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1、2012数学建模竞赛第三次模拟训练承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的
2、话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 邓 俊 2. 李鸿基 3. 康 东 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 8 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012数学建模竞赛第三次模拟训练编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：影响经济发展的主要因素和人口结构分析摘 要本文主要研究了对影响经济发展的主要因素和人口结构进行了定量分析。通过利用Excel软件
3、实现了对数据进行筛选和预处理，再利用MATLAB软件编程实现模型的求解。针对问题一，我们建立了首先选取了资金因素、人口结构、能源资源、教育和科技水平作为影响经济的主要因素，建立了基于层次分析法的评价模型，通过MATLAB编程计算得到对应权重值为：0.1990，0.4208，0.3139，0.0663。从而说明了人口结构对经济发展的影响最大。为了更加精确的研究人口结构对经济的影响，我们选取了影响经济发展的13个典型指标，并将GDP作为唯一经济综合指标，将各个指标进行无量纲化处理，建立基于多元线性回归的分析模型，最终得到13个指标的对应系数。其中人口结构指标中的自然增长率和劳动力人口数的系数分别为
4、：0.9396，0.3675，通过比较，这两个指标对经济发展的影响比其他指标要大。针对问题二，为了预测未来30年人口结构，我们选取了出生率、死亡率、人口年龄分布、男女比例四个角度进行分析，建立了基于灰色预测理论的人口结构预测模型，通过MATLAB编程实现模型的求解和相关的检验。最终得到四个方面的未来30年预测值。针对问题三，在放宽一胎化生育政策的条件下，引入出生率增加系数，来衡量放宽生育政策对出生率的影响，建立基于多项式拟合的预测模型，对0-14岁和60岁以上的人口比例分别与出生率进行多项式拟合，预测得到出生率增加系数分别为0,1,1.8,2.5时的人口年龄分布情况。针对问题四，为了定量评估延
5、迟退休年龄策略对中国经济发展的影响，基于模型一中得到的回归方程，我们进一步MATLAB编程计算得出在退休年龄推迟到65岁时的GDP值,通过与退休年龄为60岁时的GDP值进行比较,得到推迟退休年龄能够增加劳动人口总数和比重，使GDP提高0.6911个百分点。基于背景中所出现的解决策略以及我们建立模型进行的分析研究，最后对中国人口结构和经济可持续发展提出了建设性的建议。关键词：层次分析法，多元线性回归，灰色预测，傅里叶拟合，多项式拟合一、问题的提出自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”。2010年2月14日日本共同社发布消息指出，2010年日本名义GD
6、P为54742亿美元，比中国少4044亿美元，中国已成为全球第二大经济体。强大的经济实力和发展潜力使得中国在各个领域都取得了举世瞩目的成就。然而在我国经济高速发展的同时，一些社会现象的出现却备受争议，例如：社会道德风气不正，缺乏公德心；北京市放宽征兵标准；第六次人口普查得出中国已进入老龄化社会；专家建议退休年龄推迟到65岁；有15名专家学者联名上书国务院要求松绑二胎；有报告称到2013年中国养老金缺口将达到18.3万亿等等。近年来，此类消息和舆论热点层出不穷，其中有些是实实在在发生了的，而有一些只是人们的猜测，甚至谣言。但不可否认的是，现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域
7、，它们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧。针对上述思考和担忧，我们需要解决以下问题：问题一： 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。问题二：就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。问题三： 如果实行放宽一胎化生育政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。问题四： 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。问题五： 基于背景中所出现的解决策略和建模过程所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。二、基本假设1假设经济发展的各个影响因素指标之间不具有相关性。2假设在人口预测过程中，不考虑地震、疫病等重大自然灾害对人口数
