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1、,第一章习题解答,1.2 证明,证：,n为奇数,0,1.4 计算下面两个函数的一维卷积,解：（1）改变量,（2）折叠,（3）位移,当,（3）位移,当,相乘、积分得卷积,如图,当,如图,相乘、积分得卷积,0,其它,1.5 计算下列一维卷积,解（1）,2,1,0,其它,0,其它,=2,=,1.6 已知,的傅里叶变换为,试求,解：,利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案,1.7 计算积分,解：利用广义巴塞伐定理求解,1.8应用卷积定理求,的傅里叶变换,解：,1/2,0,其它,1.9 设,求,解：,1.10设线性平移不变系统的原点响应为,试计算系统对阶跃函数step(x)的响应。,解：,（1）、将f
2、(x)和h (x)变为f ()和h ()，并画出相应的曲线,（2）、将h() h(-),只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜,像h(-)曲线。,（3）、将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)，,因此 g(x)=0,1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为,和,试计算各自对输入函数,的响应,和,解：,1.12 已知一平面波的复振幅表达式为,试计算其波长以及沿x,y,z方向的空间频率。,第二章习题解答,2.1单位振幅的平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。,解：,解：设入射激光束的复振幅A0，强度为,2.1 焦距f=500mm，直径D=
3、50mm的透镜将波长,的激光束聚焦，激光束的截面D1=20mm。试求透镜焦点处的光强是激光束光强的多少倍？,通过透镜后的出,射光场为,将此式代入菲涅耳衍射公式,3、波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模 板，其振幅透过率为,求透射场的角谱。,解：,4如图所示的等腰直角三角形孔径放在透镜的前焦平面上，以单位振幅的单色平面波垂直照明，试求透镜后焦面上的夫琅和费衍射图样的复振幅分布。,2.5 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化 ，则不论孔径形状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。,解：由于孔径上的场没有相位的变化，则孔径的透过率函数为实数,2.6 在
4、题2.5中，若孔径对于某一直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。,A,B,C,D,P,因为孔径关于AB对称，所以,所以,结论成立,因为,2.7 在题2.5中，若孔径具有对称中心，则衍射图样将出现条纹花样,衍射图样的强度由,要使I=0,所以强度为零是它们的交点，但因为开孔对于原点对称，所以有,这时，S=0，强度为零的轨迹是由,表示的曲线。在衍射图中形成条纹花样。,2.8证明阵列定理.设衍射屏上有N个形状和方位均相同的全等形开孔，在每个孔内取一个位置相应的点代表孔径位置，则夫琅和费衍射场是下述两个因子的乘积；（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（衍射屏的原点处不
5、一定有开孔）；（2）N个点源在观察面上的干涉。,上式就是所谓的阵列定理，第一个因子相当于把某一个小孔的相应点移到原点时单孔的夫琅和费衍射图样；第二个因子相当于N个点源分别位于,时在观察面上形成的干涉图样,第一个因子称为形状因子，它取决于单个小孔的衍射；第二个称为阵列因子，只取决于小孔相互排列的情况，而与衍射小孔本身的形状无关。,如果各衍射孔的位置是随机分布的，则可用概率论中的随机行走问题来计算,2.9如上题，小孔规则排列，则,利用,2.10一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数,（1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？（2）给出此屏的焦距表达式。（3）什么特性会严重地限制这种屏用做成像装置（特
