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1、前言 在科学技术发展到跨进21世纪的今天，应该交给大学生什么样的数学，数学科学的哲学和方法论、数学应用的思维方式如何，以及把数学作为技术开发的工具是怎么样的等等，这一系列问题已经尖锐地摆在工科数学教育工作者面前。目前，大家已经形成的共识是，讲授数学知识不能仅仅局限于伴随牛顿力学产生和发展起来并于一百来年已经形成的经典理论，而是不仅教给学生数学基础理论，还要教给学生应用数学的技能，特别是数学建模和计算机模拟的本领；数学应用的思维方式在提倡抽象思维的同时更强调形象思维或直感思维，使用几何方法，形象化的描述及计算机图示，因为图形对想象力和创造力是强有力的刺激因素；数学应用要把计算机及其技术作为不可缺
2、少的工具和手段，使大学生学习计算机同数学科学的学习与研究紧密结合，不但会用计算机，而且能理解计算机给出的答案。这些共识就是数学教育改革所追求的方向和目标。绪论：如何认识数学数学是人类最古老同时又是最富生命力的知识领域之一。在近几百年，几乎每个世纪，数学都出人意料地获得惊人的发展而创造出新的黄金时代。然而，时至今日仍有不少人对学习、研究数学的目的和意义产生种种疑惑，特别是刚进入高等学校的接受工程技术教育的学生们总是对学习数学产生一系列的疑问，问的最多的是“学习数学对以后所从事的技术工作有什么用？”。甚至有人认为随着计算机技术的发展，大量的计算问题可以由计算机软件处理，学习数学知识已不那么重要了。
3、应该说这是我们数学教育现在必须回答的一个带有根本性的问题。当然，大多数人学习数学既不想当数学家，也不想从事数学教育工作，只是为了进一步学习专业知识和技术而学习数学，而我们面向工程技术教育的学生讲授数学的方式以及学生的学习方法确实有很多地方值得认真反思。一方面，过分的注重“纯数学”的严密体系、严格的证明和复杂计算，而不注重它的应用性和工具性（科学语言）；另一方面，只满足于会作题、应付考试的“应试学习”方式，致使学生们无法对数学知识、思想、方法及其应用价值有明晰的认识。为此，我们提出新的尝试，既传授基本的数学知识，又训练应用技能。本章的目的是想让学生对数学有一个基本的概括性认识。一、 数学无处不在
4、数学是研究数和形及其关系的一门科学。它以研究现时世界中的数量关系和空间形式为主要任务。通俗地讲，数学是以数字、符号、形状和模式来代替文字的一套特殊语言系统。或者说，数学是一种能够描述各种客观规律的语言，是任何学科都要用到的、无比有用、无所不能、神通广大、全球共通的一种特殊语言。正像已故的著名数学家华罗庚教授所说，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具。我们现在无法真正理解为什么毫无智能的动物、植
5、物，甚至低等生物，都会进行奇特的数学创造。如某些细菌的繁殖会满足一些奇妙的数学规律，植物的花瓣形成精美的几何图形，某些贝壳和松果具有螺旋形生长模式等等。自然界充满着数学概念的实例。这就是数学之所以成为描述、解释自然现象的语言的原因。例如，圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造，要分析这个美丽结构用数学方法进行分析时，出现在蜘蛛网中的数学概念是惊人的：半径、弦、平行线段、三角形、全等对应角、对数螺线、悬链线和无理数e 。我们知道蜜蜂营造的蜂房也是奇妙的数学图形。十八世纪初，法国学者马拉尔奇测量了蜂房，发现正面看去它是镶嵌得如此天衣无缝的正六角形，蜂王的底都是由三个全等的菱形组成的，菱形的钝角都是10
6、9，锐角都是等于70（图0-1），这不仅是蜂房 图0-1的空间结构呈如此精美的几何形状，而且据巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格与苏格兰数学家马克劳林的理论计算，这种结构消耗最少的材料和最少的“工时”，这里竟然符合最优化的数学原理，真是不可思议！蜜蜂没有学过镶嵌理论、求解最大值和最小值方法、解线性代数问题和求含约束条件的最优解的艺术，而它却实实在在进行了奇妙的符合数学原理的工程技术创造，这不正是把自然界与数学联系起来的例证吗？在矿物结构中，同样可以找到许多更为奇妙的空间图形，如食盐矿的晶体呈正方体形状，明矾的晶体呈正八面体形状，而矿物质中其它更多的晶体呈更为复杂的几何形状，如十字架石晶体呈正交或