8、量的影响。3.假设老年人所从事的工作不会和青年人的工作情况形成竞争。三、定义符号说明符号说明Y经济发展水平X经济发展的影响指标第个因素的权重值截距项总体回归系数参数的线性无偏估计值误差项原始数据序列残差累加后新生成的序列C后验差比值P小误差概率出生率出生率增加系数四、问题的分析及模型的建立、求解4.1 对于问题一4.1.1 问题一的分析针对问题一，定量评估影响经济发展的因素。在实际问题中，一个国家经济的发展水平通常用国民生产总值（GDP）来衡量。而影响一个国家GDP的因素有很多，例如：一个国家的科技水平、产业结构、能源资源、人口结构、教育水平等因素都会对经济的发展水平和国民生产总值产生影响。所
9、以评估对经济发展的影响，需要得出这些具体的指标对经济发展的影响程度。因此我们考虑用层次分析法，按照各个因素重要度的比较，得出它们对于经济发展水平的影响权重。对影响因素进行粗略的评估。层次分析法进行的评估主观性较强，并且是在没有数据的条件下进行的。通过中国统计年鉴，我们可以得到各个具体指标的历年来的统计数据。根据一个变量受多个变量的影响，经济发展水平受多个解释变量影响的情况。可以采用多元线性回归模型进行回归分析，得到各个指标对于经济发展的影响程度。实现客观条件下的定量评估。4.1.2 基于层次分析法的综合评价模型 在问题一中，影响经济发展的因素是多方面的，我们主要选取人口结构、资源产量、资金因素
10、、教育和科学技术四个因素作为评价层次分析法的定量指标。图1：影响经济发展的几个因素4.1.3 模型的求解首先，通过查阅资料两两比较各因素间的重要性，确定层次分析法的判断矩阵，利用MATLAB编程计算，得到各个因素对经济发展的影响权重，从而定量分析得到人口结构对经济发展的影响程度。表1：各影响因素的权重值影响因素0.19900.42080.31390.0663其中，一致性检验通过。所以人口结构对于经济发展的影响的权重值。说明人口结构对经济发展的影响较大。4.1.4 基于多元回归分析的综合评价经济发展水平受多个变量的影响，把经济发展水平作为因变量Y。把影响因素资金因素、人口结构、资源产量、教育和科
11、学技术中的各个影响指标作为自变量，分别用来表示。图2：影响经济发展的具体指标建立经济发展Y和影响指标之间的多元线性回归模型 （1）其中称为截距项，称为称为总体回归系数，是指自变量的个数。表示在其它自变量保持不变的条件下，自变量变动一个单位所引起的因变量平均变动的数量，因而也称为偏回归系数。对于实际问题，假设我们有组观测值，则线性回归模型可以表示为： （2）写成矩阵形式为 （3）多元线性回归要满足以下几个条件：（1）因变量和自变量x之间存在线性统计关系。（2）x是确定性变量，可以控制或预先给定，且自变量之间不存在线性关系或较强的统计相关性。（3）各误差项为独立随机误差，服从。4.1.5 模型的求
12、解模型的回归方程为 （4）在满足基本要求的条件下，由最小二乘法求得正规方程，从而可以得到参数的最佳线性无偏估计，即 （5）用MATLAB进行模拟求解，得出偏回归系数，如下表所示：表2：偏回归系数计算值-1.43470.0840.07240.14190.93960.36750.4096 1.74180.1910.5020.06121.04190.0080.2447其中，=0.9850；F=59；。模型整体上可用。从图中可以看出，人口结构中包含的两个因素：人口自然增长率和劳动力人口对经济发展的回归系数分别为0.9396和0.3675 。4.1.6 模型的残差检验所谓“残差”,即因变量的实际观测值与
13、其回归估计值（拟合值）的差， （6）我们可以将残差看做误差的估计值，它应符合模型的假设条件，且具有误差的一些性状，利用残差所提供的信息来考察模型假设的合理性及数据的可靠性称为残差分析。对多元回归模型进行残差分析，得到残差分布，如下图： 图3：残差分布图从图中可以看出，每个残差区间都包含零点，可以证明模型是有效的。4.2 对于问题二4.2.1 问题二的分析问题二是一个关于人口结构预测的问题。人口的预测是关系国计民生的大事，人口结构则直接影响国家的经济发展水平。我们根据对问题的分析并结合实际情况认为对人口结构包含的主要方面有以下四个：出生率、死亡率、年龄结构、男女比例。在这里需要说明的是对于人口及
