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1、第十二章 卷积码,主要内容和重点,基本概念卷积码的图解表示树状图网格图状态图和状态转移图卷积码的解析表示延时算子多项式表示半无限矩阵表示,12.1 基本概念,按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同分为(n, k)分组码：每个码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息位有关，而与其他码组无关为了达到一定的纠错能力和编码效率（Rc=k/n），n通常较大，编译码时存储信息码产生的时延随n增大而线性增加(n, k, N)卷积码：在任何一段规定时间内产生的n个码元，不仅取决于这段时间中的k个信息位，而且取决于前(N-1)段时间内的信息位也是把k个信息比特编成n个比特，但k和n很小，延时小编码过程中相
2、互关联的码元为Nn个纠错能力随N的增加而增大。在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码未有严格的数学手段有规律地联系纠错性能和码的构成，采用计算机搜索好码N（或Nn）定义为卷积码的约束长度编码效率Rc=k/n,12.1 基本概念,表示方法：解析法：延时算子多项式表示、半无限矩阵表示图解法：树状图、网格图、状态图译码方法：门限译码：即大数逻辑译码性能最差，但硬件简单Viterbi（维特比）译码：属最大似然译码具最佳性能，但硬件实现复杂序列（序贯）译码：属最大似然译码在性能和硬件方面介于两者之间,12.1 基本概念,卷积码编码器的一般形式N段组成的输入移位寄存器，每段k级，共Nk位寄存器
3、n个模2和相加器n级组成的输出移位寄存器,12.1 基本概念,卷积码编码器的一般形式（续）由图可知：n个输出比特不但与当前k个输入比特有关，而且与以前的(N-1)k个输入信息比特有关整个编码过程可看成：输入信息序列与移位寄存器和模2和连接方式所决定的另一个序列的卷积,12.2 卷积码的图解表示,主要内容树状图网格图状态图和状态转移图,12.2 卷积码的图解表示,树状图(2, 1, 3)卷积编码器：输出移位寄存器用转换开关代替，每输入1个信息比特经编码产生2个输出比特设移位寄存器初始状态为全0第1个输入比特：为0，输出比特=00；为1，输出比特=11第2个比特输入，第1个比特右移1位，输出比特同
4、时受当前输入比特和前一个输入比特的影响第3个比特输入，第1、2个比特各右移1位，输出比特同时由这3位移位寄存器存储的比特共同决定第4个比特输入，第1个比特移出移位寄存器，不对后续编码产生影响,12.2 卷积码的图解表示,树状图（续） ：(2, 1, 3)卷积编码器移位过程可用树状图表示用a、b、c、d表示移位寄存器mj-2mj-1的4种可能状态：00、01、10和11树状图用mj=0和mj-2mj-1=00作起点，即从a点出发随着移位寄存器和输入比特的不同，树状图陆续分成4条支路，2上、2下。上支路对应于输入比特为0，下支路对应于输入比特为1每条支路（树叉）上标注的码元为输出比特，每个节点上标
5、注的a、b、c、d为移位寄存器的状态对j个输入信息比特，有2j条支路，但在j=N3时，树状图的节点自上而下开始重复出现4种状态（相当于移位超过移位寄存器长度，状态已重复出现）,12.2 卷积码的图解表示,树状图（续）树状图分析：第1个输入比特m1=0时，输出比特x1,1x2,1=00； m1=1时x1,1x2,1=11。即从a点出发有2条支路（树叉）可选：m1=0取上支路，下一节点mj-2mj-1=00（为a）；m1=1取下支路，下一节点mj-2mj-1=01（即b）,12.2 卷积码的图解表示,树状图（续）(2, 1, 3)卷积编码器树状图分析：输入第2个比特，移位寄存器右移1位后，上支路情
6、况下移位寄存器状态mj-2mj-1仍为00，即a，下支路mj-2mj-1=01，即b对a，mj-2mj-1=00。若m1=0时，x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=00（为a） ； m1=1时x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=01（为b）对b，mj-2mj-1=01。若m1=0时，x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=10（为c） ； m1=1时x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=11（为d）输入第3个比特（ a、b的情况重复，故可不考虑）对c，mj-2mj-1=10。若m1=0时，x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=00（
7、为a） ； m1=1时x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=01（为b）对d，mj-2mj-1=11。若m1=0时，x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=10（为c） ； m1=1时x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=11（为d）,12.2 卷积码的图解表示,网格图按照码树中的重复性，可得一种更为紧凑的图形表示把码树中具有相同状态的节点合并在一起,12.2 卷积码的图解表示,网格图（续）码树中的上支路（对应输入比特0）用实线表示，下支路（对应输入比特1）用虚线表示,12.2 卷积码的图解表示,网格图（续）支路上标注的码元为输出比特，自上而下4行节点分别表示