7、斜交十字架双晶形；电气石晶体色泽美丽可作为宝石，呈拄状晶形，拄面有明显的纵条纹，横断面呈弧线三角形；如石榴石的晶体结构呈菱形十二面体或四角三八面体的复杂美妙的几何形状，透明色泽的也可作为宝石等（图0-2）。 图0-2再从宏观来看，我们所生活的地球与它的卫星月亮之间有着紧密的联系，月亮是沿着椭圆形轨道绕地球旋转的。轨道的远日点距离为406700公里（最大），近日点距离为356400公里（最小），亿万年来，都是如此周而复始地按此规律运行。我们所处的宇宙里，天体之间运行规律无一不是精确的数学关系式。伟大的天文学家开普勒在谐和宇宙一书中进一步研究行星运动规律，发现了著名的开普勒行星运动运动三大定律：
8、（1）行星绕太阳运行的轨道是椭圆形的，而太阳在椭圆的一个焦点上。这个定律说明了行星运动轨道的数学形式为： 运动方程为： ， . 离心率为：（2）行星的向径（行星与太阳的连线）在相等的时间内扫过相等的面积。这个定律说明了行星的运动速度的数学形式为：.（如图0-3所示）（3）行星绕太阳公转周期的平方与它们到太阳的平均距离的立方成正比例。这个定律说明行 图0-3星行星运动的周期性。事实上，说明（其中a表示行星到太阳的平均距离，T表示公转周期，G为万有引力常数，M为太阳质量）。三定律的发现，不仅使人们准确地预先计算出行星的未来的位置，编制成行星的星历表供航海与大地测量使用，更重要的是人们可以利用数学的
9、帮助去发现新的行星。果然，在开普勒以后的一百年后，德国天文学家提出在行星的轨道间缺一颗行星，1781年，德国天文学家威廉赫歇发现了这颗新星，这就是著名的天王星。19世纪中叶，法国天文学家勒维耶（1811-1877）和英国天文学家亚当斯（1819-1892），分别独立计算出一颗新行星，命名为海王星。这些行星运动的规律、以及新行星的发现，都是数学方法的光辉应用的结果。目前已发现了距太阳约60亿公里的最遥远的一颗大行星冥王星，因此，人们已经知道了太阳系有九大行星。而且在火星与木星之间发现两千多颗小行星。太阳系所在的星系，成为银河星系。银河星系的面目已研究的比较清楚了。它的形状像个铁饼，直径10万光年
10、，中央厚度约1万光年。银河系中的物质分布成旋涡状，状似螺线，太阳系在银河系的边沿。90年4月美国发射太空的哈伯望远镜，观察到遥远星系的状况，并发现这些星系的运行规律与人们利用数学计算推测的结果几乎是一致的。如今，人们利用数学不仅能计算出星系的运行规律，而且还能计算出恒星的寿命，以及太阳系、地球、宇宙的年龄等等，这些研究成果越来越使人类更清晰地了解我们的宇宙过去、现在和未来。至于人类自身的发明创造，更与数学有密切的联系。高耸入云的摩天大楼、大跨度的大桥、高性能的电子仪器设备、人造卫星、航天飞机、计算机网络与信息通讯设施等等，这些全是人类数学智慧的结晶。二、数学伴随人的一生从婴儿出生的第一刻起，父
11、母要记他的出生时间、医生要为他量体重和身长，还要检查各项健康指标，定时、定量哺乳、进食，这些都于数学有关，婴儿一出生就遇到了数学，并在以后的时光里，数学将帮助婴儿健康成长。随着幼儿的成长，越来越离不开数学。一旦人开口学说话，大人开始教数“1，2，3，”，“识数”是人生的第一课。后来逐渐能直观地识别物体大小、东西的多少，这就有了初步的数量概念，漫漫地大人教他学习画三角形、正方形和圆等等。当你会到商店买东西，就学会了简单计算；正是有了这些初步的数量概念，才会有时间概念，知道什么时候看电视、什么时间睡觉，也会记住一些重要的节日和自己的生日等；也正是有了这些初步的几何图形概念和简单计算能力，才使幼儿逐
12、渐具有了数量、运算、空间、形状等初始的数学思想意识。不难想象，如果我们人类没有这些数、量、空间、形状与关系的思想意识，人类将和其它动物一样，陷入何等浑噩无知与黑暗之中，那将是非常可怕的混沌的时代。事实上，人类的祖先开启智能的标志之一，就是有了数量和几何形状的观念和意识。当我们进入小学、中学学校学习，开始正式学习数学这门学科，懂得了更为深奥的数学语言和图形语言。知道了整数、小数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数和复数，明白了相等与不等、方程与函数、有限与无限、数列与极限；懂得了图形的全等与相似、直线、圆、轴对称和中心对称、平移、旋转、标量、矢量、坐标、正弦曲线、余弦曲线、抛物线、椭圆、双曲
