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1、1,关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,第二章 随机变量及其分布,1 随机变量,常见的两类试验结果：,示数的降雨量； 候车人数； 发生交通事故的次数,示性的明天天气（晴，云）； 化验结果（阳性，阴性）,3,X=X(e)为S上的单值函数,中心问题：将试验结果数量化,4,6,例1.1：掷硬币3次，出现正面的次数记为X.,7,定义：取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为,2 离散型随机变量及其分布,例2.1：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次停车时
2、所通过的交通灯数，求X的概率分布律。,10,解：设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。,11,12,例2.2：若随机变量X的概率分布律为求常数c.,解：,几个重要的离散型随机变量,随机变量只可能取0、1 两个值,(p+q=1,p0,q0),则称X服从参数为p的0-1分布，或两点分布.,若X的分布律为：,一、01分布,15,记为,它的分布律还可以写为,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在S上定义一个服从（01）分布的随机变量。,来描述这个随机试验的结果。,17,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子
3、是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（01）分布的随机变量来描述 。,一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0p1).若仅考虑事件A发生与否, 定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量:,来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验，称为Bernoulli试验。,19,二、二项分布,即每次试验结果互不影响,在相同条件下重复进行,n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： ,p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。,独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果:正面，反面，,将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次
4、试验只有两个结果：,21,如果是不放回抽样呢？,从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则每次只有两个结果：,22,设A在n重贝努利试验中发生X次，则,并称X服从参数为p的二项分布，记,推导：以n=3为例,设Ai= 第i次A发生 ,例2.3：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验,从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p求这批产品能被接受的概率.,25,解：设A=接受该批产品。 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数.,则XB(10,p)，YB(5,p)，且X=i与Y=j独
5、立。,26,27,28,29,例2.5：设随机变量,使用Excel表单：在任一单元格中输入“=BINOM.DIST(10,100,0.05,TRUE)”，点“确定”后，在单元格中出现“0.988528”.这里“TRUE” 可用“1”代替.计算P(X=10)，在任一单元格中输入“=BINOM.DIST(10,100,0.05, FALSE)”，点“确定”后，在单元格中出现“0.016715884”.这里“FALSE” 可用“0”代替.,三.泊松分布(Poisson分布),若随机变量X的概率分布律为,称X服从参数为的泊松分布，记,32,33,34,求(1)随机观察1个单位时间，至少有3人候车的概率
6、； (2)随机独立观察5个单位时间，恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。,例2.7：设某汽车停靠站单位时间内候车人数,35,37,38,例2.8：某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人，求某月内该社区至少有3人患病的概率。,40,泊松分布使用Excel表单：在Excel的任一单元格输入“=POISSON.DIST(2,5,1)”，回车，就在单元格中出现“0.124652019”.,称X服从超几何分布,超几何分布,若随机变量X的概率分布律为,42,例：一袋中有a个白球，b个红球，abN,从中不放回地取n个球，设每次取到各球
7、的概率相等，以X表示取到的白球数，则X服从超几何分布。,称X服从参数p的几何分布,几何分布,若随机变量X的概率分布律为,44,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0p1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到X只产品，则X服从参数p的几何分布。,称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.,巴斯卡分布,若随机变量X的概率分布律为,46,例：独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为p，0p1,试验进行到出现r次成功为止，以X表示试验次数，则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。,47,思考题：一盒中有2个红球4个白球，（1）从中取一球，X表示取到的
8、红球数；（2）采用不放回抽样取3球，Y表示取到的红球数；（3）采用放回抽样取3球，Z表示取到的红球数；（4）采用放回抽样取球，直到取到红球为止，U表示取球次数；（5）采用放回抽样取球，直到取到3个红球为止，V表示取球次数。上述随机变量X,Y,Z,U,V的分布律是什么呢？,48,解答：(1)X服从01分布，P(X=1)=1/3，P(X=0)=2/3；,（3）Z服从二项分布B(3, 1/3)，,（4）U服从几何分布，,（5）V服从巴斯卡分布，,（2）Y服从超几何分布，,任何随机变量都有相应的分布函数,3 随机变量的分布函数,定义：随机变量X，若对任意实数x，函数 称为X 的分布函数.,50,例3.
9、1:设 求 的分布函数,52,解：,54,55,56,例3.3：设一物体在A,B两点间移动，A,B之间距离3个单位。该物体落在A,B间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离A点的距离为X ，求X的分布函数。,与离散型随机变量的分布函数不同,4 连续型随机变量及其密度函数,定义:对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有：,则称X为连续型随机变量，,61,与物理学中的质量线密度的定义相类似,62,思考题：,答：都不一定。例如：,例4.1：设X的密度函数为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3)要使 求k的值。,64,解：,65,一、均匀分布定义：设随机
10、变量X具有概率密度函数,称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b).,几个重要的连续型随机变量分布,67,例4.2：（1）在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求 的值；（2）若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。,69,解：（1） X为在区间(-1,2)上均匀分布,（2）设10个数中有Y个数大于0，则：,例4.3：杭州某长途汽车站每天从早上6点（第一班车）开始，每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站，设X服从（0，50）上的均匀分布，（1）求王先生候车时间不超过15分钟的概率；（2）如果王先生一月中有两次按此
11、方式独立地去候车，求他一次候车不超过15分钟，另一次候车大于10分钟的概率。,71,6:20 6:30 6:45 7:00 7:10,解： （1）P(候车时间不超过15钟)=25/50=0.5,(2) P(候车时间大于10分钟)=30/50=3/5,P(一次候车时间不超过15分钟，另一次大于10分钟),二.指数分布,其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。记为,定义：设X的密度函数为,73,X具有如下的无记忆性：,74,76,77,定义：设X的概率密度函数为,其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为,三、正态分布,可以验证：,79,正态概率密度函数,称为位置参数(决定
12、对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性),X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，即是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,正态分布下的概率计算,例4.5：,例4.6 用天平称一实际重量为 的物体，天平的读数为随机变量 ，设 时，（1）求读数与 的误差小于0.005的概率；（2）求读数至少比 多0.0085的概率。,91,92,例4.7. 一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间
13、(97,103)内，问至多取何值？,94,例4.8：设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从 ，已知有25的天数超过400辆，有33的天数不到350辆，求,96,97,例4.9：一银行服务需要等待，设等待时间X（分钟）的密度函数为,某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先等待，如果超过15分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为Y，(1)求Y的分布函数;(2)问Y是离散型随机变量吗？连续型随机变量吗？,5 随机变量函数的分布,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？,问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(
14、X)，求Y的概率分布。,101,即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)与(X=-1)的和事件,解：Y的所有可能取值为0,1,例5.2：设随机变量X具有概率密度,求 的概率密度函数。,103,解：分记X,Y的分布函数为,104,Y在区间(0,16)上均匀分布。,一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,106,例5.3 设随机变量X的分布律如下表 Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布律.,108,解：Y的可能取值为-1,1,3,5, Z的可能取值为0,1,4,(Y=-1)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1),故得：,110,例5.5 设XU(-1, 2)，求 的概率密度函数,113,114,例5.6 设XN(0, 1)，求 的概率密度函数,117,118,例5.7 设 求 的概率密度函数,解：,120,例5.8 设 求 的概率密度函数,122,123,124,125,126,更一般的结果见书中例2.5.6.,课件待续!,