8、a、b、c、d四种状态。通常有2N-1种状态，从第N节开始，图形开始重复而完全相同,12.2 卷积码的图解表示,状态图和状态转移图取出已达到稳定状态的一节网格，可得到状态图再把目前状态与下一行状态重叠起来，可得到反映状态转移的状态转移图,12.2 卷积码的图解表示,例：对上述(2, 1, 3)卷积编码器，若起始状态为a，输入序列为1101 1100 1000，求输出序列和状态变化路径解：由该卷积码的网格图表示，找出编码时网格图中的路径如图所示，由此可得到输出序列和状态变化路径，画在同一图中,12.2 卷积码的图解表示,对于(n, k, N)卷积码的一般情况，有如下结论对应于每组k个输入比特，编
9、码后产生n个输出比特树状图中每个节点引出2k条支路网格图和状态图（状态转移图）都有2k(N-1)种可能的状态。每个状态引出2k条支路，同时也有2k条支路从其它状态或本状态引入,12.3 卷积码的解析表示,主要内容延时算子多项式表示半无限矩阵表示,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示将编码器中移位寄存与模2和的连接关系以及输入、输出序列都表示为延时算子D的多项式如输入序列1101110表示为 M(D)=1+D+D3+D4+D5+ 哑变量D的幂次等于相对于时间起点的单位延时数目，时间起点通常选在第1个输出比特通常，输入序列可表示为 M(D)=m1+m2D+m3D2+m4D3+其中，m1、
10、m2、m3、m4为输入比特的二进制表示（1或0）,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示用D算子多项式表示移位寄存器各级与各模2和连接关系时，若某级寄存器与某模2和相连，则多项式中相应项的系数为1，否则为0（表示无连接线）(2, 1, 3)卷积码编码器中，左、右两个模2和与寄存器各级的连接关系可表示为 G1(D)=1+D+D2 G2(D)=1+D2,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示（续）把表示移位寄存器与模2和连接关系的多项式称为生成多项式由生成多项式用多项式相乘可计算出输出序列以输入序列1101110为例，可得 x1(D)=G1(D) M(D)=(1+D+D2)(1+D
11、+D3+D4+D5+) =1+D5+D7+ x2(D)=G2(D)M(D)=(1+D2)(1+D+D3+D4+D5+) = 1+D+D2+D4+D6+D7+)由此，输出序列 x1=(x1,1, x1,2, x1,3, )=10000101 x2=(x2,1, x2,2, x2,3, )=11101011 x= =(x1,1, x2,1, x1,2 , x2,2, x1,3 , x2,3, )=11 01 01 00 01 10 01 11结果与前面图解法所得结果相同,12.3 卷积码的解析表示,延时算子多项式表示（续）常用二进制或八进制序列表示生成多项式。如上例： G1(D)=1+D+D2 g
12、1=(111)=(7)8 G2(D)=1+D2 g2=(101)=(5)8这种表示主要是为了方便,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示输入信息序列和输出序列都用半无限矢量表示以(2, 1, 3)卷积码为例，有 M=m1 m2 m3 X=x1,1 x2,1 x1,2 x2,2 x1,3 x2,3 当第1个信息比特输入时，若移位寄存器起始状态为全0，两个输出比特为x1,1=m1 x2,1=m1当第2个信息比特输入时，移位寄存器右移1位，输出为x1,2=m2+m1 x2,2=m2当第3个信息比特输入时，有x1,3=m3+m2+m1 x2,3=m3+m1,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表
13、示当第j个信息比特输入时，输出为x1,j=mj+mj-1+mj-2 x2,j=mj+mj-2上式写成矩阵形式，即mj mj-1 mj-2A=x1,j x2,j其中,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示当第1、2信息比特输入时存在过渡过程 m1 0 0T1=x1,1 x2,1 m1 m2 0T2=x1,2 x2,2其中，,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示把上述编码过程综合起来，可得矩阵表示如下 X= MG其中，G为生成矩阵（半无限，矩阵的空白区元素均为0）,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系已知(2, 1, 3)卷积码的生成序列为 g1
14、=(111)=(g11 g12 g13) g2=(101)=(g21 g22 g23) 把生成序列g1 、 g2按如下方法交错排列，即可得生成矩阵,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示生成矩阵和生成多项式之间存在确定关系（续）结果与前面表示的生成矩阵相同，上式可表示为 其中，每个子矩阵Gi（i=1, 2, 3）由一行二列组成： G1=(g11 g21) G2=(g12 g22) G3=(g13 g23),12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示推广：对于(n, k, N)码，有X= MG其中，M=m1,1 m2,1 m3,1 mk, 1 m1,2 m2,2 m3,2 mk, 2 X=x
