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1、北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题31-38【例31】每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。求：（1）检验一箱产品能通过验收的概率；（2）检验10箱产品通过率不低于90%的概率【详解】（1）设= “一箱内有i件次品”，i=0，1，2。则A0,A1,A2两两不相容，其和为，构成一个完备事件组。设事件B=“一箱产品通过验收”，B1=“抽到一件正品”。依题意，有；应用全概公式，得又由于B1与为对立事件，再次应用全概公式
2、有（2）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设10箱产品中通过验收的箱数为X，X服从参数为n=10，P=P(B)=0.892的二项分布。【例32】设随机变量X的密度函数为求随机变量的分布函数与密度函数。【详解】令，取非零值的范围为1，2。当时，有的分布函数 Y的密度函数为 注意：本题中不是单调函数，不能直接用公式求解。此例表明，先考虑随机变量的取非零值的范围，然后在此范围内求分布函数值可以简化运算。至于取非零值范围之外的分布函数值，可以由分布函数的性质决定其为0或1。【例33】袋中有只黑球，每次从中随意取出一球，并换入一个白球，如此交换共进行次。已知袋中白球数的数学期望为a，则第n+1次从袋中
3、任取一球为白球的概率是 【详解】依题意，袋中白球数是一个随机变量，X可取0，1，2，n，且若记B=“第n+1次从袋中任取一球为白球”，=“第n次交换后袋中有个白球”=X=k。则由全概率公式，得【例34】设一台机器上有3个部件，在某一时刻需要对部件进行调整，3个部件需要调整的概率分别为且相互独立，任一部件需要调整即为机器需要调整。（1）求机器需要调整的概率；（2）记为需要调整的部件数，求期望、方差。【详解】设事件为机器要调整，记为第个部件需要调整，.（1）显然，则（根据事件的独立性知）.（2）求期望、方差有两种解法：解法一：先求的分布律，根据分布律再求数学期望和方差。根据的意义，显然有事件的记法
4、如（1），并注意到事件之间的独立性，有 =； ；.所以，解法二：可以不求的分布律，引进新的随机变量，利用期望、方差的性质求出期望、方差。现引进新的随机变量定义如下：因此我们有 而服从分布，所以，又因为，且之间相互独立，所以 .【评注】本题中解法二比解法一简单得多，这就是引进新的随机变量的好处，但如何引进新的随机变量是一个难点。一般在考研试题中，总是引进服从分布，用独立性和来简化计算。【例35】假设一批共100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件。现在从中任抽取一件，记试求：（1）随机变量的联合分布；（2）随机变量的相关系数。【详解】引进事件由条件，知易见，有四个可能值：（0，0）
5、，（0，1），（1，0），（1，1）又 又； 【例36】生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？（）。【详解】以表示装运的第i箱产品的实际重量，n为所求箱数。由条件是独立同分布随机变量（但具体分布未知），因而总重量为T=。由条件知. 千克。又随机变量独立同分布且数学期望和方差都存在，故根据列维一林德伯格中心极限定理，只要n充分大，随机变量T就近似服从正态分布N(50n,25n)。由题意知，所求n应满足条件：当n充分大时变量近似服从N（0，1），可见
6、，从而有. 即最多只能装98箱。【例37】设总体X为连续型随机变量，概率密度函数为，从该总体抽取容量为的简单随机样本。试求在曲线下方，统计量对应的统计值 的右方的（曲边形）面积S的数学期望。【详解】设为总体X的分布函数，则先求的分布函数G（m）的概率密度g(m)。M的分布函数的概率密度因此，计算S的数学期望： 【例38】已知某种材料的抗压强度，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下（单位：）：样本均值，样本方差.（1）求平均抗压强度的矩估计值；（2）求平均抗压强度的95%的置信区间；（3）若已知，求的95%的置信区间.【详解】（1）（2）设总体XN（与均未知，则的置信水平为1-的置信区间为，其中.性质：.由题意知这里是未知的情况，用代替.而样本标准差，所以置信区间为 ，这里 ，所以 .（3）若已知，则的置信区间为，这里，所以 。6
