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1、输油管的优化布置,2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 C题,问题背景,某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。,问题背景,1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区(I 区域)，B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母
2、表示的距离（单位：千米）分别为 a=5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 在城区铺设的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。结果如下表所示：,请设计最佳管线布置方案并给出相应的费用。,问题背景,3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线
3、最佳布置方案及相应的费用。,1.问题分析,在铁路线一侧建造两家炼油厂，并在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，根据各种不同的情况，输油管线设计方案不同。共用管线费用一般比非共用管线费用贵，但不会超过2倍，否则不用共用管线。本问题涉及炼油厂及车站位置等，可以借助几何方法来描述。,2.模型假设,（1）两炼油厂分别为A、B，位于铁道线的同侧；（2）铁路是一条直线，E点为车站；（3） P点为共用管线与非共用管线的交点； 共用管线费用是非共用管线费用 k 倍 （4）不考虑施工工艺对管道铺设的影响。,假设共用管线费用与非共用管线费用相同,定理： 设ab，假设共用管线费用与非共用管线费用相同。如果交汇点为
4、Q(x,y)，则Q点应位于矩形ACDE内：,P,Q,图1：有共用管线的布置,x,y,E,问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同,设ab，交汇点Q(x,y)，管路单价r(万元/千米)，则模型如下：,P,Q,目标函数有唯一驻点：,情形1：驻点坐标满足约束条件（2），即：,图1：有共用管线的布置,x,y,Q,图2：无共用管线的布置,x,y,情形3：如果y*0,即：,则无需共用管线，令y*=0。此时图形转为图2.利用对称性，可得：,A,情形2：如果x*a,即：,则令x*=0或y*=a，代入(1)可得：,此时，Q点与A点重合。,问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用相同,此时，Q点为AB与铁路的
5、交点。,问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同,假设共用管线和非共用管线单价分别为kr(万元/千米)和r (万元/千米)，通常2k1，则模型为,类似于前面三种情形的讨论，可得如下结果：,目标函数有唯一驻点：,情形4：驻点坐标满足约束条件（4），即下面的不等式(5)成立时：,极小值点不变！,Q,图2：无共用管线的布置,x,y,情形6：如果y*0，即：,则无需共用管线，令y*=0。此时与情形3相同，可得：,A,情形5：如果x*a,即：,则令x*=0或y*=a，代入(3)可得：,此时，Q点为A点。,问题一 假设共用管线费用与非共用管线费用不同,此时，Q点为AB与铁路的交点。,问题二,附加费用m
6、(万元/千米)的确定,m的大小可以按照三家工程咨询公司的估算值做加权平均，设甲级资质权重为k，乙级资质权重为1(k1)，则,问题二,设所有管线的铺设费用均相同,P,Q,目标函数有唯一驻点：,如果驻点坐标满足约束条件（10），则：,图3：有附加费用和共用管线的布置,x,y,T,设管线与I、II区交界处交点为T(c,t)，所有管线的铺设费用单价为r(万元/千米)，则模型如下：,问题二,设所有管线的铺设费用均相同,题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,r=7.2,通过数值计算讨论k的影响（敏感性分析）,不同权值下的最优解数值结果,问题二,设所有管线的铺设费用均相同,直接求解目标函数驻点坐
7、标较为困难,怎么办？有没有简单的方法？,设各类管线铺设费用单价 (万元/千米)分别为：公用段p, A厂r1，B厂r2,则模型如下：,问题三,设所有管线的铺设费用都不相同,P,Q,x,y,T,C,从平面的三角关系入手：汇合点Q,T可以由三个角度确定，P点由Q点确定,图4：有附加费用和共用管线的布置,解得：,根据几何关系：,驻点条件等价于,问题三,设所有管线的铺设费用不相同,P,Q,x,y,T,C,图4：有附加费用和共用管线的布置,可见：直角坐标变量 x, y, t 之间为线性方程组关系，系数由三角函数决定。,解得：,代入目标函数解得：,P,Q,x,y,T,C,图4：有附加费用和共用管线的布置,设
8、所有管线的铺设费用不相同,问题三,有没有更简单的方法？,设所有管线的铺设费用不相同,类比法 ！,光的折射定律,光程：光在媒质中通过的路程和该媒质折射率的乘积,费马原理:光在传播过程中遵循“光程最短”的原则,光程最短,如果将光线看成是管道，折射率看成是管道单价，则光程可以视为管道总造价！,光程最短等价于两段管道总造价最小！,确定入射光与折射光在介质界面的最佳交汇点,推广：n条管道确定最佳汇合点,题目给出参数：a=5,b=8,c=15,l=20,p=7.2,r1=5.6,r2=6,通过数值计算讨论k的影响（敏感性分析）,不同权值下的最优解数值结果,问题三,设所有管线的铺设费用不相同,若交汇点在城区，类似分析可知结果不是最优的。,