6、别是对于 彩色物体）,平面波,会聚球面波,发散球面波,在成像和傅里叶变换性质上类似于透镜。,焦距,色散特性会严重地限制这种屏用做成像装置,第三章习题,3.1参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数3.1.5式时，对于积分号前的相位因子,试问（1）物平面上半径多大时，相位因子,相对于它在原点之值正好改变弧度？,（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一零点的半径是多少？,（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,和d0,3.1.3,之间存在什么关系时可以弃去相位因子,解：,（1）原点相位为零，因此，与原点相位差为的条件是,（2）由3.1.5式，相干成像系统的
7、点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点,式中,考虑(x0,y0)的点扩散函数,且设其第一个零点在原点处,如图，只有在以r0为半径的区域内的各点才对,有贡献,（3)根据线性系统理论,像面上原点处的场分布,必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对原点的贡献h(x0,yo;0,0).按照上面的分析,如果略去h第一个零点以外的影响,即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献,那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近r小于等于r0范围内的小区域.当这个小区域内各点的相位因子expjkr20/2d0变化不大,就可认为(3.1.3)式的近似成立,而将它弃去.假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(
8、例如/16)就满足以上要求,则,数据：,这一条件是极容易满足的。,3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为,放在上图3.3.1所示的成像系统的物平面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为，透镜焦距为f,孔径为D。（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大角等于多少？求此时像面强度分布；（3）若采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与=0时的截止频率比较，结论如何？,解：斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为,则物平面上的透射光场为,其频谱为,由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了sin/距离。,（2）要使像面有强度变化，
9、至少要有两个频率分量通过系统。系统的截止,最大的角,此时像面上的复振幅分布和强度分布为,(3）照明光束的倾角取最大值时，,系统的截止频率为,因此光栅的最大频率,因此当采用最大倾角的平面波照射时，系统的截止频率提高了一倍，也就是提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。,3.3光学传递函数在=0处都等于1,这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？,解：（1）,光学传递函数为,所以当,=0,时。,这是归一化的结果。,（2）由上式可知，光学传递函数的值不可能大于1。,（3）如果光学系统真的实现了点物成点像，点扩散函数是函数，这时的光学传
10、递函数为常数，等于1.,3.4 当非相干成像系统的点扩散函数hI(xi,yi)成点对称时，则其光学传递函数是实函数。,OTF,所以OTF为实函数,3.5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多少？,用公式(3.4.15)来分析.首先,由于出瞳上的小圆孔是随机排列的,因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统的截止频率在任何方向上均相同.其次,作为近似估计,只考虑每个小孔自身的重叠情况,而不计及和其它小孔的重叠.这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积,其
