自动控制原理 第二章课件.ppt

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1、1,第2章 自动控制系统的数学模型,2,2.1 控制系统的时域数学模型,3,数学模型1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。 2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。,4,另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表

2、数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以进行仿真研究）。,5,对实际系统或元件加入一定形式的输入信号，根据输入信号与输出信号间的关系来建立数学模型的方法,根据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出各变量间的数学表达式，从而建立起数学模型的方法,2.1 控制系统的微分方程,2. 1 系统微分方程的建立,控制系统的数学模型是指描述系统或元件输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。而把描述各变量动态关系的数学表达式称为动态模型。常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结构图。

3、,建立数学模型，可以使用解析法和实验法,解析法,实验法,解析法建立微分方程的一般步骤是,6,表示形式 （经典控制理论中最常用的） a.微分方程；b.传递函数； c.频率特性,同一个系统，可以选用不同的数学模型，如研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。,7,建立方法a.分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型适用于简单的系统。b.工程实验法 工程实验法是利用系统的输入-输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情况下，采用这种建模方法。,8,机械系统指的是存在机械运动的装置，它们

4、遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。,例 一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方程。,例 1 机械系统,9,解：在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为,k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号

5、表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。,10,例2 电气系统 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容(无源器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放大器(有源器件)，就称为有源网络。,例 由电阻R、电感L和电容C组成无源网络。ui输入，uo输出，求微分方程。,11,解 设回路电流为 i ( t ) 如图所示。由基尔霍夫电压定律可得到,式中i ( t )是中间变量。i ( t )和u o( t )的关系为,消去中间变量i (t )，可得,12,比较上面两个例子可见，虽然它们为两种不同

6、的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如上述RLC串联网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统，故可用电子线路来模拟机械平移系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。,13,2.1 控制系统的微分方程,一个微分方程建立的例子,试列写图示的RC无源网络的微分方程,根据电路理论的克希霍夫定律，列写方程,其中i为中间变量，Ur为输入量，Uc为输出量，消去中间变量得：,令RC=T（时间常数），则有：,RC无源网络的动态数学模型为一阶常系数线性微分方程。,14,2.1 控制系统的微分方程,解析法建立微分方程的一般步骤是,根据实

7、际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；,标准化工作:将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。,从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；,消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；,最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。,1,2,3,4,5,一个微分方程建立的例子,15,2.1 控制系统的微分方程,2 线性微分方程的求解,拉氏变换定义,拉氏变换的几个基本定理,几种典型函数的拉氏变换,几个实例,16,已知,，求F(s)。这里A是常数。,解：因为A是常数，所以，根据线性

8、定理则有,已知,，求F(s)。,求,的拉氏变换。,解：根据实域位移定理则有,解：根据复域位移定理则有,例一,例三,例二,2.1 控制系统的微分方程,17,拉氏反变换,拉氏变换的逆运算,称为拉氏反变换，该式是拉氏反变换的数学定义，而在实际应用中常常采用的方法是：,先将F(s)分解为一些简单的有理分式函数之和，这些函数基本上都是前面介绍过的典型函数形式；然后由拉氏变换求出其反变换函数，即原函数f(t)。,设F(s)的一般表达式为(通常都是s的有理分式函数),式中的a1、a2. an以及b1、b2. bm为实数，m、n为正数，且mn。根据上式分母的根，分为以下两种情况来讨论,2.1 控制系统的微分方

9、程,18,ssi,ssi,ssi,A(s)=0无重根,A(s)=0有重根,若 F(s)=Cm/(s-s1)m+ Cm-1/(s-s2) m-1+C1/(s-s1)+ Cn/(s-sn)其中重根系数 Cm=lim(s-si)mF (s)， Cm-1=limd(s-si)mF (s)/ds， Cm-j=(1/j!)limdj(s-si)mF (s)/dsj， C1=1/(m-1)!limdm-1(s-si)mF (s)/dsm-1 其他无重根情况同前。将各系数代入F(S)式对各项进行拉氏反变换即可,ssi,例题,例题,2.1 控制系统的微分方程,19,用拉氏变换求解系统微分方程或方程组的步骤如下：

