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1、第四章：控制系统的复数域分析与综合,根轨迹的基本概念根轨迹的绘制利用MATLAB绘制系统根轨迹控制系统性能的复域分析控制系统的根轨迹综合,第1节：根轨迹的基本概念,例子（视频摄像系统),第1节：根轨迹的基本概念,令增益K从0变化到，用解析法求特征根的全部数值，将这些数值标注在S平面上，,其中，箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，标注的数值则代表与根轨迹位置相应的增益K。,将这些数值标注在S平面上，并连成光滑的粗实线，该粗实线称为系统的根轨迹。,根据视频摄像系统的根轨迹，可得：1. 稳定性,(1)系统根轨迹全部位于S平面的左半部，故闭环系统对所有的K值都是稳定的。,(2)劳斯判据。系统的特
2、征方程：S2+10S+K 0,S2 1 KS1 10 0S0 K,K25,系统欠阻尼状态复数极点的实部相等,调整时间Ts不变复数极点虚部增加,系统阻尼比减少,超调量增加,峰值时间下降,(2) 根据系统的根轨迹,2. 动态特性,(1)由阻尼比判断,第1节：根轨迹的基本概念,根轨迹的基本条件,幅角条件：,幅值条件：,假设S平面中有点S1同时满足幅值条件和幅角条件,则S1就是系统K为某值时对应的特征方程的根。,第1节：根轨迹的基本概念,根轨迹基本条件的另一种形式：,令：,则：,由根轨迹的基本条件:,幅角条件为：,幅值条件为:,若Gk(s)无零点？,二、根轨迹方程的应用1. 用幅角条件 求根轨迹曲线例
3、1：已知系统的开环传递函数为：,判断点S1(1, j1)和S2(0.5, j1)是否在根轨迹上。解：该系统无开环零点，有2个开环极点分别为：P1=0, P2= 1在图中作P1、 P2引向S1 (1, j1)的矢量( S1 (P1)、 ( S1 (P2),S1 (1, j1) ,S1+P2,S1+P1,计算得：,( S1 (Zi) ( S1 (Pj)= 0 ( S1+P1) ( S1+P2)= 225，不满足幅角条件， S1 (1, j1)不在根轨迹上，不是该系统某K值对应的闭环极点。,幅角条件：,( S1+P1)135,( S1+P2)90,S2 (0.5, j1) ,S2+P2,S2+P1,
4、在图中作P1、 P2引向S2 (0.5, j1)矢量( S2+P1)、( S2+P2),可计算的：( S2+P1) 116.5( S2+P2) 63.5因此：, ( Si+Zi) ( Sj+Pj)= 0 ( S2+P1) ( S2+P2)= (116.5 63.5)= 180，满足幅角条件。 S2 (0.5, j1)在根轨迹上，是该系统某K值对应的闭环极点。,2. 应用幅值条件，可确定根轨迹上各点所对应的k值例2：求上例中根轨迹上点S2(0.5, j1)对应的k值解：根据幅值条件,由于该系统开环传递函数无零点，则：K= | S+P1 | S+P2 | = 1.1181.118=1.25,说明：
5、例1 确定根轨迹上的点采用的方法属于试探法。 实际绘制根轨迹时，是根据一些基本的规则绘制出近似的根轨迹，再利用试探法对根轨迹重要的位置进行修正。,系统的开环传递函数为：,闭环特征方程为： 1+ Gk(S)=0 Gk(S)= 1+j0 = 1(2k+1)180,利用幅值条件，,=1,由此确定与S1对应的系统根迹增益K。,对于S平面中点S1 ，如果满足幅角条件：,S1是系统根轨迹上的点。,(2k+1)180 k=0,1, 2,.,小结：反馈控制系统的相对稳定性和动态性能主要取决于： S平面上系统闭环特征根（闭环极点）的位置分布。为了使系统具有预期的性能（闭环特征根处在合适的位置），采取方法：不改变