13、线，多面体、旋转体，空间曲线和曲面等等。我们也学会了加、减、乘、除、乘方、开方，整式、分式、幂式、根式、方程式、函数式，等式、不等式，排列、组合、二项式展开的运算，学会了几何作图、等分、等积变形、分割、展开、放大、缩小、平移、旋转、反射以及无限细分与无限积累等数学方法。这样以来我们的大脑里已经装进了人类数千年长期总结积累的初等数学知识的精粹与思维的模式，使我们的思维方式更科学化了，也就是说，数学训化了我们的大脑，使我们更聪明睿智了。进入高等教育阶段，我们要成为某个学科或技术领域的专门人才，要学习系统的专业知识和技术，就需要更多、更深入的数学知识。我们要弄懂函数与极限、函数与连续，函数的导数、微
14、分、不定积分、定积分、曲线积分、曲面积分，拉氏变换和逆变换，级数、傅立叶级数与函数的泰勒展式，微分方程，行列式、矩阵、线性方程组和n维向量，概率统计，图论，线性规划与动态规划等一系列数学概念和知识，同时我们还要学会利用这些概念和知识，会计算变化率、改变量，会分析函数的性质和函数图形的特征，会求函数的极值，会进行近似计算与误差分析，会求函数曲线所围成的图形的面积、曲线长度和曲面体积，会求解一阶线性微分方程和二阶常系数微分方程，会求一些函数的拉氏变换和逆变换，会把一个函数展成幂级数、把周期函数展成傅立叶级数，会求行列式的值、会进行矩阵变换和解线性方程组，会求矩阵的特征值和特征向量，会求概率和进行简
15、单的统计分析，会利用图论方法、线性规划和动态规划解决一些优化问题，会利用已有的数学知识和方法建立数学模型等等。十余年的数学学习，不仅增长了知识，还学会了逻辑思维，就这一点对人的帮助最大。当你会归纳、类比、联想，会灵活处理问题，增强了直觉能力，有了数感，有了形感时，那你会变得更聪明、智慧。当你走向技术或管理岗位，经常要借助计算机进行工程计算或经济核算，经常要进行分析、判断和决策。这使你感到通过数学培养出的能力有了用武之地。目前出现的一些优秀数学软件功能非常强大，不仅能进行数值计算，而且还能进行符号运算，这不仅使繁琐的计算、推导变得轻松自如，而且也能协助我们进行逻辑思维，作出正确判断。因此学会利用
16、流行的数学软件已是工程师、经济师们必不可缺学习任务。我们要相信，这一系列数学知识的掌握和数学能力的培养，是你成为一名高级技术或管理人才的基础。我们不难发现，如今的社会生活信息化程度越来越高，终身学习已经成为人的一种特别需要，“会学习”已成为当今社会对人的一种基本要求。然而，“会学习”的前提是必须具备通过数学培养出的足够的 “阅读”能力和逻辑思维能力。事实证明，没有经过数学逻辑思维训练的人，一般不会有健全的学习能力。当然，不一定是终身要学数学，但一定是终身要用数学。毫无疑问，数学将伴随人的一生。三、 数学的基本特征数学是人类智力的产物，许多人认为它具有三个最基本的特征：一是高度抽象性，二是高度精
17、确性，三是广泛应用性。1 数学的高度抽象性 数，就是离开具体事物的实际背景，仅仅从它的数量侧面上反映出来的一种抽象。在人类有文字记载的初期，人们就知道把具体的一些物体的数量用符号记录下来，这时人们已经开始有了把“数”从具体事物抽象出来的意识。例如3（古代有各种表示方法，现在我们采用的是阿拉伯人的记法）这个数既可表示3个苹果，也可表示3个人或3本书等等，而3本身已经摈弃了苹果、人或书等的具体含义，仅仅抓住数量这一特征的一种抽象。形，也是如此，直线这一概念是从拉紧的纱线，透过小孔的光线，笔直的路线等等现实事物中抽象出来的。几何学中的直线舍弃了所有纱线、光线、路线等等事物的性质，只留下在一定方向上无
18、限伸长这一抽象形式。几何图形的概念，都是舍弃了现实对象的所有性质，只留下空间形式和大小、位置这些抽象结果。全部数学都具有这种抽象的特征。其实，抽象的方法其他学科应用也很广泛，几乎任何学科都有一些的抽象性的概念手段，如现代物理学中的各种“场”、“熵”、“势”等等也都是比较抽象的概念；又例如力学中的刚体运动，常把一个物体视为一个质点，把运动轨迹看成一条曲线或直线，这就是典型的抽象手法。特别是天体运动研究中，把星球的运行轨迹认为是椭圆，这时就把巨大的星球看成是几何点（无体积的点，或把体积“抽象”掉了）。但这些抽象的概念并没有完全摆脱实际背景，人们还很容易想到它的真实情况，而现代纯粹数学的抽象程度越来
19、越高，有些已经难于找到它的现实背景。尤其是在过去的一个世纪里，数学从内容、意义到方法都经历了前所未有的深刻变革。回顾这种深刻变革，我们会发现：数学的无限生命力，恰恰是源于其发展过程中的三个貌似相互矛盾、实则相互统一的特点，即：数学的抽象性、精确性和数学的广泛应用性。在20世纪，数学的这两个特点更是共轭地发展着，使数学比以往任何时代都更加成为整个科学技术赖依生存的基础和人类文明、进步的标志。脱离具体的实际背景对事物进行“量”与“形”的抽象是数学固有的特性，可以说没有这种抽象就没有数学。20世纪数学更高的抽象化趋势，最初主要是受了两大因素的推动，即集合论观点与公理化方法，二者相互结合孕育了抽象代数