15、1,1 x2,1 x3,1 xn, 1 x1,2 x2,2 x3,2 xn, 2 已知该码的生成序列一般表达式为 gi, j=(gi,j1 gi,j2 gi,jl gi,jN) i=1, 2, k; j=1, 2, , n; l=1, 2, , N其中gi,jl表示了每组k个输入比特中第i个比特经l-1组延迟后的输出与每组n个输出比特中第j个模2和的输入端的连接关系， gi,jl =1表示有连线，gi,jl=0表示无连线则生成矩阵的一般形式为,12.3 卷积码的解析表示,半无限矩阵表示 式中，Gl（l=1, 2, , N）是k行n列子矩阵，有,差错控制编码复习思考题,在通信系统中采用差错控制的
16、目的是什么？什么是随机信道？什么是突发信道？什么是混合信道？常用的差错控制方法有哪些？试比较其优缺点。什么试分组码？其构成有何特点？试述码重、码距、编码效率的定义、一种编码的最小码距与其检错和纠错能力有什么关系？什么是奇偶监督码？其检错能力如何？什么是线性码？它具有哪些重要性质？什么是循环码？循环码的生成多项式如何确定？卷积码和分组码之间有何异同点？卷积码是否为线性码？什么是卷积码的树状图、网格图和状态图？,差错控制编码复习计算方面的考点,基本计算（1）抗干扰能力e，t与dmin之间的关系（2）对线性分组码，dmin=Wmin（3）奇偶监督码编码（4）汉明码参数（n=2r-1，r=3）（5）编
17、码效率Rk/n线性分组码（1）编码A=MG，典型阵G=IkQ（2）监督AHT=O，典型阵H=PIr（3）纠错S=BHT=EHT,差错控制编码复习计算方面的考点,循环码（1）生成多项式g(D)（2）g(D)G典型G典型（同线性分组码）（3）编码：A(D)=Dn-kM(D)+r(D)（4）译码：卷积码(n,k,N)（1）约束长度N的含义：相互关联的码段总数（2）根据编码器原理图写出yimi关系式（3）根据输入信码求出卷积码，有如下多种方法：根据输出、输入关系式： yimi根据生成多项式gi根据各种图形：树状图、网格图、状态图（4）状态图画法,练习题,1、已知三个码组为(001010),(10110
18、1),(010001)。若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错和纠错，各能纠、检几位错码？,根据三个码组可知该码的最小码距dmin4。当用于检错时，由dmine+1可得e=3，即能检出3位错码；当用于纠错时，由dmin 2t+1可得t=1，即能纠正1位错码；当同时用于检错和纠错时，由dmin e+t+1（e t）可得t=1,e=2，即能纠正1位错码，同时检测2位错码。,练习题,2、设一线性分组码的错码图样如表所示。试：（1）确定(n,k)中的n,k值（2）求监督矩阵H；（3）求生成矩阵G；（4）写出全部码组；（5）求dmin；（6）若接收码组B=(0111111
19、)，试纠正之。（7）若编码器输出码元速率为350Bd，求其输入码元速率。,解：1、由表可知a为a6a0，故n=7。又S为rbit，得r=3，于是k=4，此为（7，4）码。2、表中内容为HT（除全0外），故有：3、,解：4、有两个方法：a：A=MG，然后从00001111排列出16种信息码，分别与G相乘。b:在生成矩阵中取一行，两行之和，三行之和，四行之和，以及取零行（全0码），组成全部码组，共有C40C41C42C43C4416种。5、dmin=Wmin=36、,7、编码效率 Rk/n=4/7 输入码元速率R输出码元速率（4/7）350200Bd,练习题,3、已知(7,3)循环码的全部码组为(
20、0000000),(0011101),(0111010),(1110100),(1101001),(1010011),(0100111),(1001110)。试求：（1）生成多项式g(D)；（2）典型生成矩阵G；（3）典型监督矩阵H；（4）列出错码图样表；（5）是否为汉明码？,解：1、根据生成多项式含义找到题中的第二码组（0011101），对应有：g(D)=D4+D3+D2+12、3、,解：4、dmin=Wmin=4，所以t=1。列出错码图样如下图：5、由于不满足n=2r-1，因而它不是汉明码。,练习题,4、已知D7+1=(D3+D2+1)(D3+D+1)(D+1)。另g1(D)= D3+D2
21、+1, g2(D)= D3+D+1,g3(D)= D+1。分别讨论：（1）g(D)=g1(D) g2(D)（2）g(D)=g2(D) g3(D)两种情况下，由g(D)生成的7位循环码的检错与纠错能力。,练习题,5、设有一（3,1,4）卷积码，其编码器输出y与m1,m2,m3,m4之间的关系为：Y1=m4;Y2=m1+m2+m3;Y3=m2+m3+m4并给定输入信码为110100，试：（1）画出编码器原理图（2）根据题目给定的关系式求输出序列（3）采用生成多项式计算输出序列；（4）画出该卷积码编码器的状态图；（5）根据状态图求输出序列。,1、2、假设零初始条件，即m1=m2=m3=m4=0。当第
22、1个信码进入时，m4=1，y1=m4=1,y2=m1+m2+m3=0,y3=m2+m3+m4=1。当第2个信码进入时，有m4=1,m3=1,m2=m1=0。于是有：y1=1,y2=1,y3=0。以此类推。可得：输入信息码： 1 1 0 1 0 0输出卷积码：101 110 000 100 001 011为系统码。,3、生成多项式为：g1(D)=1,g2(D)=D3+D2+D,g3(D)=D2+D+1又知信息码多项式m(D)= D3+D+1,因此，Y1(D)=m(D)g1(D)= D3+D+1 (110100)Y2(D)= m(D)g2(D)= D6+D5+D (0100011)Y3(D)= m(D)g3(D)= D5+D4+1 (1000110),