6、控制器结构情况下，通过改变系统主要参数取值，调整系统的响应。 改变系统控制器结构（系统校正）掌握系统S平面上的特征根位置随参数变化的规律非常有用。根轨迹法：当系统某个参数变化时，绘制根在S平面上的位置变化轨迹的工程图解方法。,第2节：根轨迹的绘制,绘制根轨迹的概略图规则1：根轨迹的分支数等于系统闭环极点的个数，也等于系统开环极点的个数。规则2：根轨迹是连续的，且对称于实轴。规则3：根轨迹在实轴上的分布是实轴段右侧的开环零、极点个数之和为奇数时，该实轴段属于根轨迹。规则4：根轨迹开始于开环极点，终止于开环零点。规则5：根轨迹在无穷远处的形态：,规则3的解释：如图所示，在S平面上有3个开环极点P1
7、, P2, P3和一个开环零点Z1的一种分布情况，其中P1, P2是一对共轭极点， P3, Z1分别是实数极点和零点。,P1,P2,P3,Z1,S1,(1) ( S1 (P3) 0,(S1 (P1)(S1 ( P2) 0,( S1 ( Z1)0,因此，试验点S1不在根轨迹上。,(2) ( S2+P3)180,( S2+P1) ( S2+P2) 0,( S1+Z1)0,因此，试验点S2在根轨迹上。,(3) ( S3+P3)180,( S2+P1) ( S2+P2) 0,( S1+Z1)180,因此，试验点S3不在根轨迹上。,返回,根轨迹起点对应于系统参数k=0时特征根在S平面的位置，因此，k=0
8、时，必有SPj (j=1,2,.,n)，即：n条根轨迹必起始于开环传递函数的极点。,S是系统特征根,规则4的解释：,根轨迹终点对应于系统参数k=时特征根在S平面上的位置。k= 时，必有S Zi (i=1,2,.,m)，即：m条根轨迹必终止于开环传递函数的零点。,如果nm，则有(n m)条根轨迹止于无穷远处。,规则4： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 有m条根轨迹终止于有限开环零点。 有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处开环零点。,例： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：,(T0),试确定根轨迹的分支数及起点、终点解：将开环传递函数改写为：,式中k= k/T开环极点2个：有限开环零点1
9、个：,k=0,k=0,k=,k=,返回,规则5的解释：根轨迹的渐进线大部分系统开环极点个数n多于开环零点个数m，系统将有(n-m)条根轨迹趋于无穷远处零点。在此利用一组(n-m条)渐近线反映。渐进线：根轨迹在无穷远处(k )的形态（或方位）包含2个参数： 渐进线倾角 渐进线与实轴的交点（渐近线在实轴上的中心点）,1. 渐进线倾角假设：无穷远处有特征根Sk，则S平面上所有的开环有限零点Zi和极点Pj 到Sk的向量幅角都相等。,无穷远处Sk ,( Sk (Zi)=(Sk (Pj) ,渐进线倾角为：,( Sk+Zi)= ( Sk+Pj) ,代入 幅角公式得：,2. 渐进线与实轴的交点假设：无穷远处有
10、特征根Sk，则S平面上所有的开环有限零点Zi和极点Pj到Sk的向量长度都相等。,Sk ,对无穷远处特征根Sk而言，可认为所有开环有限零点、极点都汇集在实轴上中心点 上，即：Zi Pj ,= | (Sk +) n-m |= k,等式右边展开，为：,(Sk + ) n-m Skn-m + (n m)Skn-m-1 +.,将Zi Pj 代入幅值条件可写为：,左边采用长除法处理，为：,Sk n-m +(P1 P2+. Pn ) (Z1Z2+. Zm ) Skn-m-1 + .,对应s幂项系数相等，得： (n m) (P1 P2+. Pn )+(Z1 Z2+. Zm )则：渐进线与实轴的交点为,确定渐进
