高等代数第9章欧几里得空间习题课件.ppt

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1、第9章 欧几里得空间习题课,1 定义与基本性质2 标准正交基的定义及求法3 正交变换，对称变换4 子空间的正交补5 实对称矩阵的标准形6 向量到子空间的距离,1,t课件,1 定义与基本性质,定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质: (1)(, )=(, ); (2)(+, )= (, ) + (, ); (3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0当且仅当=0.,2,t课件,例1 在线性空间Rn中，对于向量 =(a1, a2, , an)， = (

2、b1, b2, , bn)定义 (, ) = a1b1+a2b2+anbn则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示,其中, , 都是V中向量, k为任意实数.则称(, )为向量与的内积 定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间,3,t课件,内积的性质,(1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,); = (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.,4,t课件,二. 长度与夹角由于(, )0, 在欧氏空间可引进向量的长度的概念定义 在欧氏空间中,非负实数 称为向量的长度, 记作 由于(, )0,所以向量的长

3、度一般是非负数, 有且仅有零向量的长度才是零 长度为的向量称为单位向量.,5,t课件,如果 0, 则 是一个单位向量.,通常称此过程为把 单位化,定理(Cauchy-Schwarz不等式)设V是欧氏空间，则关于任意, V，有 (, ) ,且等号成立当且仅当与 线性相关。,6,t课件,定义 在欧氏空间V中, 任意两个非零向量, 之间的夹角定义为注(1) 显然有0 (2)由C-S不等式,上述定义有意义.定义 设V是欧氏空间, 对, V, 如果 (, ) = 0则称与 正交, 记作. 零向量0与任何向量正交.,7,t课件,定理 在欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式: + + ; (2)

4、 勾股定理: 当 时, +2=2+2.,8,t课件,定理 在欧氏空间中勾股定理成立：设1,2,s两两正交，则 1+2+s 2 = 12+ 22 + + s 2,9,t课件,三. 度量矩阵定义 设1,2,n是n维欧氏空间V的一组基, 作矩阵 称A为基1, 2, , n的度量矩阵,10,t课件,度量矩阵性质,（1）度量矩阵是对称矩阵,（2）设A为基1，n的度量矩阵。若=x11+xnn, =y11+ynn,则 (, )=XTAY, 其中X,Y为,的坐标列向量。,11,t课件,（3）度量矩阵是正定矩阵.因为 关于X0, (,)= XTAX0.（4）不同基的度量矩阵是合同的。（5）每一个n阶正定矩阵都可

5、作为Rn中某个基的度量矩阵（见习题1）。,12,t课件,2 标准正交基的定义与求法,一. 正交向量组定义 设1,2,s是一组非零实向量,如果它们两两正交,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是1,则称为正交单位向量组(或标准正交向量组).,13,t课件,事实 向量组1, 2, , s是一个标准正交向量组, 当且仅当,14,t课件,定理 正交向量组是线性无关的推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零向量的个数不会超过n,二. 正交基定义 在n维欧氏空间中, 由n个两两正交的非零向量构成的向量组称为正交基. 由单位向量组成的正交基称为标准正交基.,15,t课件,一组基是标准正交基当且仅当它

6、的度量矩阵是单位矩阵.定理 设1, 2, n是n维欧氏空间V的一组标准正交基, 对, V,设向量 ,的坐标分别是X=(x1,x2,xn)T, Y=(y1,y2,yn)T则 (1) xi = (, i ) i=1,2,n (2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+xnyn.。,16,t课件,三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法 定理 n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.,17,t课件,定理 设1, 2, , m是欧氏空间V中一组线性无关的向量,则一定存在一个正交单位向量组1, 2, , m, 使得 1, 2, , i与 1, 2, , i 等价( i = 1,

7、 2, , m ),18,t课件,令1=1,若已构作出正交向量组1,2,j-1,则令,19,t课件,然后将正交向量组1,2,m单位化即令 则向量组1, 2, , m即为与向量组 1,2,m等价的正交单位向量组,20,t课件,四. 正交矩阵定义 设A是n阶实矩阵, 如果满足 ATA = AAT = E则称A为正交矩阵 (orthogonal matrix),21,t课件,正交矩阵性质,定理 设A, B都是n阶正交矩阵，则 (1) A= 1; (2) A可逆, 且A1 = AT; (3) AT(即A1 )也是正交矩阵; (4) AB也是正交矩阵.,22,t课件,定理 n阶实矩阵A是正交矩阵的充要条