20、、拓扑学、泛函分析等新的抽象分支，同时又引发了一些传统数学分支(特别如概率论)的革新。数学的核心领域不断拓展，研究对象不断扩张。例如，过去作为分析学主角的函数概念被扩张为泛函、算子和一般的映射；代数学研究的中心从普通的数转化为群、环、域等一般的代数结构；几何学则主要探讨各种各样的抽象空间(包括无穷维空间、分数维空间、弯曲的非欧空间、可变形的拓扑空间等)。可以说，现代数学不仅研究现实世界的空间形式与数量关系，而且研究一切可能的空间形式与数量关系。在更广泛的意义上，数学已经被看作是关于“模型”(pattern)的学科，包括数的模型，形的模型，运动与变化的模型，推理的模型，行为的模型这些模型既可以是
21、现实的，也可以是想像的；既可以是定量的，也可以是定性的，等等。 纯粹数学在20世纪经历了一系列激动人心的发展，过去若干世纪以来积累的一些重大问题，有许多已获解决或是取得了重要进展。历300余年悬而未决的费马大定理的获证(1994)，可以说是20世纪纯粹数学美妙的终曲。对于X的n次方X的n次方Z的n次方这一看似简单的方程式，费马在300多年前提出，当n大于或等于3时无整数解。此后，300多年无人能证明这一定理。除了费马大定理，像事关数学大厦基础的哥德尔不完全性定理的提出(1931)、具有异乎寻常的微分结构的“米尔诺怪球”的发现(1956)、揭示数学内在统一性的“阿蒂亚辛格指标定理”的证明(196
22、3)、四色定理的攻克(1976)、有限单群分类的完成(1980)、等等，这些辉煌的智力成果，不断使科学界震惊，而它们的获得，都依赖于极度抽象的概念与方法。以费马大定理的证明为例，由于它综合运用了包括数论、代数几何、李群和分析等众多数学分支的思想与方法而被喻为“后现代艺术”。这条表述极其初等的定理，要看懂英国数学家维尔斯对它的证明，即使对训练有素的职业数学家来说也并非易事，这多少说明了现代数学抽象的程度。哥德尔不完全性定理的提出，可涉及的领域甚至包括哲学。其抽象化也是达到了相当高深的程度。 现代数学抽象化趋势的增长，有时不免引起人们对数学的误解，认为数学是只有少数思维怪杰才能问津的、远离现实的象
23、牙塔。然而数学的抽象决不是无源之水、无本之木。相反，数学与现实世界的联系源远流长。由于数与形是事物所共有的本质属性的抽象，数学在其发展的早期就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。随着数学抽象程度的提高，数学与现实世界的联系有时呈现出曲折性，数学理论往往会领先发展，但这常常只是重大应用的前奏。数学的发展史表明，数学的抽象越是完善，其渗透能力就越强，应用范围就越广。20世纪是一个纯粹数学与应用数学相互影响，共同繁荣的时代，应用数学的蓬勃发展，已蔚成当代数学的强大潮流，并表现出与以往时代不同的鲜明特征。在目前的基础教育和高等教育教学中，尤其是在高等工程技术教育中，重视数学知识的实际背景，
24、加强应用数学意识与能力的培养，是十分必要和迫切的任务。但我们必须清楚，数学的巨大应用威力，正是源于它在宇宙世界和人类社会的探索中对最大限度的一般性即抽象性的追求。数学抽象作为一种科学思维的范式，是现代化人才不论其从事何种职业所必须具备的基本素质，虽然对不同的人要求可有所不同。值得指出的是，数学抽象思维包括了演绎证明、归纳推理、算法构思等不同的方面，应该是一个整体的、全面的概念。我们在工程类或管理类专业教育中，特别强调数学回归自然，回归工程实际，回归技术应用，但我们不可能摆脱数学的抽象性特点。在这里把数学教育的目的定位于应用能力培养，是非常正确的，且最重要的目的是抽象思维能力培养，因为会用抽象的
25、方法解决问题，是高超智慧的体现。其实，抓住现实对象的根本特征进行抽象性描述，往往会使其特征更明了、简洁、直观。2 数学的高度精确性数学的高度精确性主要表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性与无可争辩性。当然，数学严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展的，体现人们的认识逐渐深化的过程。数学的逻辑严密性的主要特征是它的经典部分有一套科学、简明的公理系统，这些公理系统的标志是：一，它有一套基本术语，或原始概念；二，它有一组基本命题，或原始命题，或公理；三，其余的概念全由原始概念出发予以定义，其余的命题全由公理出发予以推理论证。现在，算术，几何，微积分，泛函分析，拓扑学