14、人口结构产生影响的一些因素，如经济发展状况，生态环境情况、已婚夫妇对生育所持的态度、医疗技术的发展等，我们认为它们对人口的增长是通过作用于以上四个指标而间接发挥作用的。而对于诸如战争爆发、疾病流行等突发因素，由于其不可预测性，我们不作讨论。1出生率从一定意义上讲出生率率的高低控制着人口增长率高低，出生率是人口增长的源头。直接决定着人口的数量2死亡率死亡率表示一定时期内一个人口群体中死亡的人数占该人口群体的比值，和出生率一样死亡率的高低同样控制着人口增长率高低。3年龄结构年龄结构反映了总体人口在各年龄段分布情况，年龄结构蕴涵的信息量很大，从其中我们可以实现对很多问题的分析，比如从年龄结构我们可以
15、分析出社会的老年化程度，此外从年龄结构我们可以判断出不同时间段人口出生的情况，比如年龄结构不仅反映了总体人口在各年龄段分布情况，而且考虑到不同年龄段人口生育率、死亡率不同等情况，我们可以在年龄结构中有效反映这些差异4男女比例男女比例反映了总体人口中男性与女性人数的比较关系，男女比例值能反映出人口中男性与女性人数是否协调，男女比例主要受男女出生比和男女死亡率的影响，男女出生比正常范围在103107，也就是说出生100个女儿的同时会有103 107个男儿出生，但是在现实社会中，女性死亡率低于男性，所以男性与女性人数大致相等，社会维持在一个稳定状态。但目前我国男女出生比超过110，这不仅将导致男女比
16、例失调，还会对人口的预测产生影响，所以在人口预测时必须将男女比例问题考虑进去。4.2.2 基于灰色预测的人口结构预测模型灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。灰色预测模型建立过程如下：（1) 设原始数据序列有个观察值，通过累加生成新序列，设满足一阶常微分方程 (7)其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数。此方程满足初始条件当时，
17、的解为： （8）利用新生成的序列去拟和函数曲线。（2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列的预测值序列。 （3) 利用累减还原：得到灰色预测值序列： (共nm个，m个为未来的预测值)。利用灰色GM（1，1）模型对序列的确定增长趋势进行预测。4.2.3 模型的求解4.2.3.1 对于总人口、出生率、死亡率和年龄结构的预测利用中国统计年鉴搜集历年人口的总数、出生率、死亡率和年龄结构的情况，利用MATLAB编程进行拟合，预测出2012年-2041年人口的总数、出生率、死亡率、男女比例和年龄结构的情况。对于未来30年总人口（亿）、出生率、死亡率和自然增长率的预测如下表：表3：未来30年人口结构预测的情况
18、年份总人口出生率死亡率自然增长率201214.1796 10.9961 5.9377 5.0583 201314.3285 10.7271 5.8656 4.8616 201414.4789 10.4648 5.7923 4.6725 201514.6309 10.2089 5.7181 4.4908 201614.7845 9.9592 5.6431 4.3161 201714.9398 9.7157 5.5674 4.1483 201815.0966 9.4781 5.4911 3.9869 201915.2551 9.2463 5.4144 3.8319 202015.4153 9.02
19、02 5.3373 3.6828 202115.5771 8.7996 5.2600 3.5396 202215.7406 8.5844 5.1824 3.4019 202315.9059 8.3744 5.1048 3.2696 202416.0729 8.1696 5.0272 3.1425 202516.2416 7.9699 4.9496 3.0202 202616.4122 7.7749 4.8722 2.9028 202716.5845 7.5848 4.7949 2.7899 202816.7586 7.3993 4.7180 2.6814 202916.9345 7.2184
20、4.6413 2.5771 203017.1123 7.0418 4.5650 2.4769 203117.2920 6.8696 4.4891 2.3805 203217.4735 6.7016 4.4137 2.2879 203317.6570 6.5377 4.3388 2.1990 203417.8423 6.3779 4.2644 2.1134 203518.0297 6.2219 4.1907 2.0312 203618.2190 6.0697 4.1175 1.9522 203718.4102 5.9213 4.0450 1.8763 203818.6035 5.7765 3.9
