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1、解直角三角形及其应用,4.3,1,解直角三角形（一）,2,如图4-23，在直角三角形ABC中，C=90，A，B，C的对边分别记作a，b，c .,图4-23,3,1. 直角三角形的三边之间有什么关系？,a2+b2=c2(勾股定理),图4-23,4,2. 直角三角形的锐角之间有什么关系？,A+B=90.,图4-23,5,3. 直角三角形的边和锐角之间有什么关系？,图4-23,6,根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形(全等的直角三角形算一个)？,（1）一个锐角为 40；,（2）一个锐角40，它的邻边长为3cm；,无数个,（3）一个锐角40，它的对边长为3cm；,（4）一个锐角40，斜边长为3c
2、m；,（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.,1个,1个,1个,1个,7,从这些问题的结论，你猜想有什么规律？这个猜想正确吗？,8,在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.,9,如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三角形的边吗？,不能.因为此时的直角三角形有无数多个.,10,举例,例1 如图4-24，在RtABC中，a=5，求B，b，c.,图4-24,11,举例,例2 在RtABC中，C = 90，a =15.60cm， b=8.50cm，求c，A，B(长度精确
3、到0.01cm)， 角度精确到1).,解:,由于,因此,从而,12,答：,1. 在RtABC中， b=3cm， 求A，a，c (精确到0.01cm).,13,答：,2. 在RtABC中， a=5.82cm，c=9.60cm， 求b，A ，B (角度精确到1，长度精确到 0.01cm).,14,4如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=,B,，则AC=_.,5,15,2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？,解析:利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:261036（米）.答:大树在折断之前高为36米.,
4、16,如图，ABC中，C=90，AB=8，cosA=,则AC的长是_,6,2.（2010常德中考）如图，在RtABC中， 若AC=2BC，则sinA的值是（ ）,C,17,通过这节课，我们应当掌握：1、掌握直角三角形的五个元素，已知两个元素（至少有个是边），能求出其余三个元素；2、能把数学问题转化成解直角三角形问题。,18,解直角三角形（二）,19,1.仰角与俯角的定义 在视线与水平线所成的角中规定: 视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。,20,东,西,北,南,O,（1）正东，正南，正西，正北,（2）西北方向:_ 西南方向:_ 东南方向:_ 东北方向:_,射线OA,A,B
5、,C,D,OB,OC,OD,45,射线OE,射线OF,射线OG,射线OH,45,45,45,认识方位角,21,O,北,南,西,东,南偏西25,25,北偏西70,南偏东60,射线OA,射线OB,射线OC,70,60,认识方位角,22,举例,例3 如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成 30角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离.,图4-25,23,从而,答：B处与河岸的距离约为250m,?,在RtABC中，C=90，A=30，AB=500m.,由于BC是A的对边，AB是斜边，因此,A,C,B,24,举例,例4 如图4-26，在高为28.5m的楼顶平台D处，用仪器测得一路灯电
6、线杆底部B的俯角为15，仪器高度AD为1.5m.求这根电线杆与这座楼的距离BC(精确到1m).,图4-26,25,图4-26,由于BC是BAC的对边，AC是邻边，,因此,答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.,从而,AC=28.5+1.5=30(m)，,26,答：,如图4-27，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船的北偏东 的方向，轮船从B处向正东方向行驶2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向.求C处与灯塔A的距离(精确到1m).,图4-27,27,举例,例5 如图4-28，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长2.0m，下底长3.6m，一腰长1.9m.求等腰梯形的高(精确到0.
7、1m)，以及一腰与下底所成的底角(精确到1).,图4-28,28,图4-28,29,5、如图，张华同学在学校某建筑顶部的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为300，旗杆底部B点的俯角为450，若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9m，旗杆台阶高1m，则旗杆顶点A离地面的高为_m。,基本应用训练:,H,30,7、如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点A处测得某岛C在北偏东600的方向上，航行3小时到达点B，测得该岛在北偏东300的方向上且该岛周围86海里内有暗礁（1）试证明：点B在暗礁区外；（2）若继续向东航行有无触暗礁的危险？,基本应用训练:,31,解直角三角形（三）,32,想一想：
8、,在直角三角形ABC中, C90，ab10,ba4，求a、b、c、tanA。,33,图4-29的(1)和(2)中，哪个山坡比较陡？,(2)中的山坡比较陡.,34,如何用数量来反映哪个山坡陡呢？,35,如图4-30，从山坡脚下点P上坡走到点N 时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即,图4-30,36,坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，,即i=,坡度通常写成1：m的形式,i=1：m,37,坡度通常写成 1 : m 的形式 图4-30中的MPN叫作坡角(即山坡与地平
9、面的夹角).,图4-30,显然，坡度等于坡角的正切. 坡度越大，山坡越陡.,38,1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角=_度。,3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_。,巩固概念,2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _。,4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 _米。,5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为_米。,39,举例,例6 如图4-30， 一山坡的坡度 i = 1:1.8，小刚从山坡脚下点P上坡走了24m到达点N，他上升了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多少度(精确到1)？,图4-30,40,图4-30,
10、41,有一段防洪大堤，横截面为梯形ABCD，ABCD，斜坡AD的坡度 为1：1.2，斜坡BC的坡度 为1：0.8，大坝底宽AB为10米,坝高2米,求坝顶宽及斜坡BC的坡角。,练习概念,i1=1：1.2,i2=1：0.8,10米,A,B,C,D,2米,E,F,42,答：路基底宽为30.0m， 坡角,如图4-31，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽(即等腰梯形的上底长)为10.2m，路基的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为6.2m.求路基的底宽(精确到0.1m)和坡角(精确到1).,图4-31,43,本章我们主要学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念，以及它们在求解直角三角形和实际生活中的广泛应
11、用,44,一、锐角三角函数,1. 概念,在直角三角形中，一个锐角为，则,分别叫作角的正弦、余弦、正切.锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数,45,2. 30，45，60角的正弦、余弦、正切值.,46,3. 同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系.,(3) 已知 tan的值，是锐角，求sin，cos 的值的方法可以参看4.2节的例3.此方法可推广 到：已知sin(或cos)的值，是锐角，求 cos(或sin)，tan的值.,47,4. 互为余角的正弦、余弦的关系,设是锐角，则,48,5. 用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值,6. 已知正弦或余弦，或正切值，用计算器求相应 的锐角.,49,二、解直
12、角三角形及其应用,1. 在直角三角形中，除直角外的5个元素，只要知道 其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.,50,图4-35,51,2. 在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄清楚实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已知元素；,其次要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正弦，或余弦，或正切；,第三要会用计算器进行有关计算,52,例1,A,已知在 RtABC 中 ，C = 90，sinA = ，则tanB的值为（ ）A. B. C. D.,53,例2,如果是等腰直角三角形的一个锐角，则tan的值是（ ）A. B. C. 1 D.,C,54,例3,如图所示，RtABCRtDEF，则cosE的值等于（ ）A. B. C. -3 D.-1.,A,55,结 束,56,
