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1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量,A,P,直线的方向向量,直线的向量式方程,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量,一、方向向量与法向量,2、平面的法向量,l,平面的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,例1. 如图所示, 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC的中点， 求平面EDB的一个法向量.,解：如图所示建立空间直
2、角坐标系.,A,B,C,D,P,E,设平面EDB的法向量为,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决立体问题,二、立体几何中的向量方法证明平行与垂直,m,l,（一）. 平行关系：,（二）、垂直关系：,l,m,l,A,B,C,例1:四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE / FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0
3、,4,2),AE/FG,证:如图所示, 建立空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,例2:四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点， (1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1:立体几何法,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,解3:如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,A,B,C,D,P,E,解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,解得 x,证明：设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,E是AA1中点，,例4 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,证明2：,E,E是AA1中点，,例4 正方体,平面C1BD.,求证：平面EBD,