21、732 1.8033 203918.7988 5.6352 3.9020 1.7332 204018.9962 5.4974 3.8316 1.6658 204119.1956 5.3630 3.7620 1.6010 从表中可以看出，我国未来30年的人口发展趋势是由“增长型”趋向“稳定型”。绘制总人口变化的柱状图和出生率、死亡率的变化曲线，如下图：图4：总人口预测变化柱状图图5：出生率、死亡率、自然增长率的变化曲线对于未来30年年龄结构的预测情况，如下表：表4：年龄结构预测表年份0-14岁15-60岁60岁以上20120.15240.68950.158120130.14750.68970.1
22、62820140.14280.68950.167720150.13820.68910.172720160.13380.68840.177820170.12950.68740.183120180.12540.68600.188620190.12140.68440.194220200.11750.68250.200020210.11370.68030.205920220.11010.67780.212120230.10660.67500.218420240.10320.67190.224920250.09990.66850.231620260.09670.66480.238520270.09360
23、.66080.245620280.09060.65650.252920290.08770.65190.260420300.08490.64690.268220310.08220.64160.276220320.07950.63600.284420330.07700.63010.292920340.07450.62390.301620350.07220.61730.310620360.06980.61030.319820370.06760.60300.329420380.06550.59540.339220390.06340.58740.349320400.06130.57900.3597204
24、10.05940.57020.3704注：表中数据为各年龄段人口占总人口的比重。从表中可以看出，在未来30年中，我国逐步进入“老龄化”社会和“少子”社会。青少年的比例逐步下降，老龄化的人口比重逐渐增加，在30年以内，劳动人口比例基本维持不变。绘制出未来30年各年龄段人口所占比重的分布情况，如下图图6：各年龄段的人数所占比重情况预测图4.2.3.2 基于傅里叶拟合的男女比例预测由于在未来30年中，男女比例的波动很小，通过灰色预测模型难以通过精度检验，预测误差较大。借助MATLAB软件中的cftool工具箱，经过多种曲线拟合，最终发现采用傅里叶拟合效果最好。所以我们考虑采用傅里叶拟合通过历年的男女
25、比例来对未来30年的男女比例情况进行预测。原始数据观测图和拟合图如下图所示图7：傅里叶拟合男女比例变化情况拟合的函数为： （9）其中参数值和置信区间如下表表5：傅里叶拟合各参数值和置信区间参数拟合值置信区间51.4（51.27,51.53）0.1516（-0.3021,0.605400.01501(-0.1935,0.2235)-0.2111(-0.2566,-0.1656)0.08369(-0.7324,0.8897)0.02792(-0.2164,0.2704)-0.02261(-0.1761,0.1309)-0.06442（-0.1615，0.03256）0.02261（-0.5901,
26、0.6353）0.01062（-0.2829,0.3041）0.02433（-0.0799,0.1286）0.01512（-0.3505,0.3807）-0.01862（-0.05223,0.01499）-0.01591（-0.8052,0.7734）0.07029（-0.09172,0.2377）-0.009882（-0.3351,0.3153）-0.02005(-0.1364,0.09634)0.1905(0.07344,0,3076)对于傅里叶拟合，其中误差平方和（SSE）=0.044150.950.800.700.50不合格0.700.65根据模型精度的检验要求，我们需要利用已有的数据