11、线位置：,例： 已知控制系统开环传递函数为：,试确定根轨迹渐进线在S平面上的位置。解：n=3，m=0, 该系统的根轨迹有3条渐进线， （1）渐进线在实轴上的交点为：,（2）渐进线与实轴的夹角为：, 1,1, = 60,例4.1的根轨迹图：,规则6: 根轨迹的分离点和会合点,根轨迹离开实轴的点a称为分离点。根轨迹返回实轴的点b称为会合点。,根轨迹概略图的进一步修正, 分离点（或会合点）对应于特征方程中的二重根 一般情况下，分离点与会合点位于实轴上。,根轨迹在1和2之间的某一点1离开实轴，而在3和5之间的某一点2回到实轴。,当k=0时，根轨迹起始于极点1和2，在k增加时2支根轨迹在实轴上相向移动，
12、当闭环极点在实轴上最终相遇形成分离点时，此时增益 k一定是极大值。,因此，当系统闭环极点在实轴上2个开环极点之间变化时增益k取极大值对应于根轨迹的分离点。,实轴上2个开环零点之间的汇合点对应于增益k取极小值。,求取分离点与会合点的方法,方法1：寻找特征方程中的k极值系统闭环特征方程： 1+G(S)H(S)=0,令：,即：满足下式,由于：,即：,1+G(S)H(S)=0,1+Gk(S) = 0,D(S)N(S) D(S)N(S) = 0,寻找特征方程中的k极值，必须满足：,根轨迹上分离点和会合点及其对应K值,说明： 如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间，则这两极点之间至少存在一个分离点。 如果
13、根轨迹位于实轴上两相邻开环零点之间，则这两零点之间至少存在一个会合点。,例: 已知控制系统开环传递函数为：,试确定根轨迹在实轴上的分离点。解：,D(S)= S(S+1) (S+2), N(S)=1,即：3S2+6S+2=0,S1= 0.422, S2= 1.578,舍去,D(S)= S(S+1) (S+2)=S3+3S2+2S, N(S)=1D(S)=3S2+6S+2 , N(S)=0,寻找特征方程中的k极值，必须满足：,D(S)N(S) D(S)N(S) = 0,开环极点：0，1，2,方法2：P95页式(4.16),求取分离点与会合点的方法,规则7：根轨迹与虚轴的交点方法一: 令s=jw代入
14、系统特征方程方法二：劳斯判据,根轨迹与虚轴相交：交点处闭环极点位于虚轴上。因此，将S=j 代入特征方程中，得： 1G(j )H(j )0令：,由上式可求取虚轴交点值和对应的临界增益k值。,例：求根轨迹与虚轴的交点,控制系统闭环特征方程为： S(S+1)(S+2)+k = S3+3S2+2S+k = 0令S=j，上式变为： (j)3+3 (j)2+2(j)+k=0,3 2+k=0, 3+2 =0,解得： 1.414 (rad/s) k=6,规则7：根轨迹与虚轴的交点方法一: 令s=jw代入系统特征方程方法二：劳斯判据,即： (1+k)S2+(64k)S+(8+20k)=0列写劳斯表：S2 1+k
15、 8+20k S1 64kS0 8+20k令S1所在行为全零行，即： 64k0 得：k=1.5由S2所在行的元素构成的方程有： 2.5 S2 +38 = 0 得：S=j3.9根轨迹与虚轴的交点为=j3.9，对应的k值为1.5。,为何是S1行？,根轨迹概略图的进一步修正,规则8-1：开环复数极点的出射角起始于开环复数极点的根轨迹在起点处切线与水平线正方向的夹角。,-P1,-P2,-P3,-Z1,S1,根据幅角方程，有：,( S1+Z1) ( S1+P1) +( S1+P2) +( S1+P3)(2k+1),出射角p1= ( S1+P1) = -(2k+1)+ (-P1+Z1) (-P1+P2)