26、，集合论，群论，概率论等均已建立在公理化基础上。它的所有不能是例证和个别验证，如著名的歌德巴赫猜想，有人用计算机验证了几百万个素数都是对的，但这仍不能算证明了歌德巴赫猜想。再如对于下面的二次式我们可以验证，当x=1,2,10000时,都是素数。可是我们决不能下结论对所有的自然数x, 是素数。举出一个反例，就是x=72490，因为 . 不能用例证得出结论，任何结论都必须经过严密的演绎推断，数学家核心任务是根据已知的结论通过严密演绎推理证明新的结论或证实人们的各种猜想等，而其它学科的专家们只关心数学结论极其应用，不必理解其证明细节，因此，从事工程类或管理类专业数学教育的工作者，千万不要以教会数学的
27、严密证明为目的，而是要以帮助学生分析理解数学结论、训练应用方法为主要任务和目的。3数学的广泛应用性自然科学发展史表明，任何学科研究都要经历从定性到定量研究的过渡和飞跃。只要该学科是不介入实验的，才是该门学科趋于成熟的表现。要做到这一点，数学学科是个有力的杠杆。似乎可以这样说，在现代科学技术十大部门（引自钱学森1989年8月在数学会教育与科研座谈会上的讲话发展我国的数学学科。他指出的科学技术十大门类为：自然科学、社会科学、数学科学、思维科学、系统科学、人体科学、军事科学、文艺理论、行为科学、地理科学）中绝大部门的素养和训练中，数学理论是个终极的目标，这是由于在各个部门的有关现象、规律和结论只有用
28、准确的数学语言才能描绘清楚。19世纪七、八十年代，还是在现代数学发展的早期，恩格斯曾对当时数学应用的状况作过这样的估计：“在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在化学中是简单的一次方程式，在生物学中等于零”。经过一个多世纪的发展，可以看到恩格斯所描述的情况有了根本的改观。数学正在向包括从粒子物理到生命科学、从空间科学到地球科学在内的一切科学领域进军。 数学在物理学中的应用在20世纪取得了一系列新的突破。众所周知，在相对论和量子力学的创立和发展中，数学都建有奇功：出于纯粹数学的兴趣而获得的抽象成果(张量分析、无穷维空间等)恰恰分别为这两种新兴的物理理论提供了现成合用的数学工具。抽象数学为物
29、理学新理论准备了仿佛是定做的工具。在20世纪下半叶又演出了精彩的一幕，在物理学家探索统一场论的艰难卓绝的努力中，数学家们发现著名的杨米尔斯理论所需要的数学工具早已存在，物理规范势实际上就是大范围微分几何中纤维丛上的联络。 至于现代化学，描述化学过程少不了微分方程和积分方程，并且有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程。 生物学不用数学的时代也已一去不返。脍炙人口的例子是：拓扑学(特别是其中的扭结理论)为解开DNA双螺旋结构之谜提供了一把钥匙。人类基因的破译用到更多的数学知识。今天，数理统计应用于遗传学；概率论应用于人口统计和种群理论；微分方程应用于各种生物模型的建立；布尔代数应用于神经网络描述
30、；这一切已构成了“生物数学”的丰富内容。 “数学物理”、“数理化学”、“生物数学”、“数学地质学”、“数理气象学”，一连串交叉学科的形成说明了数学向其它自然科学领域渗透的广度。而纯粹数学中的一些前沿与其他科学的许多前沿领域的快速结合，则反映了数学渗透的深度。可以说没有这些前沿数学就没有当代物理学的一些前沿领域如超弦理论、超引力理论等。事实上，像超弦理论这样的物理学热门分支所用到的数学，就涉及微分拓扑、代数几何、微分几何、群论、无穷维代数、复分析等等。 除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等过去认为不适用数学的社会科学部门，数学方法也开辟了广阔的用武之地。数学正在向社会科学和文化艺术领域广泛渗
31、透，这是数学应用不同于以往时代的崭新趋势。数学与一些社会科学领域相结合也产生了一系列交叉学科，如数理经济学、数理语言学、数学考古学、史衡学等等。 数学在经济学中的应用是很具代表性的例子。20世纪四十年代以来，经济学研究的数学化导致了数理经济学的诞生，参与这门交叉学科建立的有大数学家冯诺依曼等。五十年代以后，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以致大部分的诺贝尔经济学奖都被授予了与数理经济学有关的工作。其中如不久前曾来北京参加国际数学家大会并作了公众讲演的美国数学家J纳什，他根据对策论数学原理提出非合作对策的“纳什均衡”，成为当前热门的“双赢”概念的理论基础。因此说纳什的数学研究不仅将改变经济