27、对预测模型进行残差检验和后验差检验。分别对总人口数、出生率、自然增长率、人口年龄分布情况、性别比例进行残差检验和后验差检验，检验情况如下列表中所示：表6：总人口的精度检验参数a参数u原始数据均值原始数据方差残差均值残差方差后验差比值小误差概率预测精度等级-0.0104 9.8929 11.7313 1.1723 -0.0017 0.2000 0.1706 1.0000 好表:7：对出生率的精度检验参数a参数u原始数据均值原始数据方差残差均值残差方差后验差比值小误差概率预测精度等级0.0248 24.4359 16.9519 3.8524 -0.0172 1.3520 0.3509 0.9667
28、 合格表8：自然增长率的精度检验参数a参数u原始数据均值原始数据方差残差均值残差方差后验差比值小误差概率预测精度等级0.039718.117610.30973.8714-0.05991.47110.38000.9000合格表9：0-14岁人口数的精度检验参数a参数u原始数据均值原始数据方差残差均值残差方差后验差比值小误差概率预测精度等级0.03250.22170.19280.01760.00000.00240.13381.0000好表10：15-60岁的人口数的精度检验参数a参数u原始数据均值原始数据方差残差均值残差方差后验差比值小误差概率预测精度等级-0.003340.6690170.678
29、0860.0084445.86E-070.003190.3777560.888889合格表11：:60岁以上人口的精度检验参数a参数u原始数据均值原始数据方差残差均值残差方差后验差比值小误差概率预测精度等级-0.02930.11280.12910.00990.00000.00070.07351.0000好表12：男性人口的精度检验参数a参数u原始数据均值原始数据方差残差均值残差方差后验差比值小误差概率预测精度等级-0.00985.24656.12540.5604-0.00060.09170.16371.0000好从以上检验结果中可以看出，这七项指标的精度检验全部通过，说明我们所采用的方法对未来
30、三十年的人口结构预测是合理的。4.3 对于问题三4.3.1 基于多项式拟合的人口结构预测如果实行放宽一胎化生育政策，则会导致出生率增加。出生率的改变直接影响未来人口结构的改变。在此我们选择对未来30年的各年龄段的人口的比重进行预测。出生率增加，我们假设出生率的增加系数为。把人口结构分为0-14岁、15-60岁，60岁以上三个年龄段。把三个年龄段的人口比重作为因变量，把出生率作为自变量，进行多项式拟合处理。在得到它们之间的多项式拟合关系后，再对出生率增加的情况下的人口结构进行预测。4.3.2 模型的求解通过MATLAB编程求解，得到出生率和各年龄段人口的拟合关系，如下图所示：图8：出生率和各年龄
31、段人口的拟合关系图得到：0-14岁人口比重和出生率的拟合关系 （10）60岁以上人口比重和出生率的拟合关系 （11）对影响系数取不同的值，得到出生率对年龄结构的影响，如下表：表13：出生率增加不同时对年龄结构的影响01出生率0-14岁15-6060以上0-14岁15-6060以上10.99610.15240.68950.15810.16710.67200.160910.72710.14750.68970.16280.16270.67680.160510.46480.14280.68950.16770.15830.68080.160810.20890.13820.68910.17270.1541
32、0.68410.16189.95920.13380.68840.17780.15000.68660.16349.71570.12950.68740.18310.14600.68840.16569.47810.12540.68600.18860.14210.68970.16829.24630.12140.68440.19420.13830.69030.17149.02020.11750.68250.20000.13450.69040.17508.79960.11370.68030.20590.13090.69010.17908.58440.11010.67780.21210.12740.6892
33、0.18348.37440.10660.67500.21840.12390.68790.18828.16960.10320.67190.22490.12050.68620.19327.96990.09990.66850.23160.11730.68420.19867.77490.09670.66480.23850.11400.68180.20427.58480.09360.66080.24560.11090.67910.21007.39930.09060.65650.25290.10790.67610.21607.21840.08770.65190.26040.10490.67290.2223