16、+( -P1+P3),( -P1+Z1),( -P1+P2),( -P1+P3),规则8-2：开环复数零点的入射角终止于开环复数零点的根轨迹在终点处切线与水平线正方向的夹角。,根据幅角方程，有：,计算入射角的公式为：,结论：计算复数开环极点-P1出射角的公式为：,(-P1+Zi ),i=1,m,p1-(2k+1)+,(-P1+Pj),j=2,n,计算复数开环零点-Z1入射角的公式为：,例4.2: 试绘制下图所示的控制系统的根轨迹图,(1) 系统的开环极点-P1= 2, -P2,3= 4, 系统的开环零点-Z1,2= 2j4,(2) 根轨迹分支数： 2(3) 根轨迹对称于实轴(4) 根轨迹起始于
17、2个开环极点，终止于2个有限的开环零点,解：,(5) 开环复数零点的入射角为2,根轨迹的入射角:,1=90, 3=arctg4/4 =454=arctg4/6= 33.7取k=0, 则：2=168.7,根据入射角的计算公式：,(6)根轨迹与虚轴交点系统的特征方程为：,即： (1+k)S2+(64k)S+(8+20k)=0列写劳斯表：S2 1+k 8+20k S1 64kS0 8+20k令S1所在行为全零行，即： 64k0 得：k=1.5由S2所在行的元素构成的方程有： 2.5 S2 +38 = 0 得：S=j3.9根轨迹与虚轴的交点为=j3.9，对应的k值为1.5。,(7) 根轨迹与实轴交点（
18、分离点）由系统的特征方程得：,令dk/dS=0, 即：,解得： S1= 2.88, S2= 5.28(舍去),例4-3： 已知开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹。,(1)系统开环极点为-P1=0, -P4= 4, -P2,3= 4j4, 系统开环零点为：， ， ， (2) 根轨迹的分支数：4(3) 根轨迹对称于实轴(4) 根轨迹起始于4个开环极点，终止于4个无限的开环零点，即：根轨迹4个分支趋向于无穷远处。,解：,(5) 确定渐进线：,= 45, k=0=135, k=1= 225, k=2= 315, k=3,= 3,与实轴的交点：,=,(6) 开环复数极点的出射角：,1= 135, 3=
19、903= 90取k=0, 则：4= 495 = 135,(7)根轨迹与虚轴交点系统的特征方程为：S4+12S3+64S2+128S+k=0,列写劳斯表：S4 1 64 kS3 12 128S2 53.33 k S1 (6826.2412k)/53.33S0 k令S1所在行为全零行, 即: 6826.2412k=0 得：k=569由S2所在行的元素构成的方程有： 53.33S2 +569= 0 得：S=j3.27根轨迹与虚轴的交点为=j3.27，对应的k值为569。,(8) 根轨迹与实轴交点（分离点）由系统的特征方程得：,1 = (S4+12S3+64S2+128S),令dk/dS=0, 即：,
20、解得： S1= 1.5,k = (S4+12S3+64S2+128S),(4S3+36S2+128S)=0,根轨迹推广： 参数根轨迹参数根轨迹：非开环增益系数（如校正元件的时间常数）为可变参数绘制的根轨迹。绘制思路：（1）对控制系统的特征方程进行等效变换，将其写成标准形式：,（2）采用前述的绘制根轨迹的一般规则。说明：参数根轨迹也只能确定控制系统闭环极点的分布。,例4.4 已知某单位反馈系统(H(S)=1)的开环传递函数,其中参数P1为待定。试绘制以待定参数P1为可变参数的根轨迹。,解题思路：设法使P1出现在前向通路增益的位置上。即：构造一个等效的系统，使其特征多项式满足 P1G(S)H(S)
21、= 1解：该系统的闭环传递函数为：,系统前向通道传函,即：系统等效的开环传递函数写成以下形式：,kG(S)H(S) =,将分子、分母同除以不含P1的项(S2+2S+10) :,等效前系统的特征方程： (S2+2S+10)+P1(S+2)0,等效后系统的特征方程： (S2+2S+10)+P1(S+2)0,系统根轨迹如图所示：,kG(S)H(S) =,P1=0,P1=0,P1,P1,第2节：根轨迹的绘制,正反馈系统的根轨迹,等效负反馈,等效负反馈,第2节：根轨迹的绘制,正反馈系统的根轨迹幅角条件：幅值条件:例4.4根轨迹：,第3节：利用MATLAB绘制系统根轨迹,常用命令：rlocus( ),sg
