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1、,球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？,球与多面体的内切、外接,如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.,一、直接法,1、求正方体的外接球的有关问题例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .,变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24
2、，则该球的体积为 .,2、求长方体的外接球的有关问题,例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 .,解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为 .,变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D.,C,二、球与多面体的接、切,定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。,定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切
3、多面体， 这个球是这个 。,多面体的外接球,多面体的内切球,棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。,中截面,设棱长为1,球的外切正方体的棱长等于球直径。,球与棱柱的组合体问题,中截面,正方形的对角线等于球的直径。,球内切于正方体的棱,设棱长为1,A,B,C,D,D1,C1,A1,对角面,球的内接正方体的对角线等于球直径。,球外接于正方体,设棱长为1,二、构造法1、构造正方体,例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是,变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， 则球O的体积等于,图4,例5、 求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的
4、表面积。,变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D.,A,2、在等腰梯形ABCD中， E为AB的中点，将 分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）,图3,C,2、构造长方体,已知点A、B、C、D在同一个球面上， ，则B、C两点间的球面距离是 .,图5,三、确定球心位置法,在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为(),四、公式法,一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上
5、，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为,解 ： 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离.外接球的半径小结 本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.,思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_，体积为_,五、构造直角三角形例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积,六、寻求轴截面圆半径法,正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为 .,解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O，如图3所示.由球的截面的性质，可得又 ，球心O必在 所
6、在的直线上. 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在 中，由 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故,几何体的内切球正四面体的棱长为a，则其内切球和外接球的半径是多少？,解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体棱长为a由图形的对称性知，点o也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为R正四面体的表面积正四面体的体积 在 中， 即 ，得 得,【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。,(1)正多面体存在
7、内切球且正多面体的中心为内切球的球心(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”(3)正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的 .(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球),球的旋转定义：,1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。2.半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几何体叫做球体。(球是旋转体 )3.注意：球面和球体的区别：球面仅仅是指球的表面，而球体不仅包括球的表面，而且还包括球面所围成的几何空间。,球的性质,性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。,大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心,A,2、球心和截面圆心的连线垂直于截面,d,r,R,3、球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径的关系：,性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。,大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心,球的内切、外接问题,5、体积分割是求内切球半径的通用做法。,1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。,2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。,