32、学的面貌，而且将影响整个社会科学的未来，大概不会过分。又如当前国际金融市场普遍使用的期权定价公式布莱克斯科尔斯公式，实际上是根据高度抽象的数学工具(随机微分方程)导出的数学公式，这一公式被誉为“华尔街第二次革命”的起点，它表明了抽象的数学怎样可以与人们的社会经济利益息息相关。难怪在四方国家读经济学位，学习数学知识的深度和广度往往比其它学科都要高。 现代数学不仅影响着人们的经济活动，而且正在影响着人们的文化生活。数学通过计算机，正在提供新的艺术创作手段和艺术产品，给人们带来全新的艺术享受。想一想数码音像、三维动画，还有那精美绝伦的分形绘画等等。数学与艺术相结合，正在走进千家万户。 还是在上个世纪
33、的前半叶，著名社会活动家WF怀特曾这样写道：“数学化的社会科学将成为未来文明的控制因素”。今日的社会科学离怀特预言的目标相距还远，但20世纪应用数学的发展历程表明，这方面的前景是光明的。 现代数学对生产技术的应用变得越来越直接。以前数学工具直接应用于生产技术的事例虽有发生，但数学与生产技术的关系基本上是间接的，往往是先应用于其他科学(如力学、物理学、天文学)，再由这些科学提供技术进步的基础。20世纪下半叶以来，数学与生产技术的相互作用正在加强，数学提供的工具直接推动技术革新的频率正在加快，并在许多情况下产生出巨大的经济效益。 众所周知，数学是历次产业革命的重要推动因素。如果说数学间接地引导了前
34、两次产业革命(以微积分为基础的17、18世纪科学的高涨成为以蒸汽机等为主导技术的第一次产业革命的先导；与数学分析的进步密不可分的19世纪数学物理的发展为以发电机、无线电通信等为主体技术的第二次产业革命奠定了理论基础)，那么它在20世纪发生的第三次产业革命中则更多地站到了前台。例如，如果没有数学家的参与，就不可能有现代计算机技术与庞大的计算机产业。数学家对电子计算机的发明和发展有不可磨灭的贡献。冯诺依曼是第一台通用电子计算机(ENIAC)的主要研制者之一，他的程序内存思想至今仍是现代计算机的主要设计理念。英国数学家图灵的“理想计算机”(“图灵机”)提供了通用数字计算机的理论模型。图灵本人也是早期
35、电子计算机研制的元勋。值得注意的是，“图灵机”的提出完全是为了解决与数学基础有关的一个纯理论问题(可判定性问题)。 除了计算机技术，数值模拟已成为航空、航天设计的有效工具，类似的数值模拟方法正在被应用于包括核工业在内的许多技术部门，以代替耗资巨大的试验；1980年以来，小波分析直接应用于通信、石油勘探、图像压缩等技术领域；现代医学仪器工业也离不开数学(如CT扫描仪的研制，就是以现代数学中所谓“拉东积分”理论为基础，有关的科学家因此荣获了诺贝尔医学生理学奖)，等等。这样的例子举不胜举。 现代数学正在通过向人类几乎所有的知识领域空前广泛地渗透而影响着人们的生活方式物质的和精神的生活方式。 数学的抽
36、象性与广泛应用性的基本特征，决定了它的科学地位与文化价值。高斯曾同时将数学比作科学的“皇后”和“仆人”，这确是恰当的评价。数学的抽象智力成果，以其逻辑的威力和算法的精密将永远是这门科学的光荣所在。但抽象的数学语言与数学结构，如果不能服务于其他科学技术领域，也不可能享有如此的尊荣。正确认识数学这两方面的特征及相互关系，对于推动数学科学的健康发展至关重要。 四、数学对人类文明和科技进步的影响其实上面对数学广泛应用性的描述中，我们可以体会到数学对人类文明和科技进步的影响，但下面我们就19、20世纪里数学在科学中的作用和影响作进一步的概述。“数学：科学的王后和仆人”是已故美国科学院院士贝尔于1951年
37、写的一本书的书名，该书主要是为数学圈子以外的人写的，介绍纯粹数学和应用数学的各个方面，更着重在说明数学科学的突出重要性。这本书实际上是他1931年写的科学的女王和1937年写的科学的女仆这两本通俗数学读物的合一修订扩大版。 按常理，女王是高雅、权威和至尊至贵的，是阳春白雪，在科学中只有纯粹数学才具有这样的特点。简洁明了的数学定理一经证明就是永恒的真理，极其优美而且无懈可击。另一方面，科学和工程的各个分支都在不同程度上大量使用数学，享受着数学的贡献。这时数学科学就是仆人，英文书名中servant这个字在英文里有“供人们利用之物，有用的服务工具”的意思。 首先，我们来回顾一下形成我们现在这个飞速发