10、,例题,将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的变换方程；解出变换方程，即求出被控量的拉氏变换表达式；将被控量的象函数展开成部分分式表达式；对该部分分式表达式进行拉氏反变换，就得出了微分方程的解，即被控量的时域表达式。,2.1 控制系统的微分方程,20,已知：,，求其拉氏反变换。,接下来是确定两个待定系数，,解：将F(s)进行因式分解后得到,这时有,将上式进行拉氏反变换得到,2.1 控制系统的微分方程,21,已知：,，求原函数,解：将F(s)进行因式分解后得到,将所求得的系数代入F(s)中,这时将上式进行反拉氏变换得到,2.1 控制系统的微分方程,22,已知系统微分方程为,Xc在t=0时刻

11、的各阶导数均为零。求系统的输出Xc(t)。解：对该系统的微分方程进行拉氏变换得到,输出量的拉氏变换表达式为,所以使用复域位移定理求出系统的输出为,2.1 控制系统的微分方程,23,3 非线性方程的线性化处理 非线性微分方程的求解很困难。忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）。 在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。,24,小偏差线性化的概念 （小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过

12、程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。 因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。,25,举例 一个自变量 y=f(r)r元件的输入信号，y元件的输出信号,略去高次项，,设原运行于某平衡点（静态工作点）A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0)B点：当r变化 r， y=y0+ y函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点

13、展开成泰勒级数，即,26, 两个自变量 y=f(r1， r2) 静态工作点： y0=f(r10， r20) 在y0=f(r10， r20) 附近展开成泰勒级数，即,函数变化与自变量变化成线性比例关系。,27,2.2.3 系统线性化的条件及步骤 1.条件 系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作点; 在运行过程中偏离且满足小偏差条件; 在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。,28,建立步骤 按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分方程。 确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作状态。 对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若

14、符合就进行线性化处理。 将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。 联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系统总输入和总输出增量的线性化方程。,29,关于线性化的几点说明 线性化方程中的参数与选择的工作点有关，因此，在进行线性化时，应首先确定系统的静态工作点。 实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化。 若非线性特性是不连续的不能采用上述方法。 线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。,30,2.2 控制系统的复数域数学模型,31,传递函数的定义和性质 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构

15、参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。,32,1. 定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：,意义：,33,传递函数的求法 线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件）,34,当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为,例 求图示RC电路的传递函数

16、，其中ui(t)是输入电压， uo(t)是输出电压,解 由基尔霍夫电压定律可得,35,传递函数的概念只适用于自动控制系统中的线性定常系统。传递函数是系统的动态数学模型的另一种形式，它取决于系统或元部件的结构及参数，与输入量的物理特性无关，并且和微分方程中各项对应相等。实际工程中，许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，所以传递函数只描述了输出与输入之间的关系，并不提供任何有关该系统的物理结构。一个传递函数只适用于单输入、单输出系统，因而信号在传递过程中的中间变量是无法反映出来的。对于系统未知的传递函数，可通过给系统加上已知特性的输入，再对其输出进行研究，就可以得到该系统传递函数，并可以给出其

17、动态特性的完整描述。传递函数的拉氏反变换是系统对应的脉冲响应,关于传递函数的几点说明,2.2 传递函数,36,上式中 Kg零极点形式传递函数的根轨迹增益 ； -zi 分子多项式M(s)=0的根，称为零点； -pj 分母多项式N(s)的根，称为极点。N(s)=0是控制系统的特征方程式。zi、pj可为实数、虚数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。,零极点表示法,37,（6）时间常数表示法,上式中 i分子各因子的时间常数 ； Tj分母各因子的时间常数 ； K 时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。,38,一般形式,39,用复阻抗法求电网络的传递函数,求取无源网络或电子调节器

18、的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。,40,解： 令,例 求图示电路的传递函数,则,41,一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。 控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导。,4典型环节及其传递函数,42,比例环节的传递函

