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1、角动量守恒定律,教材：5.2与5.5节（学习角动量守恒定律主要是为了研究刚体的定轴转动问题，注意刚体是特殊的质点系）作业：练习6,一、概念：角动量、力矩、冲量矩、角量系统二、质点角动量定理三、质点系的角动量定理四、角动量守恒定律,质点的角动量守恒定律,概念： 刚体、定轴转动,结构框图：,【引入】为什么提出“角动量”概念？,问题一：两个质点如右图，以不同半径的轨道转动，动量大小相等，位移方向相同时连动量方向也相同，该如何区别两个质点？,但是系统有机械运动，说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。,问题二：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为,一、相关概念 1. 质点的
2、角动量(angular momentum),定义：,大小：,方向：,质点相对O点的矢径,质点的角动量的方向,质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量,的方向符合右手法则。1）从位矢 转向速度 2）夹角小于180度,四指代表质点相对于0点的转动趋势，则大拇指代表角动量的方向,【特别】在圆轨迹运动时,直角坐标系中角动量的分量表示,*必须指明参考点，角动量才有实际意义。*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。,2、力矩(moment of force),单位：牛米（N m）,定义：力对定点的力矩,四指代表该力作用下质点相对于0点的转动趋势，则大拇指代表角动量的方向,【特别
3、】在圆轨迹运动时,例题、,解：,求角动量和力矩,直角坐标系中力矩的分量式:,作用力和反作用力对同一参考点合力矩为零。从而，质点系内力矩矢量和一定为零。,力矩为零的情况:,（1）力 等于零；,（2）力 的作用线与矢径 共线(即 ）即过0点的有心力,有心力：物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点,力心,按惯性定律知此时物体保持静止或者匀速直线状态,作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.,二、质点的角动量定理(theorem of angular momentum),质点的角动量定理(theorem of angular momentum),质点角动量
4、对时间的变化率等于作用于质点的力矩质点角动量定理的微分形式。质点角动量的增量等于外力矩对质点的角冲量（冲量矩）角动量定理的积分形式,冲量矩,例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.,质点的角动量定理,小球受重力和支持力作用,圆环的支持力为有心力，力矩为零；重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,质点的角动量定理,解,得,由题设条件积分上式,本题也可以用质点的功能原理求
5、解。,因为,三、质点的角动量守恒定律,所以,角动量守恒定律,（2）力 的作用线与矢径 共线，即过0点（即 ，有心力）,力矩为零的情况,（1）力 等于零；,这也是自然界普遍适用的一条基本规律。,如果作用于质点的合力矩不为零, 而合力矩沿z轴的分量为零,则,恒量 ( 当Mz = 0时 ),当质点所受对z轴的力矩为零时,质点对该轴的角动量保持不变质点对轴的角动量守恒定律。,例、,已知：地球 R=6378 km（地球均匀球体） 卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1 远地: h2= 2384 km 求 ： v2=?,解：,由于卫星是在地球的万有引力有心力作用下运动，故卫星 m 对
6、地心 o的 角动量守恒,近地,远地,例：行星运动的开普勒第二定律认为, 对于任一行星, 由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律证明之。,解:将行星看为质点,在dt 时间内以速度 完成的位移为 ,矢径 在d t 时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。,根据质点角动量的定义,则,矢径在单位时间内扫过的面积（称为掠面速度）,万有引力属于有心力, 行星相对于太阳所在处的点O的角动量是守恒的, 即 = 恒矢量,故有,恒量,行星对太阳所在点O 的角动量守恒,不仅角动量的大小不随时间变化, 即掠面速度恒定, 而且角动量的方向也是不随时间变化的, 即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的
7、。,例：质量为m的小球系于细绳的一端 ,绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上, 小球被放在水平桌面上内绕细棒旋转, 某时刻角速度为1，细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后, 由于细绳缠绕在细棒上, 绳长变为r2, 求此时小球绕细棒旋转的角速度2 。,解：小球受力 绳子的张力 ,指向细棒；重力 ，竖直向下；支撑力 ,竖直向上。 与绳子平行, 不产生力矩； 与平衡，力矩始终为零。所以, 作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小球对细棒的角动量必定是守恒的。,根据质点对轴的角动量守恒定律,式中v1是半径为r1时小球的线速度, v2是半径为r2时小球的线速度。,代入上式得,解得,可见, 由于细绳越转越
8、短, , 小球的角速度必定越转越大, 即 。,而,例：光滑的水平面上用一弹性绳（k）系一小球(m)。开始时，弹性绳自然伸长(L0)。今给小球与弹性绳垂直的初速度V0, 试求当弹性绳转过90度且伸长了L 时，小球的速度大小与方向。,习 题 训 练,解 由机械能守恒有：,如何求角度？,由于质点在有心力作用下运动，故角动量守恒。有：,解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律,得,得,当飞船在A点以相对速度u 向外喷气的短时间里 , 飞船的质量减少了m 而为 , 并获得速度的增量 , 使飞船的速度变为 , 其值为,质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒,
9、飞船在 A点喷出气体后, 在到达月球的过程中, 机械能守恒,即,于是,而,例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒,系统角动量守恒,由角动量定理,即,考虑到,例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?,解 碰撞前 M 落在 A点的速度,碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度,把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒,解得,演员 N 以 u 起跳, 达到的高度,
