法的优点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试
11、分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略定性化为定量，结果粗糙；,主观主观因素作用大，结果可能难以服人。,层次分析法的优点 系统性将对象视作系统，按照分解、比较,你只闻到我的香水，却没看到我的汗水。你否定我的现在，我决定我的未来！你嘲笑我一无所有，不配去爱，我可怜你总是等待。你可以轻视我们的年轻，我们会证明这是谁的时代。梦想是注定孤独的旅行，路上少不了质疑和嘲笑，但那又怎样？哪怕遍体鳞伤，也要活得漂亮！,你只闻到我的香水，却没看到我的汗水。,