34、7.04180.08490.64690.26820.10200.66940.22866.86960.08220.64160.27620.09910.66570.23526.70160.07950.63600.28440.09640.66180.24196.53770.07700.63010.29290.09370.65770.24866.37790.07450.62390.30160.09100.65340.25556.22190.07220.61730.31060.08850.64900.26256.06970.06980.61030.31980.08600.64450.26955.9213
35、0.06760.60300.32940.08350.63990.27665.77650.06550.59540.33920.08110.63520.28375.63520.06340.58740.34930.07880.63030.29095.49740.06130.57900.35970.07650.62540.29805.36300.05940.57020.37040.07430.62050.3052得到各个年龄阶段人口分布的柱状图，如下图所示：当=0时，当时当时当时从图中可以看出，出生率增加系数的值越大，说明放宽一胎化政策对人口出生率的影响越大，而且会使得0-14岁人口比重增加，老龄化的
36、人口比重减小，从而可以有效减缓国家人口的老龄化进程。4.4 对于问题四4.4.1 基于多元回归分析的评估模型在问题四中，需要定量评估将退休年龄从60岁延迟到65岁对经济发展所产生的影响。延迟退休年龄会使劳动力人口比重发生改变，相当于将劳动年龄从15岁-60岁扩大到了15岁-65岁。由于60岁-65岁的老年人在从事工作的过程中，大多数情况下都是技术性和指导性的工作，和青年人的工作性质不同，所以我们不考虑延迟退休年龄对青年人就业的影响。在问题一对经济发展的评估过程中，存在有劳动力比重的影响指标，因此我们可以采用问题一的模型，得到在劳动力人口比重改变的情况下对经济发展状况的影响。假设延迟退休年龄并不
37、影响各个指标对经济发展状况的影响。4.4.2 模型的求解 通过MATLAB编程计算求解，得到退休政策改变前2001年-2008年的经济发展水平（GDP）的回归估计值。通过搜集资料，可以得到2001年-2008年的经济发展水平(GDP)的真实数据。如下表所示：表 14：2001年-2008年经济发展水平的估计值和真实值年份20012002200320042005200620072008经济发展水平的回归值2.27112.50102.81303.32123.83624.48845.51366.5165实际的经济发展水平2.27512.49662.81803.31713.83704.48815.51
38、506.5158从表中可以看出，回归估计值和真实值的相似程度很高，说明该回归估计有效。利用该回归模型对退休政策改变后（劳动力比重发生变化）的经济发展水平（GDP）进行估计，得到新的经济发展水平表 15：退休政策改变前后的经济发展水平的比较年份退休政策改变前的经济发展水平退休政策调整后的经济发展水平GDP增长平均增长20012.2751 2.2934 0.0080 0.006911 20022.4966 2.5238 0.0109 20032.8180 2.8360 0.0064 20043.3171 3.3452 0.0085 20053.8370 3.8613 0.0063 20064.48
39、81 4.5147 0.0059 20075.5150 5.5412 0.0048 20086.5158 6.5454 0.0045 注： 表中数据为无量纲化处理过后的值。从表中可以看出，在延迟退休年龄后，2001年-2008年的经济发展水平（GDP）提高了0.6911个百分点，因此延迟退休年龄是对国家的发展有利。4.5 对于问题五关于人口结构和经济发展的建议书从我们的建模过程中可以看出，人口结构直接影响到我们国家的经济发展水平，而且不论是从现在还是我们预测的数据中都可以看出，在未来的发展过程中，人口数量增加、男女比例失调、老龄化人口比重增加等问题依然是我们国家制定人口政策所要解决的首要问题。根据以上情况，我们对国家的人口政策提出如下建议：一、进一步稳定低生