11、结果与单个小孔的重叠情况是一样的,即截止频为约为2/di,由2很小,所以系统实现低通滤波。,OTF,第五章习题,5.1证明:若一平面物体的全息图记录在一个与物体相平行的平面内,则最后所得到的像将在一个与全息图平行的平面内.(为简单起见,可设参考光为一平面波.),解：利用点源全息图公式(5.5.13)-(5.5.15),取物平面上任一点来研究.为简单起见,设1 = 2, 参考光波和再现光波是波矢平行于yz平面的平面波,即zP=zr=, xP=xr=0.于是有,不管是原始虚像还是共轭实像，zi均与x0,y0无关，即不管物点在物平面上位于何处，其像点均在同一平面内,但位置有变化,随参考光波和再现光波
12、的不同而在像平面内发生平移.实际上zi只与z0有关，而平面物体的z0都相同，所以再现像在同一平面内。,(2)设 zp=,Zr=2zo,zo=1Ocm,问Zi是多少?放大率M是多少?,5.2 制作一全息图,记录时用的是氧离子激光器波长为488.Om的光,而成像是用He-Ne激光器波长为632.8m的光:,(1)设zp=,zr=,zo=1Ocm,问像距zi是多少?,5.3证明:若2=l ,及zp=Zr,则得到一个放大率为1的虚像;若2=l ,及zp=-Zr时,则得到一个放大率为1的实像.,由5.5.13可证明,5.4下表列举了几种底片的MTF的近似截止频率: 型号 线/mm Kodak Tri-x
13、 5O kodak 高反差片 60 kodak S0-243 300 Agfa Agepam FF 600设用632.8m波长照明,采用无透镜傅里叶变换记录光路,参考点和物体离底片lOcm.若物点位于某一大小的圆(在参考点附近)之外,则不能产生对应的像点,试对每种底片估计这个圆的半径.,5.6.3 无透镜傅里叶变换全息图,解：物点离参考点越远，空间频率越高。若,最高空间频率，那么，只有坐标满足条件,是乳胶能分辨的,的那些物点才能在再现像中出现。,5.6.12,55 证明 :图题5.1(a)和(b)的光路都可以记录物体的准傅里叶变换全息图.,图题5.1准傅里叶变换全息图的两种光路,解、1 物体位
14、于透镜前d0处，应用公式2.4.9 P51,式中,参考光在后焦平面上形成的光场分布为,这里的记录平面并不是物和参考光的准确傅里叶变换平面,多了一个二次相位因子,因此说全息图平面是物光场分布的准傅里叶变换平面.全息图平面上的光强分布为,由此可见,二次相位因子已相互抵消,只有倾斜因子和物频谱,故记录了物的傅里叶频谱,但记录面又不是物的准确傅里叶变换平面,所以称为准傅里叶变换全息图,(2)物在透镜后f-d。处,应用公式(2.4.15，P53）得透镜后焦面上的物场分布为,式中,参考光在后焦平面上形成的光场分布为,全息图平面上的光强分布为,.,由于物光波和参考光波有相同的相位因子,可相互抵消,从而得到物
15、体的准傅里叶变换全息图。,5.6散射物体的菲涅耳全息图的一个有趣性质是,全息图上局部区域的划痕和脏迹并不影响像的再现,甚至取出全息图的一个碎片,仍能完整地再现原始物体的像,这一性质称为全息图的冗余性.(1)应用全息照相的基本原理,对这一性质加以说明.(2)碎片的尺寸对再现像的质量有哪些影响?,解：(1)对于散射物体的菲涅耳全息图,物体与底片之间的关系是点面对应关系,即每一物点所发出的光波都直接照射到记录介质的整个平面上;反过来,菲涅耳全息图上的每一点都包含了物体各点的全部信息,称为全息图的“冗余”性.这意味着只要一小块全息图就可完整再现原始物的像。因此,局部区域的划痕和脏迹并不影响物的完整再现
16、,甚至取出一小块仍能完整再现原始物体的像.,（2）虽然,冗余的各小块并不带来新的信息,但各小块再现像的叠加提高了像的信噪比,增加了像的亮度 其次,一个物点再现为一个像点是在假定全息记录介质也即全息图为无限大的情况下得出的.对于有限大小的全息图,点物的再现像是一个衍射斑,全息图越小，衍射斑越大,分辨率越低.碎块的再现像分辨率较低。 最后,通过全息图来观察再现像,尤如通过橱窗看里面的陈列品一,如将橱窗的一都分遮档,有些物品就可能看不到.因此,小块全息图再现时,视场较小。,。,5.7、见图题5.2(a),点源置于透镜前焦点,全息图可以记录透镜的像差.试证明:用共轭参考光照明图题5.2(b) 可以补偿
17、透镜像差,在原源点处产生一个理想的衍射斑.,解：将点源置于透镜前焦点,由于透镜有像差,通过透镜出射的波面不为平面.参考光波用平面波,在全息图平面上物光和参考光波的复振幅分布为,全息图上的光强分布为,（a）,（b）,全息图上的振幅透过率为,再现时用参考光波的共轭波，即C=R*，再现光场为,如果使exp-j0(x,y) 代表的光波*通过透镜,则与透镜所产生的有像差的波面形状相同,方向相反,再经过透镜后可变成球面波，在焦点平面上形成一个理想系统的衍射斑,如图题52(b)所示,5.8、彩虹全息照相中使用狭缝的作用是什么?为什么彩虹全息图的色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上？,解： 在彩虹全息照相中使用