22、rid;,rlocfind( ),第4节：控制系统性能的复域分析,稳定性分析稳态特性分析动态特性分析,系统单位阶跃响应的拉氏变换为,时域响应为,A0,Aj分别是Y(s)在原点和闭环极点pj处的留数,(一)稳定性分析要求系统稳定，则系统全部闭环极点Si均位于S左半面。只要系统的根轨迹有分支进入 S平面右半平面,则:系统在某个增益K范围内是不稳定的.系统稳定与不稳定的分水岭:系统根轨迹与虚轴的交点.,第4节：控制系统性能的复域分析,稳定性分析动态特性分析稳态特性分析,控制系统动态性能好坏是由系统闭环零、极点的位置共同决定.当绘制出系统根轨迹后,可求出某个特定增益值下系统的零、极点的分布。其中，闭环
23、极点的分布决定动态响应类型。 闭环极点位于S左半平面，该极点对应的输出分量是指数衰减的，极点距虚轴越远，衰减越快。 闭环极点是负实数，对应输出分量是单调指数衰减。闭环极点是负实部的复数，该分量是振荡指数衰减。,(二)动态特性分析,闭环零、极点的分布决定了动态响应曲线的形态。因此： 要求系统快速性好，则闭环极点均应远离虚轴。 针对某K值，离虚轴最近的闭环极点对系统的动态性能影响最大。 对于高阶系统，利用主导极点估算系统 的性能指标。主导极点的定义：如果一个稳定系统的闭环零、极点分布符合以下模式：,(1) 左半S平面上距虚轴最近极点是一对共轭复数极点(2)这一对极点的附近没有零点(3)系统的其它极
24、点，有的恰有相邻的零点与之抵消，有的又在这一对极点左方很远( 5 n )因此，将这一对共轭复数极点称为主导极点。例：系统某K值对应的闭环零、极点分布如图所示。,P1和P2是一对主导极点。,cos = n/ n = ,如果高阶系统的闭环传递函数存在一对主导极点，则可以将高阶系统降为二阶系统，利用分析二阶系统响应的方法解决高阶系统的动态性能。,为使系统有一个比较理想的动态性能指标，要求闭环极点分布在一个特定的区域内。,若共轭复数极点s1位于45 (与负实轴夹角)线上时，其对应的阻尼比：,COS = n/ n = ,=COS45=0.707为最佳阻尼比。超过45 线，则阻尼比减小，振荡加剧。,=CO
25、S45=0.707, 闭环实数零点会减少系统的阻尼比，使系统运动速度加快。设原系统输出 Y(S)=GB(S)R(S)引入一个新的闭环零点Z（由添加开环零点获取）Y(S)=GB(S)(S+Z)R(S)= GB(S)SR(S)+ZR(S)对于阶跃响应而言，引入闭环零点后等效于系统的输出增加了一个冲激响应，所以系统运动速度加快。闭环零点的存在，可以削弱或抵消其附近的不利于系统性能的闭环极点的作用。,(1)试用根轨迹法分析系统的稳定性，(2)计算k=0.525时系统的暂态性能指标。,例4-11 已知单位反馈系统开环传递函数,对于稳定的系统，系统增益越大，则稳态误差越小。从根轨迹图上可以确定不同增益值的
26、系统，分析其稳态特性。说明：计算性能指标时，在一定条件下可以只考虑主导极点所对应的暂态分量，将高阶系统近似为一阶或二阶系统。,(三)、稳态特性分析稳态误差与系统根迹增益K有密切关系。,解：,=,其中k=2k。绘制根轨迹图时，已计算出与虚轴的交点：S1,2= j1.414，k=6 (对应k=3)即：k3, 系统不稳定当k=0.525（k=1.05)时，闭环极点为：S1,2= 0.33j0.58，S3= 2.34结论： S1,2可视为主导，忽略S3的影响，此三阶系统近似为二阶系统。,S1,2= 0.33j0.58,=16.3%,调整时间ts=4/ n =12 (s),由此计算出：=COS60=0.