19、数,比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k阶跃响应：R(S)=1/S C(S)=kR(S)=k/S方框图：,C(t)=k,1,测速发电机：,U(t)=Ktd(t)/dt=kt(t)G(S)=U(S)/(S)=Kt,运算放大器：,C(t)=R2/R1 r(t)G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K,2.2 传递函数,43,惯性环节的传递函数,惯性环节：Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 传递函数： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)阶跃响应： R(S)=1/S C(S)=kR(S)方框图：,C(t)=k(1-e-1/

20、T),2,运算放大器：,传递函数为：G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1) =K/(TS+1),2.2 传递函数,当T=时，惯性环节近似为积分环节；当T=0时，惯性环节近似为比例环节。,44,积分环节的传递函数,3,积分调节器：,在A点列方程可得：i2=i1, i1=Uc(t)/RUc(t)=1/Ci2(t)dt=1/(RC)Uc(t)dt,设RCT（积分时间常数），则有：Uc(t)=1/TUc(t)dt拉氏变换后为：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)传递函数为： G(S)= Uc(S)/ Uc(S) =1/(TS)k/S,2.2 传递函数,45,微分环节的传递函数,微分环节： c(t)=

21、 dr(t) /dt 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= S方框图：,4,由于微分环节具有惯性实际常常以G(S)= kTS/ (TS+1)形式出现 。其中T为时间常数，T越小微分作用越强，当T0 而KT保持有限值时，方程变为纯微分环节了。,输入量取角度时的传递函数即为微分环节。,表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为,进行拉氏变换得到,那么该元件的传递函数为,测速发电机：,2.2 传递函数,46,微分环节的传递函数,一阶微分环节： c(t)= /dt + r(t) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= S+1方框图：,5,比例微分调节器：,根据电路

22、的基本定律得到以下方程组,那么该元件的传递函数为,消去中间变量得到输出、输入电压之间的关系,47,这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点分别为实数和一对共轭复数。,微分环节的传递函数,48,振荡环节的传递函数,振荡环节：T2 d2r(t)/dt2 +2Tdr(t)/dt +r(t) r(t)传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2 +2TS+1) 方框图：,6,RLC振荡电路：,电路的微分方程为：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Ur d2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令n=1/LC，=0

23、.5 RC/L则上式的拉氏变换为： (S2 + 2nS+n2)Uc(S)=n2Ur(S) n2 S2 + 2nS+n2,传递函数为： G(S)=Uc(S)/Ur(S),49,延迟环节的传递函数,延迟环节： c(t)= r(t- ) 传递函数：G(S)=C(S)/R(S)= e-s方框图：,7,轧钢厂带厚度检测元件:,则滞后时间为： l/v（S)测厚信号c(t)与厚差信号r(t)之间的关系为： c(t)r(t-)在零初始条件下，拉氏变换为： C(S) R(S)e-S传递函数为: G(S)= C(S)/R(S) e-S,A点产生的误差在B点才被检测到。设测厚仪距支架的距离为l，带钢运行速度为v,2

24、.2 传递函数,50,说明: （1）对应同一元件（或系统），可以取不同的量作为输出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。 （2）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由什么样的典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便。 （3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。,51,2.3 控制系统的结构图及其等效变换,52,2.3.1 结构图的基本概念 系统结构图又称方块图，是将系统中所有的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的；方块的一端为相应环节的

25、输入信号，另一端为输出信号，用箭头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递函数。,表明了系统的组成、信号的传递方向；表示出了系统信号传递过程中的数学关系；可揭示、评价各环节对系统的影响；易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数；直观、方便（图解法）。,53,2.3.1 动态结构图,动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中各变量所进行的运算。,动态结构图的组成,1）信号线,带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线上写明该信号的拉氏变换表达式。,2）综合点,3）引出点,4）方 框,在信号线上的“”，表示信号引出的位置。,方框中

