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1、1,复习,分布函数,离散型连续型,边缘分布,离散型连续型,X 与Y 的联合分布,(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布,X 与 Y 相互独立,离散型连续型,2,我们仍采取类比的方法学习二维随机变量函数的分布问题,我们曾经讨论了一维随机变量 X 函数 g(X) 的分布，,3.5 二维随机变量函数的分布,现在我们进一步二维随机变量的函数的分布问题讨论:,二维随机变量(X,Y)的分布 和二元函数 Z= g(X, Y), 一维随机变量 Z 的分布,分两种情形讨论,3,例1 设(X,Y)的分布律为 求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY 的分布律.,一 离散型随机变量的函数的分布,X,Y,0 1 2,-1
2、 2,0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,解,(-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2),-1 0 1 2 3 4,(X,Y),Z=X+Y,Z=XY,0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,0 -1 -2 0 2 4,Z=XY,0.3 0.1 0.3 0.1 0.2,-1 -2 0 2 4,4,则 是一维的离散型随机变量,其分布率为,结论,5,6,7,解,8,9,二、连续型随机变量函数的分布,设连续型随机变量(X,Y )的概率密度为 f ( x , y) ，,其函数 Z = g(X,Y ) 为连续函数,求连续型随机变量 Z 的概率密度 fZ
3、 (z )？,(I) 求 Z 的分布函数 FZ(z)；,(II) 对分布函数 FZ(z)求导即得 Z 的概率密度 fZ (z ) .,FZ(z)= P(Z z ),= P( g(X,Y ) z ),构成的区域记为G,= P(X,Y)G ),分布函数法,= P( g(X,Y ) z ),= P( g(X,Y ) z ),10,例4 设(X,Y)的概率密度为,求 Z =X-Y 的概率密度 .,解,x-y = z,y = x, FZ(z)= P(Z z ),= P( X-Y z ),当 z 0 时,当 0 z 1 时,当 z 1 时,0 ;,= 1 ,z,11,题 设X,Y独立，密度函数分别为,，,
4、求 Z=2X+Y 的密度函数。,解：,x,显然，当z0时 ,12,当0z2时 ,当z2时 ,13,因此,下面就按着这个思路, 讨论几个特殊函数的分布：,14,设(X,Y)的概率密度为f (x, y), Z=X+Y的分布函数为,一、 Z=X+Y 的分布,15,Z=X+Y 的概率密度:,卷积公式,当X,Y 相互独立时,16,例5 设 XN(0, 1), YN(0, 1)且X与Y相互独立，求 Z=X+Y的概率密度。,Z=X+YN(0,2).,解,17,(2) 若 且相互独立， 则,一般结论：,(1) 若 且相互独立， 则 X+Y 仍服从正态分布，且,(3)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服
5、从正态分布,18,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由公式,也即,19,如图示:,于是,服从均匀分布的有限个独立地随机变量之和不服从均匀分布,20,解 依题意,它们分别服从参数为1,2 的泊松分布,由卷积公式,i = 0, 1, 2, ,j =0, 1, 2, ,例 若X和Y相互独立,证明 Z=X+Y 服从参数为1 + 2 的泊松分布.,即 Z 服从参数为 1 + 2 的泊松分布,r = 0, 1, ,离散型中也有类似公式,或,21,记 住 结 论！,两个独立随机变量的和的分布,如果X与Y相互独立,22,23,同理可得,故有,24,当 X, Y 独立时,由此可得分布密度为,25
6、,例7,26,得所求密度函数,得,3. Z=maxX,Y或Z=minX,Y的分布,(1) Z=maxX,Y的分布函数:,FZ(z)=PZz,若X与Y相互独立,则FZ(z)=PXzPYz,=FX(z)FY(z),=PXz,Yz,(2) Z=minX,Y的分布函数:,FZ(z)=PZz,=1PZz,=1PXz,Yz,若X与Y相互独立,则 FZ(z)=1PXzPYz,=11PXz1PYz,=11FX(z)1FY(z),29,由于当 L1, L 2中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,已知它们的概率密度分别为,例8 设系统 L 由两个独立的子系统 L1, L 2 联接而成,联接的方式分别为: (1)串
7、联， (2)并联, (3)备用(当系统L1 损时,系统L2 开始工作),设L1, L 2的寿命分别为X, Y,试分别就以上三种联接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度.,Z = min(X,Y) 的分布函数为,故 L 的寿命为 Z=min(X,Y),Fmin (z) = 1-1-FX (z)1-FY (z),30,由于当系统 L1 损时,系统 L2 才开始工作,由于当且仅当L1, L 2都损坏时,系统 L 才停止工作,(2)并联的情况:,故 L 的寿命为 Z=max(X,Y),Z=max(X,Y)的分布函数为,故 L 的寿命为 Z=X+Y,当 z 0 时,当 z 0 时,Z 的概率密度函数,3
8、1,推广,例9 对某种电子装置的输出测量了5次,得到的观察值为X1, X2, X3, X4, X5,设它们是相互独立的装置,且都服从同一分布,试求: Z=maxX1, X2, X3, X4, X54的概率,PZ4=1PZ4,=1FZ(4),由已知 ,有FZ(z)=F(z)5,则PZ4=1F(4)5,=1(1e2)5,解:,34,常称 M = max(X1, , Xn)，N = min(X1, , Xn)为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,当X1,Xn相互独立,且具有相同分布函数F(x)时,以上采用分布函数法讨论了和、商以及极值
9、的分布问题，,其他形式的函数的分布问题仍可采用分布函数法来解决，,35,例10 若X 和 Y 独立, 且概率密度分别为:,解, X 和Y 独立,FZ(z)= P(Z z ),当 z 0 时,当 z 0 时,= 0 ;,36,1设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度是,如果各周的需求量是相互独立的，试求：两周的需求量的概率密度。,解:,分别用X,Y表示该种商品在第一，二周内的需要，则其概率密度函数分别为:,37,两周需要量Z=X+Y,Z的概率密度函数为:,时，被积函数不为零，所以,（1）当z 0时, 有,38,(2) 当z0,39,2设X，Y的联合概率密度为,试求,的分布函数和概率密度。,解：,(1)z0FZ(z)=0；,故,