18、狭缝的目的是为了能在白光照明下再现准单色像.在普通全息照相中,若用白光照明全息图再现时,不同波长的光同时进入人眼,我们将同时观察到相互错位的不同颜色的再现像,造成再现像的模糊,即色模糊.在彩虹全息照相中,由于狭缝起了分色作用,再现过程中不同波长的光对应不同的水平狭缝位置,通过某一狭缝位置只能看到某一准单色的像,从而避免了色模糊.在彩虹全息照相中,为了便于双眼观察,参考平面波的选择总是使全息图的光栅结构主要沿水平方向,（P142）因而色散沿竖直方向.狭缝沿水平方向放置,这样色散方向与狭缝垂直,即色模糊主要发生在与狭缝垂直的方向上.这样做的结果便于人眼上下移动选择不同颜色的准单色像.,5.9、说明
19、傅里叶变换全息图的记录和再现过程中,可以采用平行光入射和点光源照明两种方式,并且这两种方式是独立的.,解：傅里叶变换全息图的核心是(1)通过一个傅里叶变换装置将物频谱记录下来;(2)再通过一个傅里叶装置将物谱还原成物.因此,不管记录和再现装置有何具体差异,只要有傅里叶变换功能即可.当把物体置于变换透镜的前焦面,若用平行光照明,则透镜的后焦面则为物的标准频谱面:若用点光源照明,则点光源的物像共轭面即为物的标准频谱面.,因此,记录时无论用平行光或点光源照明,均可在相应的共轭面处记录下标准的物谱.同样,再现时无论用平行光照明或点光源照明均可在共轭面处得到物.平行光照明和点光源照明可任意配置,这两种方
20、式是独立的。,5.10、曾有人提出用波长为0.1m的辐射来记录一张X射线全息图,然后用波长为600.nm的可见光来再现像.选择如图题5.3(上部)所示的无透镜傅里叶变换记录光路,物体的宽度为0.1mm,物体和参考点源之间的最小距离选为0.1mm,以确保孪生像和“同轴”干涉分离开。X射线底片放在离物体2cm处。（1）投射到底片上的强度图案中的最大频率（周/mm)是多少？（2）假设底片分辨率足以记录所有的入射强度变化，有人提议用图5.3(下部）所示的方法来再现成像，为什么这个实验不会成功？,0.lmm,0.1mm,y,解：（1）选择参考光源位于坐标原点，且y轴方向向下，则在公式,这样一张全息图所记
21、录的空间频率范围为,中,（2）当用波长600nm的单色平面波垂直照射这张全息图时，设U（x,y,0）为透过全息图的光场复振幅分布，则它的角谱为,因为,所以,不为零,0,其它,由角谱传播公式得,因为,这表明全息图所透过的波是倏逝波，在全息图后几个波长的距离内就衰减为零，没有波会通过透镜再成像，故实验不会成功。,(3)若采用修正离轴参考光编码方法,计算全息图上抽样单元总数是多少.(4)两种编码方法在全息图上抽样单元总数有何不同？原因是什么？,第六章 习题,1、一个二维物函数f(x,y),在空域尺寸为1010mm2,最高空间频率为5线/mm,为了制作一张傅里叶变换全息图,(1)确定物面抽样点总数.,
22、(2)若采用罗曼型迂回相位编码方法,计算全息图上抽样单元总数是多少？,解（1）)假定物的空间尺寸和频宽均是有限的。设物面的空间尺寸为x,y频宽2Bx,2By 据抽样定理, 故抽样点总数N(即空间带宽积SW) 为,(2)、罗曼计算全息图的编码方法是在每一个抽样单元里用开孔大小和开孔的位置来编码物光波在该点的振幅和相位,根据抽样定理,在物面上的抽样单元数应为物面的空间带宽积，即N=SW =104.要制作傅里叶变换全息图,为了不丢失信息,空间带宽积应保持不变,故在谱面上的抽样点数仍应为 N=SW =104.,(3)对于修正离轴参考光的编码方法,为满足离轴的要求,载频应满足: Bx为满足制作全息图的要
23、求,其抽样间隔必须满足.,因此其抽样点数为,修正型离轴全息函数空间频谱,修正型离轴全息函数抽样后的频谱,两种编码方法的抽样点总数为2倍关系，这是因为，在罗曼型编码中，每一抽样单元编码一复数；在修正离轴型编码中,每一抽样单元编码一实数。,修正离轴加偏置量的目的是使全息函数变成实值非负函数,每个抽样单元都是实的非负值,因此不存在相位编码问题,比同时对振幅和相位进行编码的方法简便.但由于加了偏置分量,增加了记录全息图的空间带宽积,因而增加了抽样点数.避免了相位编码是以增加抽样点数为代价的.,6.2、对比光学离轴全息函数和修正型离轴全息函数，说明如何选择载频和制作计算全息图的抽样频率。,6.2设物的频
24、宽为(2Bx,2By).参见P171空间频谱分布 (1)对于载频的选择 光学离轴,由图6.2.5(b)可知,3Bx 修正离轴,由图6.2.5(d)可知,Bx 载频的选择是为了保证全息函数在频域中各结构分量不混叠。(2)对于制作计算全息图时抽样频率的选择 光学离轴全息,由图6.2.5(c)可知:在x方向的抽样频率应注8Bx,即x方向的抽样间距 x/8Bx在y方向的抽样频率应注4By,即y方向的抽样间距 y/4By 修正离轴全息,由图6.2.5(e)可知:在x方向的抽样频率应注4Bx,即x方向的抽样间距 x/4Bx在y方向的抽样频率应注2By,即y方向的抽样间距 y/ 2By抽样间距的选择必须保证
25、整体频谱(包括各个结构分量)不混叠.,a、物波的空间频谱,b光学全息图的空间频谱,d、修正型离轴全息函数空间频谱,e、修正型离轴全息函数抽样后的频谱,6.3一种类似傅奇型计算全息图的方法,称为黄氏法，这种方法在偏置项中加入物函数本身,所构成的全息函数为,（1）画出该全息函数的空间频率结构,说明如何选择载频。,(2) 画出黄氏计算全息图的空间频率结构,说明如何选择抽样频率。,解：把全息函数重写为,因为归一化的物函数,其频谱为,（1）设物的频宽为(2Bx,2By).,全息函数的空间频谱结构如下图(2)黄氏全息图的空间频率结构如图题6.2(c)所示,由此可得出:在x方向的抽样频率应6Bx,即抽样间距
26、 x/6Bx 在y方向的抽样频率应 2By,即抽样间距 x/2By,因此其抽样点数为,(a),(b),(c),2Bx,2By., 2Bx,解：对于罗曼I型和III型,是用Ax来编码振幅A(x,y),用dx来编码相位(x,y),在复平面上用一个相幅矢量来表示,如图题6.3(a).,6.4、罗曼迂回相位编码方法有三种衍射孔径形式,如图题6.1所示.利用复平面上矢量合成的方法解释,在这三种孔径形式中,是如何对振幅和相位进行编码的.,II,图题6.3(a),对于罗曼II型是用两个相同宽度和高度的矩孔来代替I,III型中的一个矩孔.两矩孔之间的距离Ax是变化的,用这个变化来编码振幅A(x,y).在复平面
27、上反映为两个矢量夹角的变化.两个矩孔中心距离到抽样单元中心的位移量dx用作相位(x,y)的编码。在复平面上两矢量的合成方向即表示了(x,y)的大小,如图题6.3(b).,P169,i,第八章习题,8.1利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式,并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较,解：显微镜是用于观察微小物体的，可近似看作一个点，物近似 位于物镜的前焦点上。设物镜直径为D，焦距为f,如图所示。,对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径限制的最大孔径角,决定，截止频率为,从几何上看，近似有,因为物面上的空间频率大,于截止频率的细节不能通过系统，故其倒数为分辨距离。,对于非相干照
28、相明，由瑞利判据可知其分距离为,非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干照明的两倍。,8.2、在4f系统输入平面放置4Omm-l的光栅,入射光波长632.8nm.为了使频谱面上至少能够获得土5级衍射斑,并且相邻衍射斑间距不小于2mm,求透镜的焦距和直径.,设光栅比较宽，可视为无穷，则透过率为,频谱为,x2,所以谱点的位置由,决定，即m级衍射在后焦面上,的位置由下式确定：,相邻衍射斑之间的距离,由光栅方程得,（2）,要在后焦面上能够获得土5级衍射斑,截止频率应大于第五级谱对应的衍射角，小角度下,因为D1不为零，所以当D满足下式时，上式一定成立,8.3观察相位型物体的所谓中心暗场方法,是在成像透镜的后
29、焦面上放一个细小的不透明光阑以阻挡非衍射的光.假定通过物体的相位延迟1弧度,求所观察到的像强度(用物体的相位延迟表示出来).,在一般情况下,用显微镜只能观察物体的亮暗变化,不能辨别物体相位的变化.最初相位物体(如细菌标本)的观察必须采用染色法,但染色的同时会杀死细菌,改变标本的原始结构,从而不能在显微镜下如实研究标本的生命过程.1935年策尼克提出的相衬显微镜,利用相位滤波器将物体的相位变化转换成可以观察到的光的强弱变化.这种转换通常又称为幅相变换.,如图透明相位物体放在P1面上，其复振幅透过率为,假定相移1，则可忽略2及更高级的项，于是复振幅透过率可以写为,物光波实际上可看作两部分，强的直接
30、透射光和由于相位起伏造成的弱衍射光，一个普通的显微镜对上述物体所造成像，其强度可以写成,若在谱平面上放置细小的不透明的光阑作为空间滤波器，滤掉零频背景分量，则透过的频谱为,像面复振幅分布为,像面强度分布为,因此在像面上得到了正比于物体 相位平方分布的光强分布，实现了将相位转换为强度分布的目的。不过光强不是相位的线性函数，这给分析带来一定的困难。,物体频谱为,8.4、当策尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收,其强度透射率等于(O1)时,求观察到的像强度表示式.,物体频谱为,现用一个滤波器使零频减弱，同时使高频产生一个/2的相移，即滤 波器的透过率表达式为,因此滤波后的谱为,像面复振幅分布为,像面强
31、度分布为,像面强度分布为,像强度分布与相位分布成线性关系，容易分析，而且可以提高像衬度,更有利于观察。,8.5用CRT(阴级射线管)记录一帧图像透明片,设扫描点之间的间隔为0.2mm,图像最高空间频率为1Omm-1.如欲完全去掉离散扫描点,得到一帧连续灰阶图像,空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计?输出图像的分辨率如何(设傅里叶变换物镜的焦距f=l000mm,=632.8nm).,解：扫描点的表达式为,其频谱为,由此可见，点状结构的频谱仍然是点状结构，其频谱出现的位置为,点状结构的频谱是高频，所以采用低通滤波将其滤 掉，低通滤波器的圆孔半径为,能传递的最高空间频率为,输出图像的分辨率为5 /mm
32、,8.6 某一相干处理系统的输入孔径为3Omm3Omm的方形,头一个变换透镜的焦距为100mm,波长是632.8nm.求后焦平面上的频谱。原题意不明。此题主要是了解孔径的影响。,物体放置在透镜前方,解：当考虑处理系统的有限孔径时，一般用几何光学近似，引入光瞳函数P（x,y),本题的输入孔径是正方形，光瞳函数为,物体放置在透镜前方,如图，后焦平面上（xf,yf)点的光场应是物体上所有点发出的方向余弦,的光线经透镜会聚后，迭加而成的。但由于透镜的有限孔径，物平面上只有一个圆形区域所发出的光线能够到达（xf,yf)点，其余的光线均受到透镜边框的阻挡。沿（xf,yf)点与透镜中心连线方向把透镜孔径投影
33、到物平面上可以确定这个圆形区域。,其投影中心位于,可用投影光瞳函数,来表示它。,的傅里叶变换,是随（xf,yf)坐标变化的。因此，后焦平面的复振幅分布实际上正比于有效物体,此处投影光瞳函数的中心位置,因为,所以,第九章习题,9.1参看图9.1.1,在这种图像相减方法的编码过程中,如果所使用的光栅透光部分和不透光部分间距分别为和b ,并且不等于b .试证明图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制.,解：,先将t(x)展开成傅时里叶级数,式中,n=奇,n=偶,第一次曝光得,第二次曝光得,对于t(x)是将光栅向x负方向称动半个周期即,将它展开成级数得,总曝光量为,上式证明了
34、图像和的信息与图像差的信息分别受到光栅偶数倍频与光栅奇数倍频的调制.,9.2、用Vander Lugt方法来综合一个频率平面滤波器,如图题9.1(左)所示,一个振幅透射率为s(x,y) 的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面,用照相底片记录后焦面上的强度,并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量.这样制得的透明片放在图题9.1(右)的系统中,假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位,问输入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少,才能综合出:(1)脉冲响应为s(x,y)的滤波器?(2)脉冲响应为s*(-x,-y)的匹配滤波器?,解：参见图题9.1左，和上图的差别在于本题中物紧靠透镜，参考光波在
35、记录胶片上造成的场分布为,物透明片在记录介质上造成的场分布为,式中,胶片上的光强分布为,将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射光的强度，即,将制得的透明片放在下图焦平面上。要综合出脉冲响应s(x,y)或s*(-x,-y),我们只要考察当输入信息为单位脉冲（x1,y1)时，在什么条件下系统的要综合出脉冲响应s(x,y)或s*(-x,-y)。,输入为单位脉冲时，在L2的后焦面上形成的光场复振幅为,透过频率平面模片的光场分布为,如果要使系统的脉冲响应为s(x,y)，则应利用上式第三项，应要求该项的二次相位因子为零，即有,d=2f,这时输出为（反演坐标系中）,如果要使系统的脉冲响
36、应为s*(-x,-y),则应利用上式中的第二项，应要求该项的二次相位因子为零，即有 d=0,这时输出为（反演坐标系中）,9.3振幅透射率为h(x,y)和g(x ,y)的两张输入透明片放在一个会聚透镜之前,其中心位于坐标(x=0,y=Y/2)和(x=0,y=-Y/2)上,如图题9.2所示,在透镜后焦面上的强度分布记录下来,由此制得一张为2的正透明片.把显影后的透明片放在同一透镜之前,再次进行变换.试证明透镜的后焦面上的光场振幅含有h和g的互相关,并说明在什么条件下,互相关项可以从其它的输出分量中分离出来。,经傅里叶变换透镜L2变换后，其联合频谱为,在P2平面上的记录介质，如全息干板，仅对强度有响
37、应，则,（略去二次相位因子）,用胶片记录上式强度分布，可得=2的正透明片，它的复振幅透过率为,将制得的正透明片置于透镜前再次进行傅里叶变换,若同样用单位振幅的单色平面波垂直照明，则透过透明片光场的复振幅分布在透镜后焦面形成的光场的复振幅分布,略去二次相位因子后,在反演坐标系中可表示为,上式中的第三和第四项在P3平面上给出了f和h的互相关,其中心坐标为(0,士Y).式中的第一项和第二项在通常的滤波运算中没有什么特别的用途,其中心坐标在(x3,y3)平面原点上.显然,如果Y足够大,那么互相关项将与中心项充分分离,从而避免相互影响,为了定量说明对Y的要求,考虑图9.2.3所示的各个输出项的宽度.假定
38、g和h沿y3方向的最大宽度为Wg和Wh,公式(9.2.2)中前两项 沿y3方向宽度为2Wg和2 Wh,设WhWg,两相关项的宽度都是Wg+Wh.由图可以清楚地看出各项完全分离的条件是,9.4在照相时,若相片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀速直线运动,运动的结果使像点在底片上的位移为0.5mm.试写出造成模糊的点扩展函数h(x,y);如果要对该相片进行消模糊处理,写出逆滤波器的透过率函数.,解：由于是匀速，一个点便模糊成了一条线，考虑归一化，具有模糊缺陷的点扩散函数为,带有模糊缺陷的传递函数为,逆滤波器的透过率,10.1 图题10.1为一投影式非相干光卷积运算装置,由光源S和散射板D产生均匀的
39、非相干光照明,m(x,y)和O(x,y)是两张透明片,在平面P上可以探测到m(x,y)O(x,y)卷积。 (1)写出此装置的系统点扩散函数.(2)写出P平面上光强分布的表达式。(3)若m(x,y)的空间宽度为L1,0(x,y)的空是宽度为L2,求卷积的空间宽度.,第十章习题,(1)坐标为（x, y)点的单位强度点源，投射到O(x,y)上而在P平面上造成的分布即为系统的点扩散函数，其中心位置在,利用几何关系,以,为中心的函数O的形式为,再考虑到投影面积每边长的放大倍数,于是系统的点扩散函数为,（2）P平面上点（xd,yd）所接收到的强度响应为物函数m(x,y)与以,为中心的点扩散函数乘积的积分，
40、即,（3）,卷积的空间宽度为,10.2参看图题10.2,要设计一个“散焦”的(非相干)空间滤波系统,使得它的传递函数的第一零点落在。周/cm的频率上,假定要进行滤波的数据放在一个直径为L的圆透镜前面2f距离处.问所要求的“误聚焦 距离”为多少？（用f,L和。表示），对于。=10周/mm,和L=2cm, 的数值是多少？,图题10.2,解：,散焦系统的点扩散函数在几何光学近似下（没有考虑衍射）是由于离焦而产生的均匀照相明的圆斑。对于非相干系统而言，像面上的光场是所有脉冲响应对应的强度迭加.,所以系统的光学传递函数为,J1是一阶第一类贝塞尔函数。,按题意。是第一个零点，所以有,因为J1的第一个根约为
41、1.22,所以有,10.4图题10.3是非相干多通道二维相关器原理示意图,图中掩模板由子掩模hmn(x,y)的二维阵列组成,S是由许多小透镜组成的蝇眼透镜组,输入函数f(x,y)经透镜L1和蝇眼透镜组,在每个子掩模上产生一个f(x,y)的像,然后再经L2成像在二维探测器阵列上.试说明这种系统为什么可以用于多种不同类型目标的识别.,10.3讨论相干光学处理、非相干光学处理和白光光学处理的特点和局限性（略）,解：输入函数f(x,y)经透镜L1和蝇眼透镜组,在每个子掩模上产生一个f(x,y)的像,故在(m,n)那个探测器 Dmn处得到的光强输出为,式中,这种相关器由于能使不同掩模同时与输入f(x,y)相关，因此大增强了相关器的处理能力。若用做识别装置，它能识别各种不同类型的目标，故得到广泛应用。,