26、为元部件或系统的传递函数，方框的输出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。,它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。如果输入的信号带“”号，就执行加法；带“”号就执行减法。,2.3 动态结构图与梅森公式,54,2.3 动态结构图与梅森公式,动态结构图建立步骤是,建立系统各元部件的微分方程。要注意，必须先明确系统的输入量和输出量，还要考虑相邻元件间的负载效应。,按照系统中各变量传递顺序，依次连接3）中得到的结构图，系统的输入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系统的动态结构图。,将得到的系统微分方程组进行拉氏变换。,按照各元部件的输入、输出，对各方程进行一定的变换，并据此绘出各元部件的动态结构

27、图。,1,2,3,4,一个动态结构图建立的例子,55,2.3 动态结构图与梅森公式,一个动态结构图建立的例子,RC无源网络,U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2 (S)CS,I1(S)+I2 (S)=I(S),U2(S)=I(S)R2,步骤一 列写方程组,步骤二 画出对应方程的部分结构图,步骤三 依次连接得到系统结构图,56,2.3.2 动态结构图的化简,2.3 动态结构图与梅森公式,结构图的等效变换的原则：变换前后输入输出之间的传递函数保持不变。,串联：,并联：,反馈连接：,57,2.3 动态结构图与梅森公式,综合点前移：综合点后移：综合点之间移动：,1G1(S),G(S),G1(S

28、),结构图中综合点的移动方法,58,引出点前移：引出点后移：引出点之间移动：,2.3 动态结构图与梅森公式,结构图中引出点的移动方法,一个利用结构图化简求取传递函数的例子,59,2.3 动态结构图与梅森公式,G1(s),G2(s),R(s),C (s),用结构图的等效变换，求图所示系统的传递函数,解：这是一个无交叉多回路系统，可以应用串联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的简化过程演示如下：,一个利用结构图化简求取传递函数的例子,开始,G3(s)G4(s),60,例2.9 简化下图，求出系统的传递函数。,解 图2.31是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用相加点、分支点互换的方法处理。

29、,（1）将相加点a移至G2之后,61,（2）再与b点交换,（3）因 G4与G1G2并联， G3与G2H是负反馈环节,62,（4）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为,注：以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数 是闭环系统简化的结果；分母中不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环传递函数应根据定义和具体框图定。,63,归纳规律：,通过上述例子，可以看到如果满足以下两个条件：所有回路两两相互接触；所有回路与所有前向通道接触。,则可以得到以下几条简化结构图的规律：闭环系统传递函数是一个有理分式,负反馈取“+” 正反馈取“”,式中， m是前向通道的条数，n是反馈回路数。,64

30、,信号流图的基本概念 1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。 先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2 = a12 x1式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。 信号传递关系 函数运算关系 变量因果关系,x1,a12,x2,信号流图及梅逊公式,65,下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。 设有一系统，它由下列方程组描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4

31、 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x4把内部变量结构和相互关系描述的一清二楚,a43,a44,x1,a12,x2,x3,x4,x5,a23,a34,a45,a24,a25,a32,66,2.信号流图的基本元素 (1) 节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近旁标出所代表的变量。 (2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。 支路具有两个特征： 有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。 有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。,67,3.信号流

32、图的几个术语 节点及其类别 输入节点(源点) 只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。,混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。,输出节点(汇点) 只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。,1,x2,68,通道及其类别 通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。 开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12 a23 a34 。,闭通道(回环) 如果通道的终点就是起点的开通道。如a23 a32 ，a33 (自回环) 。,69,前向通道

33、 从源节点到汇节点的开通道。 不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。4.信号流图的基本性质 1）信号流图只能代表线性代数方程组。 2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。 3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。 4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 5）对于给定的系统，信号流图不唯一。,70,2.8.2 信号流图的绘制方法 1.直接法 例2-19 RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。,解：(1)列写原始方程,(2)取拉氏变换

34、，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+),(3)整理成因果关系,71,(4)画出信号流图如图所示。,Ur(s),Uc(s),I(s),uc(0+),ic(0+),72,2.翻译法 例2-20 画出下图所示系统的信号流图。,解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。,R(s),E1(s),C(s),E2(s),G2(s),G1(s),-H(s),73,系统结构图 信号流图变量 节点输入变量 源节点比较点引出点 混合节点传输线 方框 支路输出端 汇节点,74,2.6.4 信号流图的等效变换法则,75,2.3.3 梅森公式,2.3 动态结构图与梅森公式,：是系统总传递函数。,：前向通路数。