27、5n =0.667系统在r(t)=1(t)时，,第4节：控制系统性能的复域分析,结论：,闭环极点的分布决定动态响应的类型闭环零极点的分布决定动态响应曲线的形态闭环实数零点会减少系统的阻尼比系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点远离虚轴的零、极点和偶极子对系统动态特性的影响可忽略不计主导极点对系统的动态响应起主导作用,1.开环零点对根轨迹的影响,a为大于0的实数。,第5节：控制系统的根轨迹综合,增加开环零、极点及偶极子子对根轨迹的影响,a 、b为实数, ba,在原系统上添加一个实数开环零点,添加一对共轭复数开环零点,添加开环零点（增加微分环节）：(1)改变了根轨迹在实轴上的分布（针对添加实数零点
28、）(2)改变了渐进线的条数、倾角和分离点(3)根轨迹曲线将向左移,有利于改善系统的动态性能。(4)可添加一个零点以抵消有损于系统性能的极点,2.开环极点对根轨迹的影响,添加开环实数极点对根轨迹的影响,添加开环共轭复数极点对根轨迹的影响,(1)改变了根轨迹在实轴上的分布(2)改变了根轨迹的分支数(3)改变了渐进线的条数、倾角和分离点(4)根轨迹曲线将向右移，不利于系统的稳定性添加开环极点越靠近虚轴，系统稳定性降低越明显。,添加开环极点对根轨迹的影响:,(3) 增加一对开环偶极子偶极子: 指相距很近（和其它零、极点相比）的一对极点和零点。添加一对开环偶极子基本不会影响根轨迹的形状。原因：它们在根轨
29、迹的幅角条件和幅值条件中彼此抵消。结论： 增加一对开环偶极子对系统动态特性不会产生较大的影响。 当这对偶极子很靠近原点，则对系统的稳态特性发生影响。,当这对偶极子非常靠近原点时，它们对系统的稳态特向产生影响,开环传函,位置误差系数,若在原点附近增加一对开环负实数偶极子-zc,-pc,且zc=10pc,则,故,位置误差系数增加十倍，稳态误差减少十分之一,例4-13 已知单位反馈系统开环传递函数,试绘制系统的根轨迹图，并讨论系统的稳定性。解：系统开环极点：P1= 0 , P2= 0 , P3= 10， n=3系统开环零点: , , , m=0分离点：S1,2= 0渐进线倾角：60，180渐进线与实
30、轴交点：3.33根轨迹与虚轴的交点：0，k=0由此绘制出该系统的根轨迹图如下：,P1,P2,P3,k=,k=,k=,从图中看出：系统不稳定。若添加一个开环零点,设Z1在0 10之间，则：, P1,P2,P3,Z1,k=,k=,k=,当开环增益k由0时，系统稳定，单位阶跃响应是衰减振荡响应。,若添加的开环零点Z110，则系统根轨迹为：,P1,P2,P3,Z1,k=,k=,k=,当开环增益k由0时，系统不稳定。,说明：只有引入的附加零点适当，才能改善系统的性能。,第5节：控制系统的根轨迹综合,根轨迹法综合控制系统步骤根据给定的动态性能指标，确定希望的闭环主导极点的位置绘制未校系统的根轨迹。若希望的主导极点不在该根轨迹上，则需综合动态校正装置若希望的主导极点已在该根轨迹上，则检验相应的系统增益是否满足稳态特性要求，若不满足，在原点附近增加开环负实偶极子来提高系统的稳态特性。校验综合后系统是否满足问台和动态性能指标。,第5节：控制系统的根轨迹综合,例4.9,系统根轨迹：,系统开环传函：,例4.9 系统综合后的根轨迹,例4.10,系统根轨迹：,主导极点参数:,稳态误差:,例 4.10 原点附近的跟轨迹,例4.11,综合后系统根轨迹,闭环主导极点参数:,稳态误差指标:,例4.11原点附近的跟轨迹,