8、件是, A的列(行)向量组为Rn的正交单位向量组(标准正交基).,23,t课件,定理 设1,2, ,n与1,2,n是欧氏空间V中两组基, 由基1,2, ,n到基1,2,n的过渡矩阵是C。若 1,2, ,n是标准正交 基， 则C是正交矩阵, 当且仅当1,2,n是标准正交基。,24,t课件,4 正交变换，对称变换,一. 定义定义 若A是欧氏空间V的线性变换, 如果它保持向量的内积不变, 即 (A, A) = (, ) ,V,则称A是正交变换.,25,t课件,定义 设A是欧氏空间V上的一个线性变换,如果满足 (A, )=(, A)则称A是对称变换.定理 n维欧氏空间V上的一个线性变换A是对称变换的充

9、分必要条件为:A在任何（某）一组标准正交基下的矩阵都是对称矩阵.,26,t课件,定理 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换。则下面几个命题相互等价： (1) A是正交变换; (2) A保持向量的长度不变, 即 V,有 A = ; (3) A保持向量间的距离不变, 即 ， V,有 A()- A() =- ; (4)若1,2,n是标准正交基,则A1, A2,An也是标准正交基; (5) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.,27,t课件,注: (1)因为正交矩阵可逆,故正交变换也可逆. (2)正交变换作为欧氏空间的自同构,其乘积和逆也是正交变换. (3)在标准正交基下,正交变换与正交矩阵对应，对

10、称变换与对称矩阵对应。,28,t课件,引理 设A是欧氏空间V上的一个对称变换, W是A-子空间, 则W也是A-子空间.设A是欧氏空间V上的一个正交变换, W是A-子空间, 则W也是A-子空间.,29,t课件,4 子空间的正交补,一. 正交定义 设V1,V2是欧氏空间V中两个子空间.如果对于任意的V1,V2,恒有(, )=0.则称V1,V2是正交的,记为V1V2. 对于向量V，如果关于任意的 V1,恒有(, ) =0.则称与子空间V1正交,记为 V1.,30,t课件,性质,（1）若 V1, 且V1, 则有=0.,（2）若V1V2,则V1V2=0 ;,定理 如果子空间V1,V2,VS两两正交,那么

11、和V1+V2+VS是直和.,31,t课件,定义 子空间V2称为子空间V1的正交补,如果V1V2,并且V1+V2=V.注 正交补的概念是相互的. 定理 n维欧氏空间V的每一个子空间V1都有唯一的正交补.,32,t课件,注 V1 的唯一正交补记作V1.显然有 dimV1 + dimV1 = dimV =n.推论 V1恰由与V1 正交的向量组成, 即 V1 = VV1.内射影 设 V= V1V1 则关于V, =1+2, 其中1V1, 2V1, 就称1为向量在子空间V1上的内射影.,33,t课件,5实对称矩阵的标准形,定理 实对称矩阵A的特征值都是实数。引理 设A是对称变换(A是对称矩阵), 则属于A

12、（A)的不同特征值的特征向量必正交.,34,t课件,定理 对于n 维欧氏空间V 上任意一个对称变换A,都存在V的一组标准正交基,使得A在该基下矩阵为对角矩阵。,35,t课件,推论 对于任意一个n阶实对称矩阵A,都存在一个n阶正交矩阵T,使得 TTAT=T-1AT成对角形.,36,t课件,根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法,1. 解特征方程,求出对称矩阵 的全部不同的特征值。,37,t课件,对每个特征值 ，求出对应的特征向量，,将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。,38,t课件,这样共可得到n 个两两正交的单位特征向量