35、,：从输入端到输出端第k条前向通路 总传递函数。,：信号流图的特征式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，,：是所有回路的回路增益乘积之和。,：是所有任意两个互不接触回路增益乘积之和。,：为在 中不与第k条前向通路相接触的那一部分回路所在 项，称为第k条前向通路特征式的余因子。,其中,利用梅森公式求取传递函数的例子,其分母总是 。,76,例2.12 用梅逊增益公式求图2.43所示的传递函数。,解 一条前向通道，P1=G1G2G3G4G5,三个反馈回路，L1=G2G3H1 L2=G3G4H2 L3=G1G2G3G4H3,三个回路相互接触，=1 (L1 +L2 +L3),=1 (G

36、2G3H1 G3G4H2 G1G2G3G4H3),77,三个回路均与前向通道接触，1=1,78,解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道 =1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk P1 = abcdefgh 1 = 1 0 = 1,例2-21 求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。,79,例2-22 已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。,解：单回路：ac，abd，gi，ghj， aegh,两两互不接触回路： ac与gi，ghj; abd与gi，ghj 1-(ac+gi+abd+gh

37、j+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj) x1到x2的传输： P1 = 2ab 1 = 1 (gi + ghj) P2 = 3gfab 2 = 1,80,x1到x3的传输： P1 = 3 1 = 1 ( ac + abd ) P2 = 2ae 2 = 1,81,例2-23 试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。,解： 单回路： G1 ，G2 ，G3 ，G1G2两两互不接触回路: G1和G2 ， G1和G3 ， G2和G3 ，G1G2和G3,82,三个互不接触回路: G1 ， G2和G3 前向通道：P1 = G1 G2G3 K 1 = 1,P2 = G2G3 K

38、2 = 1 + G1,P3 = G3 K 3 = 1 + G2,P4 = G2 (1)G3 K 4 = 1,83,2.3 动态结构图与梅森公式,利用梅森公式求取传递函数的例子,前向通路有2个，,5个回路，,因为各回路都互相接触，所以特征式为,且2条前向通路与所有回路都接触，所以2个余子式为,故，代入梅逊公式即得系统传递函数,84,梅逊增益公式在结构图上的应用,由于一一对应的关系，可以直接根据结构图，利用梅逊公式直接写出传递函数。例2-19 已知结构图如图所示，试用梅逊公式求C(s)/R(s)。,1.相加点处的-记入反馈支路增益中,2.相加点与其输入线上的分支点翻译成相邻的2个节点，增益为1，但

39、代表不同变量,比较点与其输出线代表的是一个节点，但如果比较点前的输入线有分支点，分支点和比较点就必须用两个节点表示！,85,解：,86,例2.10 试简化下图所示系统的结构图，并求系统的传递函数,有一条前向通道：G1G2G3G4反馈回路开环传递函数：G1G2G3G4 H1， G3G4 H3， G2G3 H2前向通道与反馈回路两两接触所以,87,2.4 控制系统的几种常用函数,1、系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积，即G(S)H(S) G1(S)G2(S)H(S)B(S)E(S),自控系统的典型结构,2、系统闭环传递函数：包含给定信号r(t)作用下的传递函数(S)、干扰信

40、号n(t)作用下的传递函数n(S)。,88,2.4 控制系统的几种常用函数,r(t)作用下的传递函数：(S)=C(S)/R(S) = G1(S)G2(S) 1+ G1(S)G2(S)H(S)C(S)= (S) R(S) = G1(S)G2(S)R(S) 1+ G1(S)G2(S)H(S),89,2.4 控制系统的几种常用函数,3、闭环系统的误差传递函数：包含给定信号r(t)作用下的误差传递函数e(S)、干扰信号n(t)作用下的误差传递函数en(S)。,90,写在最后,成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits,谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折,Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal,