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1、名利率与实利率的关系,设一时期的名利率为i(m),与之等价的利率为i，则应有1+i=(1+i(m)/m)m。于是有 或,复习,贴现率：,利率：,单利: a(t)=1+it；复利：a(t)=(1+i)t ；单贴现： a-1(t)=1-dt，(0t1); 复贴现：,1,t课件,第二章 年金,基本年金期末年金 期初年金永久年金基本年金问题广义年金变化年金,2,t课件,年金- 按相等时间区间支付的一系列付款。 两次年金付款之间的间隔称为支付期。支付期的个数称为此年金的期。 年金支付的金额称为年金金额. 在固定的时期支付确定金额款项的年金称为确定年金。 付款不确定的年金称为未定年金或风险年金。付款周期与
2、利息换算周期相同的年金称为基本年金.,3,t课件,2.1.基本年金,2.1.1 期末年金,在n个时期中，每个时期末付款1的年金为期末标准年金。其时间图为,设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现值记为 或 ，在n时刻的累积值记为 或 。,4,t课件,显然,而,故,(2.1.1),易见:年金金额为R的n期期末年金现值为,5,t课件,同理,(2.1.2),的值一般可通过复利函数表(p299-330)或EXCEL来计算，故以后往往将复杂的年金表示成它们的函数。,注1：,或,注2:,字面解释：考虑初始投资1，历时n个时期。每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i.这些利息的现值为ian|.在第 n
3、个时期，原始投资的本金1仍收回，它的现值为vn.这样，方程两边都表示投资1在投资之日的现值。,年金金额为R的n期期末年金累积值为,6,t课件,例2.1.1 一辆新汽车的现金价为$10,000，某顾客想以月度转换18%利率的分期付款来购买此车，如果它在四年内每月末付款$250，问现付款需为多少？解:,7,t课件,例2.1.2.某人以季度转换年利8%投资$1000,问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？解:设每季度之末能取回$ x .,8,t课件,有一笔$1000的贷款，为期10年。若实利率为 9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量。整个贷款加上累积的利息在第十年末一次还清.每年产
4、生利息即付，而本金则在第十年末一次还清.贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清。,EX,解 (1),(2),(3),9,t课件,在n个时期中，每个时期初付款1的年金为标准期初年金。其时间图为,设每个时期的利率为i，则年金在0时刻的现值记为 ,在n时刻的累积值记为 。,思考： 与 有何关系？ 与 有何关系？,2.1.2 期初年金,10,t课件,例2.1.3 证明并解释,证:从时间图易见,如果在0时刻之前在加上一个时期,则这一系列付款相当于从-1时刻开始的期末年金.于是,字面解释从时间图易见,付款序列相当于0时刻付款1,再加上每时期末付款1的n期期末年金,减去n时刻的付款1.现值为a),累积值
5、为b),11,t课件,例2.1.4 有一位40岁的工人打算通过在25年内每年初存款￥1000来积蓄一笔退休金，从65岁开始，此工人打算在以后的15年内每年初取款一次。试确定他从65岁开始每年取款金额。其中头25年实利率为8%，而此后仅为7%。解:n1=25,R1=1000,i1=8%; n2=15,R2=?,i2=7%;,前25年累积:,后15年:,12,t课件,EX1 某君40岁购买一项养老保险，每年初缴纳保费1620元，缴费期至59岁共20年。从60岁开始，每年初保险公司给付3360元养老金直至该君死亡。若此君活到79岁，则此项投资的收益率是多少？若此君活到99岁，则保险公司在这一保险业务
6、上是否合算？(答:i)3.713%; ii)5.3%),EX2 某君为其3岁的孩子投保某险种，每年初缴纳保费2105元，缴费期为15年。按年利率4.77%，到15年末此项投资的累积值是多少？若从第16年初开始，每年取出5000元，共取4年，则到第19年末此项投资的累积值又是多少？(答:i) 22.22; ii) 33856),13,t课件,2.1.4 递延年金,若年金现金流的首次发生是递延了一段时间以后进行的,则称这种年金为递延年金.,从以上时间图易见,递延m期的标准期末年金的现值为 或,思考:递延m期的标准期末年金在 m+n时刻的累积值是什么?,14,t课件,同理,考虑递延m期的标准期初年金
7、,现值为,或,15,t课件,永久年金是付款永远继续下去，无期限的。例如：无偿还保证的优先股股息。,期末永久年金的现值记为,(2.1.3),公式(2.1.3)可按字面解释，如果将本金 按利率i投资，则利息 可永远在每一时期末支付，而不去触动本金。,2.1.4 永久年金,16,t课件,例2.1.5 A留下一笔$100000的遗产，这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个十年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D。若此项财产的年实利率为7%，试确定B，C，D在此项财产中各得多少份额？解:B所占份额为,C所占份额为,D所占份额为,17,t课件,2.1.5 基本年金问题,未知时间问题,包含未知时间
8、的问题不见得正好产生n是整数的解答。这些问题可以有如下三种处理方式(1)在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款，称为上升支付；(2)在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款，称为下降支付；(3)在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款，称为非标准时期支付。,18,t课件,包含非标准时期付款的年金现值常记作 ，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k 的付款的现值。,在时刻k 的付款为,(2.1.4),(2.1.5),19,t课件,例2.1.6 有一笔$1000的投资用于在每年年底付$100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实利率为5%，试确定可以作出多少
9、次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：在最后一次正规付款的日期支付；在最后一次正规付款以后一年支付；在最后一次正规付款后的一年中间支付。解:设可做n次付款,令,故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.,20,t课件,(1) 设较小的付款额为x.则到14年末,应有,(2) 设第15年末付款x.则,(3) 设付款时刻为14+k, 由,由(2.1.5),付款额为,21,t课件,一笔基金每年年底存入$1000，一直到累积值为$25000为止，如果基金的实利率为8%，试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄后一年的最后储蓄金额为多少？答:n=14,x= -1152.092,E
10、X,22,t课件,2.1.5 基本年金问题,未知时间问题,包含未知时间的问题不见得正好产生n是整数的解答。这些问题可以有如下三种处理方式(1)在最后一次正规付款的同时作一次小的附加付款，称为上升支付；(2)在最后一次正规付款的后一个时期作一次较小的付款，称为下降支付；(3)在最后一次正规付款以后的时期中作一次较小的付款，称为非标准时期支付。,23,t课件,包含非标准时期付款的年金现值常记作 ，可解释为一项n个时期，每时期付款1的期末年金再加上最后一次在时刻k 的付款的现值。,在时刻k 的付款为,(2.1.4),(2.1.5),24,t课件,例2.1.6 有一笔$1000的投资用于在每年年底付$
11、100，时间尽可能长。如果这笔基金的年实利率为5%，试确定可以作出多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小的付款是：在最后一次正规付款的日期支付；在最后一次正规付款以后一年支付；在最后一次正规付款后的一年中间支付。解:设可做n次付款,令,故可做14次正规付款再加一次较小的最后付款.,25,t课件,(1) 设较小的付款额为x.则到14年末,应有,(2) 设第15年末付款x.则,(3) 设付款时刻为14+k, 由,由(2.1.5),付款额为,26,t课件,一笔基金每年年底存入$1000，一直到累积值为$25000为止，如果基金的实利率为8%，试确定需要多少次正规储蓄，及在最后一次正规储蓄
12、后一年的最后储蓄金额为多少？答:n=14,x= -1152.092,EX,27,t课件,在解年金的未知利率问题时，常用如下的Newton-Raphson迭代公式,(2.1.6),或,(2.1.7),初值为,(2.1.8),未知利率问题,28,t课件,例2.1.7 季度转换年利率应为多少，才能使在5年内每季度之末付款$1000的现值为$16000? 解:n=54=20, k=1000, a=16000设季度内实利率为j, 则,或,编写程序, 分别利用Newton-Raphson迭代公式和线性插值公式解年金的未知利率问题,并比较不同方法的精度与运算速度.,29,t课件,变利息,在变利息情形， ik
13、有几种不同的含义(1)若ik表示第k个时期所用的利率,不管付款是在什么时侯。则n时期期末年金的现值为,(2.1.9),30,t课件,n时期期初年金的累积值为（考虑期初年金是为了使所有ik值都进入公式）,期末年金的累积值可由期初年金得到：,(2.1.10),(2.1.11),该期初年金是从时刻1而不是时刻0开始的！,31,t课件,(3)在计算累积值时，若在时刻k的付款在余下的累积期间按利率ik计息，则n时期期初年金的累积值为,(2)在计算现值时，若ik表示在时刻k的付款经历所有k个时期的利率，则n时期期末年金的现值为,(2.1.12),(2.1.13),期末年金的累积值为,32,t课件,2.2.
14、广义年金,处理支付频率不同于利息转换频率的年金的一般步骤是：找出转换频率与支付频率相同的利率，它应与原始利率等价。用此新的利率，确定年金值。,付款周期与利息转换时期不同的年金称为广义年金.,33,t课件,例2.2.1 有一笔投资基金，在头两年每季度之初存入$100, 其次两年，每季度之初存入$200,若基金的利率为月度转换20%，问第4年末的累积值是多少？解:先将月度转换利率化为季度转换利率.由,第4年末的累积值是,34,t课件,EX1. 证明每k个利息转换时期之末付1的n期年金的,现值为,，累积值为,EX2.若一项年金在总共n个利息转换时期内，每1/m个利息转换时期之末支付1/m, 则此项年
15、金的,现值为,，累积值为,35,t课件, 2.3 变化年金,2.3.1 一般变化年金,若年金的付款金额是变化的,但支付时期和利息转换时期一致,则称为一般变化年金。自然，任何类型的变额年金可以这样计算：分别对每一次付款取现值或累积值，然后将其结果相加。有时这是唯一可行的方法。然而，也确实有若干种变额年金，对它们可以建立相对简单的表达式。它们是：(1)付款金额按算术级数变化的年金-等量变化年金(2)付款金额按几何级数变化的年金-比例变化年金,36,t课件,等量变化年金,考虑一项有n个时期的期末年金，其付款金额从P0开始，其后每个时期增加Q。(Q可正可负，但P+(n-1)Q0）。每时期利率为i。则此
16、项年金的现值为,(2.3.1),累积值为,(2.3.2),37,t课件,特别，当P=Q=1时，称为递增年金。,现值为,(2.3.3),累积值为,(2.3.4),(2.3.3)式可改写为,字面解释：n个时期中每时期初投资1的年金现值等于各时期赚得的利息的现值和最后返回的本金的现值,38,t课件,当P=n，Q=-1时，称为递减年金。,现值为,(2.3.5),累积值为,(2.3.6),EX 有一项期末年金，其付款从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现值。,（答： ）,39,t课件,比例变化年金,考虑一项有n个时期的期末年金，其第一次付款额为1而其后各次则按公比为(1+k)的几何级数增长。每时期利率为i。则此项年金的现值为,(2.3.7),40,t课件,课堂练习,自学p58 “实例分析”,考虑下列问题:1.设某养老金计划从25岁开始到85岁结束.参加者的具体存款方式为:在25岁时,每月存款100元,以后年龄每增加2岁,月存款额增加50元.(即27-28岁,150;29-30岁200,).在年利率5%的情况下,给出不同年龄的计划参加者的月退休金列表.2.参考p60 2.4.3, 解释利用Newton-Raphson 迭代计算年金利率的初值近似公式.,41,t课件,
