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1、第二章自动控制系统的数学模型,第二章自动控制系统的数学模型,通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。,设控制系统,控制系统,输入,输出,加上输入信号,求出输出响应,根据输出响应即可分析系统的性能。,怎样根据输入信号求系统的输出响应？,如果知道控制系统的数学模型就可求出系统的输出响应。,分析系统性能的第一步就是建立系统的数学模型，这是第二章的主要内容。,数学模型：,描述系统动态特性的数学表达式。,数学模型反映了系统各变量之间的关系。,常用的数学模型：,(2) 微分方程,(3) 传递函数,(4) 频率特性,(1) 代数方程,(5) 动态结构图,其中微分方程是最基
2、本的，其它可以通过微分方程求得。,建立微分方程的方法：,(1) 解析法,(2) 实验法,这一章介绍解析法。,第一节 控制系统的微分方程,第三节 传递函数,第四节 动态结构图,第五节 反馈控制系统的传递函数,第六节 数学模型的建立与化简举例,第七节 用MATLAB处理系统数学模型,第二节 数学模型的线性化,第二章自动控制系统的数学模型,第一节控制系统的微分方程,一、建立微分方程的一般步骤,二、常见环节和系统的微分 方程的建立,三、 线性微分方程式的求解,上一目录,第二章自动控制系统的数学模型,第一节 控制系统的微分方程,（1）确定系统的输入变量和输出变量,一、建立系统微分方程的一般步骤,系统通常
3、由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。,列写系统微分方程的一般步骤：,根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。,（2）建立初始微分方程组,将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。,（3）消除中间变量，将式子标准化,下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立,uc,ur,二、常见环节和系统微分方程的建立,1 RC电路,+,-,uc,ur,+,-,C,i,R,输入量：,输出量：,第一节 控制系统的微分方程,(1) 确定输入量和输出量,(2) 建立初始微分方程组,(3) 消除中间变量，使式子标准化,ur=
4、 Ri + uc,根据基尔霍夫定律得：,微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。,RC电路是一阶常系数线性微分方程。,2机械位移系统,系统组成：,质量,弹簧,阻尼器,输入量,弹簧系数k,m,阻尼系数f,F(t),输出量,y(t),(2) 初始微分方程组,F = ma,根据牛顿第二定律,第一节 控制系统的微分方程,系统工作过程：,(1) 确定输入和输出,F(t) FB(t) FK(t) = ma,中间变量关系式:,FK(t) = k y(t),消除中间 变量得:,3他激直流电动机,Ud,系统组成：,直流电机,负载,输入:电枢电压,励磁电流,If,电磁转矩,Te,负载转矩,TL,摩擦转
5、矩,Tf,工作原理：,电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.,输出:电动机速度,n,第一节 控制系统的微分方程,根据基尔霍夫定律有,电动机的电路等效图:,eb,La,id,Ra,eb =Cen,Ce 反电势系数,反电势,根据机械运动方程式,Te =Cm id,Cm 转矩系数,GD2 飞轮惯量,为了简化方程，设,TL = Tf = 0,定义,机电时间常数：,电磁时间常数：,电动机的微分方程式为：,第一节 控制系统的微分方程,4液位系统,第一章里已经介绍了工作原理：,其中:,qi0流入箱体 的流量,qo0流出箱体 的流量,qi0,qo0,h0液面高度,h0,qi流入箱体 流量增
6、量,+qi,qo流出箱体 流量增量,+qo,h液面高度 增量,+h,A箱体面积,根据物料平衡关系,平衡时：,qi0=qo0,故,qo(t)的流量公式,得:,第一节 控制系统的微分方程,根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。,第一节 控制系统的微分方程,系统微分方程的一般表达式为：,将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。,微分方程,r(t),c(t),三、线性微分方程式的求解,第一节 控制系统的微分方程,工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。,拉氏变换法求解微分方程的基本思路：,线性微分方程,时域t,拉氏变换,代数方
7、程,复数域s,代数方程的解,求解,拉氏反变换,微分方程的解,第一节 控制系统的微分方程,1拉氏变换的定义,如果有一函数满足下列条件：,(1) t 0 时 f(t)=0,(2) t0 时 f(t)是分段连续的,f(t)的拉氏变换为：,记作 F(s)=Lf(t),拉氏反变换为：,f(t)=L-1 F(s),2常用函数的拉氏变换,第一节 控制系统的微分方程,(1) 单位阶跃函数I(t),1,(2) 单位脉冲函数(t),=1,(3) 单位斜坡函数t,(4) 正弦函数Sint,(5) 余弦函数Cost,(6) 指数函数,1,(7) 抛物函数,3拉氏变换的定理,(1) 线性定理,Laf1(t)+bf2(t
8、),= aF1(s)+bF2(s),例 求正弦函数f(t)=Sint的拉氏变换,解：,(2) 微分定理,= sF(s)-f(0),例 求阶跃函数f(t)=I(t)的拉氏变换,解：,已知,第一节 控制系统的微分方程,= s2F(s)-sf(0)-f(0),(3) 积分定理,Lf(t)dt,(4) 延迟定理,Lf(t-),例 求f(t)=t-的拉氏变换,解：,t,t-,(5) 位移定理,=F(s+a),解：,(6) 初值定理,(7) 终值定理,第一节 控制系统的微分方程,4拉氏反变换,象函数的一般表达式：,分解为,零点,极点,转换为,则,部分分式法求拉氏反变换 , 实际上是求待定系数A1 ,A2
9、,An .极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明.,待定系数,第一节 控制系统的微分方程,(1) 不相等实数极点,解：,例 求拉氏变换,第一节 控制系统的微分方程,(2) 复数极点,1 ,p2 共轭复数极点,分解为,根据,求待定系数A1 ,A2 .,例 求拉氏变换,解：,A2=1,第一节 控制系统的微分方程,(3) 重极点,第一节 控制系统的微分方程,有r个重极点,分解为,下面举例说明,例 求拉氏变换,第一节 控制系统的微分方程,解：,分解为,按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得：,将各待定系数代入上式得：,5用拉氏变换解微分方程,下面举例说明求解线性微分方程的方法。,第一节
10、 控制系统的微分方程,例 求拉氏反变换,r(t) =20I(t),c(0)=5,c(0)=15,解：,(1) 将微分方程拉氏变换,(2) 解代数方程,(3) 求拉氏反变换,例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。,r(t) =(t),c(0) = c(0) = 0,解：,将方程两边求拉氏变换得：,s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s),R(s) = 1,求拉氏反变换得：,c(t) = e t sin t,输出响应曲线,c(t),r(t),第一节 控制系统的微分方程,第一节 控制系统的微分方程,课堂练习题：,(1) 求下列函数的拉氏变换,(2) 求下列函数的拉氏反变换,(3) 解下列微分方程,f(t)=t2+3t+2,作业习题：,2-3(3),2-4(1),c(0) = c(0) = 0,2-1(a),2-3(1),此课件下载可自行编辑修改，供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！,