38、展的信息社会的所有重大科学理论在发展和完善过程中数学所起到的不可或缺的作用。 20世纪最大的科学成就莫过于爱因斯坦的狭义和广义相对论了，但是如果没有黎曼于1854年发明的黎曼几何，以及凯莱，西勒维斯特和诺特等数学家发展的不变量理论，爱因斯坦的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述。爱因斯坦自己也不止一次地说过这一点。例如，1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但是为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，爱因斯坦为此花了3年的时间，最后，在数学家M格拉斯曼的介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具以黎曼几何为基础的绝对微分学，也就是爱因斯坦后来所称的张量
39、分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出了广义协变的引力场方程，在该文中他说：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成！”广义相对论的数学表达第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。他还说过“事实上，我是通过她(诺特)才能在这一领域内有所作为的。” 如果没有凯莱在1858年发展的矩阵数学及其后继者的进一步发展，海森伯和狄拉克就无法开创现代物理学量子力学方面的革命性工作。狄拉克甚至说，创建物理理论时，“不要相信所有的物理概念”，但是要“相信数学方案，甚至表面上看去，它与物理学并无联系。” 整个电磁场的理论是由马克斯威尔方程组表述的
40、，但是“虽然场的理论起源应归功于英国物理学家法拉第，但法拉第不是数学家，他没能发展这个概念。经过马克斯威尔之手，电场理论得到了精确的描述，成为以后所有场论的模式。” 整个流体运动的理论是由纳维托克斯方程组表述的，它首先是由法国多科工艺和交通工程学校的力学教授纳维初步完成的，而最终是由英国物理学家和数学家斯托克斯爵士完善并完成的。 计算的技艺数值分析以及运算速度的问题(计算机的制造)，牛顿、莱布尼兹、欧拉、高斯都曾给予系统研究，它们一直是数学的重要部分。在现代计算机的发展研制中数学家起了决定性的作用。莱布尼兹，贝巴奇等数学家都曾研制过计算机。20世纪30年代，符号逻辑的研究方程活跃，丘奇，哥德尔
41、，波斯特和其他学者研究了形式语言。经过他们以及图灵的研究工作，形成了可计算性这个数学概念。1935年前后，图灵建立了通用计算机的抽象模型。这些成果为后来冯诺伊曼和他的同事们制造带有存储程序的计算机，为形式程序的发明提供了理论框架。 通信的数学理论是由数学家香农(他还具有电气工程的学位)于1948年发表的通信的数学理论一书奠定其理论基础的，随后就掀起了持续的信息技术革命。数学家纳维于1948年出版的控制论一书宣告了控制论这门学科的诞生。 自1968年起诺贝尔经济学奖获奖设立项目90%以上都是有关经济学行为的数学建模及相应的研究工作，获奖者中不少人有数学博士学位。特别要提到的是1994年诺贝尔经济
42、学奖授予纯粹数学家J纳什是意义重大的，“这意味着在诺贝尔奖93年的历史上，第一次授予了纯数学领域的工作。”类似的例子还有许多，我们不再举了，我们真正要讨论的问题，是从这些事实中我们得到什么样的启示。 首先，正如马克思认为的“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”纯粹数学的优秀成果往往为重大科学理论的建立作好了准备，有时甚至是先导。千万不能忽视纯粹数学的发展，特别是要有一批精兵强将长期从事纯粹数学基础理论的研究，并有条件经常和应用科学家进行交流，让搞应用的了解并应用纯数学成果。应用数学家去解决各种实际问题时，在观念上不可有单打独斗的想法，一定要与相应领域的专家紧密合作。在我