13、,有,以 为列向量构成正交阵,39,t课件,即,必须注意：对角阵中 的顺序要与特征向量 的排列次序一致。,40,t课件,定理（主轴定理）：,任给二次型,总有正交变换,使之化为标准形,二次型的语言,41,t课件,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,42,t课件,6 向量到子空间的距离，最小二乘法,一. 向量到子空间的距离欧氏空间V的两个向量和的距离定义为: d(, ) = -距离的性质:d(, )=d(, ); d(, )0, 并且仅当=时等号成立; d(, )d(, ) + d(, ) (三角不等式),43,t课件,命题 设W是欧氏空间V的一个子空间, 是V中的一个向量. 又设是W中一个向量

14、, 使-垂直于W, 则对W中任一向量,都有 - - ,44,t课件,反过来，设W是欧氏空间V的一个子空间, 是V中的一个向量. 又设是W中一个向量, 若对W中任一向量,都有 - - , 则-垂直于W。,45,t课件,二. 最小二乘法,最小二乘问题:实系数线性方程组可能无解,即任一组实数x1, x2, ,xs,都使 (1)不等于零.,46,t课件,现设法找x10, x20, ,xs0, 使(1)为最小, 称此x10, x20, ,xs0为方程组的最小二乘解; 此类问题称为最小二乘问题.,47,t课件,ATAX=ATB.这就是最小二乘法所满足的代数方程, 它是一个线性方程组, 系数矩阵是ATA,

15、常数项是ATB.这种线性方程组总是有解的.（为什么？）,48,t课件,例1 设A是n阶实反对称矩阵，则,（1）E+A 可逆； (2)是正交矩阵。,解 (1)（法一）因为A反对称，故它的特征值只能是0或纯虚数，从而-1不是A的特征值，故E+A可逆。,49,t课件,例1 设A是n阶实反对称矩阵，则,（1）E+A 可逆； (2)是正交矩阵。,解 (1)（法二）若E+A不可逆，则方程组(E+A)X=0有非零解X0. 从而,矛盾。,50,t课件,例1 设A是n阶实反对称矩阵，则,（1）E+A 可逆； (2)是正交矩阵。,解 (2),51,t课件,例2 设A是n维欧氏空间V上的线性变换，则下任两条可推出第

16、三条：,（1）A 是正交变换； (2) A 是对称变换； (3) A 2=E.,证,52,t课件,例2 设A是n维欧氏空间V上的线性变换，则下任两条可推出第三条：,（1）A 是正交变换； (2) A 是对称变换； (3) A 2=E.,证,53,t课件,例3 设V1 ,V2是n维欧氏空间V的子空间，且dimV1 dimV2 ,则V2中有非零向量与V1 正交.,证 将结论翻译成另一语言,只需证明,54,t课件,例4 设W是R3中过点（0,0,0),(1,2,2,),(3,4,0)的平面。求点A(5,0,0)到平面W的最短距离.,解 令,问题化为求,到,的距离,即求,55,t课件,解 令,问题化为

17、求,到,的距离,即求,56,t课件,例5 设三阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2. 是属于1的特征向量。记 B=A5- 4A3+E.(1)求B的特征值与特征向量；(2)求矩阵B.,解 （1）B的特征值为-2，1，1.,属于1的特征向量与 正交。解方程组,得基础解系,所以属于1的线性无关特征向量是,57,t课件,解 （2）令,58,t课件,例6 设 是V 的一组基，其度量矩阵为 令(1)求W 的一组标准正交基；(2)求W 的正交补的维数与一组基.,解 （1）令,单位化得W 的一组标准正交基,59,t课件,解 （2）易见,为W的正交补一组标准正交基。,是V 的一组基。,令,60,t课件,证明n 维欧氏空间中两两互为钝角的向量个数不超过n+1个。两种方法,61,t课件,法1：先证事实：设则 的任何真子组线性无关。设有某个真子组线性相关，适当交换次序，不妨设 线性相关。,62,t课件,设 线性相关。则,可以断言ki不能都大于0，也不能都小于等于0.可设,63,t课件,法2：对维数n进行归纳。当n=1时，结论显然成立。假设对n-1时成立。在V中任取一组两两互为钝角的向量令,64,t课件,即W的正交补中有k-1个两两互为钝角的向量，由归纳假设，,65,t课件,