43、国凡是做出重大科研成果的科学家都有上述特点。仅以国家最高科学技术奖为例，吴文俊、王选和黄昆，他们或是数学家，或是数学专业毕业同时又掌握计算机硬件和软件的技术，或是能用完善的数学形式表述其深刻的物理洞察。所有这些充分说明了“数学的思考方式有着根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供方法。一旦数学用于技术，它就能产生系统的、可再现的并能传授的知识。分析、设计、建模、模拟和应用便会成为可能，变成高效的富有结构的活动。”也就是说能转化为生产力。但是，50年前数学虽然也直接为工程技术提供一些工具，但基本上是间接的：先促进其他科学的发展，再由这些科学提供工程原理和设计的基础。现在，数学和工程之间在更
44、广阔的范围内和更深的层次上，直接地相互作用着，极大地推动了数学和工程科学的发展，也极大地推动了技术的进步。 20世纪后半叶最重要的科技进展之一是计算机、信息和网络技术的迅速发展。我们仅就计算机的运算速度来看，1946年公开展示的第一台计算机电子数学积分计算机的运算速度是每秒符点运算5，000次，现在已经达到每秒符点运算100亿次，据专家估计到2010年可达到一万亿次。可以想象现在计算机能完成的工作和50年前相比简直是不可同日而语。现在有点象牛顿、莱布尼兹发明微积分时的情况，当初微积分还很不严密，但用来描述、研究各种实际问题产生了许许多多的数学模型，有的能求解出来，就能不同程度地解决问题。然而，
45、当时算不出来，或者不能及时算出来，也就不能解决问题。现在，计算速度等技术指标在某种意义下远远走在前面了。“数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具。科学家正日益依赖于计算方法，而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面必须具有足够的经验。”我们看到的是各行各业都在大量应用数学和计算机等技术，通过数学建模、仿真等手段解决问题，并且把解决同类问题的方法和成果制作成软件(它们甚至是相当傻瓜化的)，并进行销售。人们看到的正是这种数学应用大发展的景象，更确切地说是美国科学基金会数学部主任在评论数学科学列为五大创新项目之首时所说的，“该重大创新项目背后的推动力就是一切科学和工
46、程领域的数学化。”当然也有不同认识，也有人认为不需要懂得很多数学，只要会用软件就行了。也有人认为现在不需要发展基础数学了，只要通过数学建模和计算加上物理的直观就可以解决问题了。特别是，有人认为现在的学生不需要学那么多的数学了。这实在是极大的误解。 有人认为，能够马上拿来就用的数学一定是相当成熟的成果。但是为了解决现实中的重大问题，已有的数学成果是远远不够的。产生上述误解的原因主要是对新世纪科技发展与数学之间的关系思考、认识不够。一百多年以前恩格斯没有预料到，科学发展到今天，数学在生物学、医学等领域正起着越来越重要的作用，无论在生态学、生理学、心理学，以至DNA和生命科学的研究中，我们都看到数学
47、的强大生命力。甚至医生在做手术之前都可以先进行数学模拟以预知各种方案可能出现的后果，再依据个人的经验来选择手术方案。2002年美国科学基金会专门在俄亥俄州立大学成立了一个“数学生物科学研究所”。 前面提到在与其他学科的关系中，数学的发展不少方面正逐渐从后台走向前台，这又是20世纪数学发展的一个重要特点。这方面的典型范例大概有两个方面，一是密码学及电子商务、信息安全、军事运筹学、网络战等相关领域，主要依靠数学思想和方法的创新及其软件实现；二是发达国家政府的重要部门以及许多大公司都设有阵容强大的数学部。1984年，美国国家安全局局长曾说过，美国国家安全局是美国数学界最大的雇主，它雇用了2000多位
48、具有博士等学位的数学家。这些数学家通过完成部门或公司交给他们的工作，逐步和所在单位的科技人员融为一体，直接为雇主作出贡献，为数学的发展作出贡献。更为重要的是这些数学家知道哪些成果可以直接或间接地用于他们的研究中去，也能向数学界提出源于实践的数学研究课题，在某种意义下对数学发展的方向产生了巨大影响。回顾20世纪后半叶以来诸如有限元方法、快速富里埃变换、小波分析、分形、混沌等等领域无一例外地都是在实际工作者和数学家的合作中迅速发展起来的，并且显示了强大的威力。 上个世纪纯粹数学的发展特点，除了数学自身的发展规律外，更多地受到其他相关学科发展过程中提出的数学课题的推动。这不仅仅是数学研究从其他领域获得了科研经费，更重要的是获得了许多重大的数学理论选题。美国一个名为克莱研究所的民间基金会对以下七个课题征奖，每个重奖100万美元(没有时间限制)。它们是：P与NP问题，Hodge猜想；Poincare猜想；Riemann假设；量子Yang-Mills理论；Navier-Stokes方程解的存在
